Adversus Mathematicos

ἀλλὰ τὸ μὲν ἀμερὲς σῶμα οὐκ ἂν εἴποιεν, ἐπείπερ τοῦτο μὲν οὐδʼ εἰς δύο μέρη δύναται διαιρεῖσθαι, ἡ δὲ γωνία κατ᾿ αὐτοὺς ἐπʼ ἄπειρον τέμνεται. καὶ ἄλλως, τῆς γωνίας ἣν μὲν μείζονά φασιν εἶναι ἣν δὲ μικροτέραν· τοῦ δὲ ἐλαχίστου σώματος οὐδέν ἐστι βραχύτερον, ἐπεὶ ἐκεῖνο ἀλλʼ οὐ τοῦτο γενήσεται ἐλάχιστον.

λείπεται ἄρα τὸ κατ᾿ αὐτοὺς σημεῖον εἶναι λέγειν ὓ καὶ αὐτὸ τῶν ἀπόρων. εἰ γὰρ πάντῃ πανταχῶς ἀδιάστατόν ἐστι τὸ σημεῖον, οὐ διαιρεθήσεται ἡ γωνία. καὶ μὴν οὐδὲ μείζων τις ἔσται ἢ ἐλάσσων γωνία ἐν γὰρ τοῖς μηδεμίαν ἔχουσι διάστασιν οὐκ ἂν εἴη τις κατὰ μέγεθος διαφορά.

ἄλλως τε, εἰ μεταξὺ τῶν εὐθειῶν πίπτει τὸ σημεῖον, διορίζει τὰς εὐθείας, διορίζον δὲ οὐκ ἔσται ἀδιάστατον.

νὴ Δία, ἀλλʼ εἰώθασί τινες ἐξ αὐτῶν γωνίαν λέγειν τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν πρῶτον διάστημα. πρὸς οὓς [*](§ 100 γωνία ἐστίν similes deff. Eucl. el. I def. 8 et Procli comm. ad l. p. 125, 18 Friedlein) [*](4 〈μὲν〉 γὰρ Bekk. || 10 διδάσκων – 11 εὐθεῖαν et 11 εὐθεῖαι – 13 λόγος om. C || 15 [καὶ στιγμήν] Harder | εἴπαιεν LVr )

Ἐῶ λέγειν ὅτι καὶ ἄλλῃ τινὶ τεχνολογίᾳ μάχεται ἡ τοιαύτη τῶν γωνιῶν νόησις. διαιρούμενοι γάρ φασι τῆς γωνίας τὴν μέν τινα εἶναι ὀρθὴν τὴν δὲ ἀμβλεῖαν τὴν δὲ ὀξεῖαν, καὶ τῆς μὲν ἀμβλείας ἄλλην καὶ ἄλλην μᾶλλον ἀμβλυτέραν εἶναι, ὡσαύτως δὲ καὶ τῆς ὀξείας.

εἰ δὴ γω- νίαν φαμὲν τὸ ἐλάχιστον ὑπὸ τὴν κλίσιν διάστημα, οὐ σωθήσονται αἱ τοιαῦται τῶν γωνιῶν διαφοραί, παρόσον ὑπερέχουσί τε ἀλλήλας καὶ ὑπερέχονται ὑπʼ ἀλλήλων. ἢ εἴπερ [οὐ] σῴζονται, ἀναιρεῖται ἡ γωνία, μὴ ἔχουσα ἑστη- κὸς μέτρον ᾧ διαγνωσθήσεται.

Περὶ μὲν οὖν εὐθείας γραμμῆς καὶ γωνίας τοιαῦτα ῥη- τέον πρὸς αὐτούς·

ὁριζόμενοι δὲ καὶ τὸν κύκλον φασὶ ‘κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περι- εχόμενον, πρὸς ἣν αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις’ ματαιάζοντες· τοῦ γὰρ ση- μείου καὶ τῆς γραμμῆς καὶ τῆς εὐθείας καὶ ἔτι τοῦ ἐπι- πέδου [καὶ 〈τῆς〉 γωνίας] ἀνῃρημένων οὐδὲ κύκλος ἐπι- νοηθῆναι δύναται.

Ἀλλ᾿ ἵνα μὴ δοκῶμεν σοφιστικοί τινες εἶναι καὶ τὴν σύμπασαν τῆς ἀντιρρήσεως κατασκευὴν ἐν μόνας καταν- αλίσκειν ταῖς τῆς γεωμετρίας ἀρχαῖς, φέρε μετελθόντες, ὡς πρότερον (§ 93) ὑπεσχόμεθα, καὶ τὰ μετὰ τὰς ἀρχὰς αὐτῶν θεωρήματα ἐπισκεψώμεθα.

ὅταν οὖν λέγωσι τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν δίχα τεμεῖν, ἤτοι τὴν ἐπὶ τοῦ ἄβακος διδομένην λέγουσι διχοτομεῖν ἢ τὴν ἀπὸ ταύτης κατὰ [*](§ 107 ~ M IX 284 | κύκλος ἐστὶ Eucl. el. I def. 15 || 109 ~ M 1X 282 | δίχα τεμεῖν Eucl. el. l prop. 10) [*](14 ἀπʼ AB || 15 οὐ del. Fabr. || 21 ματάζοντες ELVr et cod. editorum Gen. in marg. || 23 [ ] Harder: 〈 〉 Bekk. || 31 δεδομέ- νην AB Fabr. Gen. )

καὶ μὴν οὐδὲ ἡ ἀπὸ ταύτης κατὰ μετάβασιν νοουμένη. ὑποκείσθω γὰρ λόγου χάριν ἐξ ἐννέα στιγμῶν συνεστῶσα, ἀφʼ ἑκατέρου μὲν τῶν ἄκρων τεσσάρων καὶ τεσσάρων ἀριθμουμέτων, μιᾶς δὲ τὰς δύο τετράδας μεσο- λαβούσης στιγμῆς. οὐκοῦν εἰ δίχα τέμνεται ἡ ὅλη γραμμή, ἤτοι μεταξὺ ταύτης τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος ἐνεχθήσεται τὸ τέμνον, ἢ κατ᾿ αὐτῆς τῆς πέμ- πτης, ὥστε καὶ αὐτὴν διχάζειν.

τὸ μὲν οὖν μεταξὺ τῆς πέμπτης στιγμῆς καὶ τῆς ἑτέρας τετράδος φέρεσθαι τὸ τέμνον τῶν ἀλόγων· γενήσεται γὰρ ἄνισα τὰ τμήματα, καὶ τὸ μὲν ἐκ τεσσάρων στιγμῶν συγκείμενον τὸ δὲ ἐκ πέντε. τὸ δὲ αὐτἦν διχάζειν τὴν στιγμὴν πολλῷ τοῦ προτέρου ἀλογώτερον οὐκέτι γὰρ ἀδιάστατον ἀπολεί- ψουσι τὸ σημεῖον, ὅ γε διχάζεται πρὸς τοῦ τέμνοντος.

ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπειδὰν φῶσι τὸν κύκλον εἰς ἴσα τέμνειν. εἰ γὰρ ὁ κύκλος εἰς ἴσα τέμνεται, πάντως ἐπεὶ μεσαίτατον ἔχει τὸ κέντρον, ὃ καὶ αὐτό ἐστι σημεῖον, ἤτοι τῷδε τῷ τμήματι ἢ τῷδε [τινι] προσμερισθήσεται, ἢ καὶ αὐτὸ δίχα τμηθήσεται. ἀλλὰ τὸ μὲν τῷδε ἢ τῷδε προσμερισθῆναι ἄνισον τὴν διχοτόμησιν ποιεῖ, τὸ δὲ καὶ αὐτὸ διχοτομεῖσθαι μαχόμενόν ἐστι τῷ ἀδιάστατον καὶ ἀμερές ὑπάρχειν τὸ σημεῖον.

τό τε τέμνον τὴν γραμμὴν ἤτοι σῶμά ἐστιν ἢ ἀσώματον. οὔτε δὲ σῶμα δύναται τυγχάνειν ἀθιγὲς γάρ τι καὶ ἀσώματον καὶ μὴ ὑποπῖπτον αὑτῷ οὐκ ἂν τέμοι οὔτε ἀσώματον, τουτὶ γὰρ πάλιν εἰ μὲν στιγμή ἐστι, τῷ ἀμερὴς εἶναι καὶ κατὰ [*](§110–113 ~M IX 283– 289) [*](5 ἡ1 an del. dub. Bekk., probat Harder | ἡ2 om. ABVC || 20 et 21 ἶσα (ut ubique) EL || 23 τινι del. Bekk. || 29 ἀμερὲς γὰρ G: corr. Heintz (accusativi l) )

ἄλλως τε τὸ τέμνον πέρας ἤτοι μέσον τῶν δυοῖν στιγμῶν πῖπτον διχοτομεῖ τὴν γραμμήν, ἢ κατὰ μέσου φερόμενον τοῦ σημείου. ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ μέσου φέρεσθαι τοῦ σημείου τῶν ἀδυνάτων· δεήσει γάρ, ὡς πρότερον (§ 111 sq.) ἐλέγομεν, τὸ καθʼ οὗ φέρεται με- ριστὸν εἶναι καὶ μηκέτι ἀδιάστατον τυγχάνειν.

μεταξὺ δὲ τῶν δυοῖν στιγμῶν φέρεσθαι πολλῷ ἀλογώτερον. πρῶτον μὲν γὰρ οὐδὲν δύναται μεταξὺ συνεχείας μέσον πεσεῖν πέρας· εἶτα κἂν δοθῇ τὸ τοιοῦτον ὡς δυνατόν, ὀφείλει μετακινεῖν τὰ ὧν μεταξὺ τάσσεται, εἶπερ ἐστὶ συνεχῆ· ταῦτα δʼ ἐστὶν ἀκίνητα. τοίνυν ἄπορος καὶ ὁ περὶ τοῦ τέμνοντός ἐστι λόγος.

οὐ μὴν ἀλλὰ κἂν δῶμεν αὐ- τοῖς τὰς ἀφαιρέσεις ποιεῖσθαι ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν τούτων γραμμῶν, οὐ δυνήσονται οὐδʼ οὕτως εὐοδῆσαι. γὰρ ἀφʼ ὅλης τῆς γραμμῆς ἡ ἀφαίρεσις γενήσεται ἀπὸ μέρους, καὶ τὸ ἀφαιρούμενον ἴσον ἀπὸ ἴσου ἢ ἄνισον ἀπὸ ἀνίσου [ἢ ἐναλλὰξ] γενήσεται· οὐδὲν δὲ τούτων ἐστὶν εὔπορον, ὡς ἐν τῷ Πρὸς τοὺς γραμματικοὺς (M I 162) καὶ ἐν τῷ Πρὸς τοὺς φυσικοὺς (M IX 279 et 294) ὑπομνήματι παρ- εστήσαμεν· οὐκ ἄρα δυνατόν ἐστι τοῖς γεωμέτραις ἀφαι- ρεῖν τι καὶ τέμνειν ἀπὸ γραμμῆς.