Introductio arithmetica

ζ. Ἔστιν οὖν σημεῖον ἀρχὴ διαστήματος, οὐ διάστημα δέ, τὸ δʼ αὐτὸ καὶ ἀρχὴ γραμμῆς, οὐ γραμμὴ δέ· καὶ γραμμὴ ἀρχὴ ἐπιφανείας, οὐκ ἐπιφάνεια δέ, καὶ ἀρχὴ τοῦ διχῆ διαστατοῦ, οὐ διχῆ δὲ διαστατόν. καὶ εἰκότως ἡ ἐπιφάνεια ἀρχὴ μὲν σώματος, οὐ σῶμα δέ, καὶ ἡ αὐτὴ ἀρχὴ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ, οὐ τριχῆ δὲ διαστατόν. οὕτως δὴ καὶ ἐν τοῖς ἀριθμοῖς ἡ μὲν μονὰς ἀρχὴ παντὸς ἀριθμοῦ ἐφʼ ἓν διάστημα κατὰ μονάδα προβιβαζομένου, ὁ δὲ γραμμικὸς ἀριθμὸς ἀρχὴ ἐπιπέδου ἀριθμοῦ ἐφʼ ἕτερον διάστημα ἐπιπέδως πλατυνομένου, ὁ δὲ ἐπίπεδος ἀριθμὸς ἀρχὴ στερεοῦ ἀριθμοῦ ἐπὶ τρίτον διάστημα πρὸς τὰ ἐξ ἀρχῆς βάθος τι προςκτωμένου· οἷον καθʼ ὑποδιαίρεσιν γραμμικοὶ μέν εἰσιν ἀριθμοὶ ἁπλῶς ἅπαντες οἱ ἀπὸ δυάδος ἀρχόμενοι καὶ κατὰ μονάδος πρόςθεσιν ἐπὶ ἓν καὶ τὸ αὐτὸ προχωροῦντες διάστημα, ἐπίπεδοι δὲ οἱ ἀπὸ τριάδος ἀρχόμενοι ἀρχικωτάτης [*](VII. lo. Phil. rec. l, κθ, λ; rec. lI, κβ, κγ. — lambl. p. 80—82. — Io. Pedias. in Iahnii nou. ann. XCII, p. 371. 372. — Boëth. II. 5. 6.) [*](1. ἔσται om. PH — 2. ἐλαττοῦται H — 5. αὐτῆς] τῆς γραμμῆς — 7. λειπομένου G λειπουμένου P) [*](VII. 11. καὶ γρ.] γραμμὴ om. G, ἡ δὲ γρ. SH — 14. ἡ αὐτὸ G — 17. προβιβαζομένη — 20. ἐπιτρίτου P — 21. πρὸς] παρὰ — βάθη GP)

ῥίζης καὶ διὰ τῶν ἐξῆς συνεχῶν ἀριθμῶν προιόντες, λαμβάνοντες καὶ τὴν ἐπωνυμίαν κατὰ τὴν αὐτὴν τάξιν· πρώτιστοι γὰρ τρίγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς τετράγωνοι, εἶτα μετʼ αὐτοὺς πεντάγωνοι, εἶτα ἐπὶ τούτοις ἑξάγωνοι καὶ ἑπτάγωνοι καὶ ἐπʼ ἄπειρον· προςαγορεύονται δέ, ὡς ἔφαμεν, ἀπὸ τῶν ἀπὸ τριάδος ἐφεξῆς κειμένων ἀριθμῶν. ἀρχικώτατον ἄρα σχῆμα ἐπιπέδων καὶ στοιχειωδέστατον τὸ τρίγωνον εὑρίσκεται· καὶ γὰρ ἐν τοῖς γραμμικοῖς ἐπιπέδοις ἐὰν ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰ μέσα εὐθεῖαι ἀχθῶσι, λυθήσεται ἕκαστον εὐθύγραμμον σχῆμα πάντως εἰς τρίγωνα τοσαῦτα, ὅσαιπερ ἂν αὐτοῦ τυγχάνωσιν αἱ πλευραί, αὐτὸ δὲ τὸ τρίγωνον τὸ αὐτὸ τοῖς ἄλλοις παθὸν εἰς ἕτερόν τι οὐ μεταπεσεῖται, ἀλλʼ εἰς ἑαυτό· στοιχεῖον ἄρα καὶ ἐν ἐκείνοις τὸ [*](P) ρίγωνον· εἰς αὐτὸ γὰρ τὰ ἄλλα πάντα ἀναλύεται ἀναγκαίως, αὐτὸ δὲ οὐκ εἰς ἕτερον· ἐκ τούτου ἂν καὶ συσταίη τὰ λοιπά, αὐτὸ δὲ ἐξ οὐδενός· στοιχεῖον ἄρα τοῦτο τῶν ἄλλων, αὐτοῦ δὲ οὐδέν. κἀν τοῖς ἀριθμητικοῖς δὲ ἐπιπέδοις προιὼν ὁ λόγος βεβαιώσει τὸ λεγόμενον.

η. Τρίγωνος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ διαλυόμενος [*](VIII. lo. Ph rec. l, λα, λβ; rec. II, κδ. — Iambl. p. 82 83. — Theon. 18. 19. 23 — lo. Pedias. I. I. — Hoëth. II. 6.) [*](3—5. hasce addunt codices figuras: 8. ἐπιπέδων om. H — 9. γὰρ om, G — 9. 10. ἐπὶ τῶν ραμμικῶν ἐπιπέδων S cf. Eucl. l, ὅρ. κ. — 11. ἔκαστος G — 12 τοσαῦτα] τῷ ἀριθμῷ, ὁπόσα add. S — 14, ἕτερον ἄλλο S — 16. εἰς ὃ CSH — λύεται SH — 17. εἰς ἄλλο SH VIII. Περὶ τριγώνου ΗΓ)

εἰς μονάδας καὶ τὴν κατʼ ἐπίπεδον θέσιν τῶν μορίων ἰσόπλευρον σχηματογραφῶν εἰς τριγωνισμόν, οὗ ὑποδείγμαπα ὁ

γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη

καὶ οἱ ἐφεξῆς· σχηματογραφίαι γὰρ αὐτῶν εὔτακτοι ἔσονται τρίγωνοί τε ἅμα καὶ ἰσόπλευροι, καὶ τὸ τοιοῦτον, μέχρις οὗ βούλει, προκόπτων τριγωνιζόμενον εὑρήσεις πρὸ πάντων στοιχειωδέστατον τάττων τὸ ἐκ μονάδος γινόμενον, ἵνα καὶ τρίγωνος δυνάμει φαίνηται ἡ μονάς, ἐνεργείᾳ δὲ πρῶτος ὁ γ. πλευραὶ δὲ παραυξηθήσονται τῷ συνεχεῖ ἀριθμῷ, τοῦ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτου πλευρὰ μονάς, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτου πλευρὰ δυάς, τουτέστι τοῦ γ, τοῦ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρου πλευρὰ τριάς, τουτέστι τοῦ Ϛ, τοῦ δὲ τρίτου πλευρὰ τετρὰς καὶ τοῦ τετάρτου πεντὰς καὶ τοῦ πέμπτου ἑξὰς καὶ ἀεὶ οὕτως. γεννᾶται δὲ τοῦ φυσικοῦ ἀριθμοῦ στοιχηδὸν ἐκτεθέντος καὶ ἀεὶ ἀπʼ ἀρχῆς τῶν συνεχῶν κατὰ ἕνα συντιθεμένων, κατὰ γὰρ ἑκάστην σύνθεσιν καὶ προςσώρευσιν οἱ εὔτακτοι τρίγωνοι συντελοῦνται· οἷον ἐκ μὲν τοῦ φυσικοῦ στίχου τούτου

α, β, γ, δ, ε, Ϛ, ζ, η, θ, ι, ια, ιβ, ιγ, ιδ, ιε

τὸν μὲν πρώτιστον λαβὼν ἔχω τὸν δυνάμει πρῶτον [*](2. μορίων] μονάδων CS — ἰσοπλεύρως — 3. 4. οὗ . . . γ] ὑπόδειγμα γ S — 5. 6. εὔτακτοι ἔσονται] ἔσ. τοι- αῦται SH — 6. 7 τὸ τοιοῦτον om — 7. προκόπτον C — 9. γινόμενον] συγκείμενον H — δυνάμει] μονάδι G — 11. συνεχῆ G ἀπὸ [ὑπὸ H] τοῦ συνεχοῦς ἀριθμοῦ SH — 12 πρῶτον G1 — 12 13. τοῦτο ἐνεργ. G1 — 14 πλευρὰ om. — τριάς post ϛ GP — 15. τρίτου] τοῦ δέκα add. CSH — 17. φυσικόν G — στιχηδόν PC — 19. ἑκάστου SH — 20. εὔτακτοι] σύνθετοι add. S — 21. τούτου om. CSH — 22. ια . . . ιε om. H — ιε] ὁ α, γ, Ϛ, ι, ιε, κα, κη, λϚ, με, νε, ξϚ, οη, Ϟα, ρε, ρκ add. — 23. ἔχων PH) τρίγωνον, τὴν μονάδα 1, εἶτα τὸν συνεχῆ αὐτῷ ἐπισωρεύσας ἔχω τὸν ἐνεργείᾳ πρῶτον τρίγωνον, β γὰρ καὶ α ὁ γ ἐστί, καὶ τῇ γε σχηματογραφίᾳ οὕτως συνίσταται· ἐπὶ μιᾷ μονάδι δύο μονάδες παράλληλοι ὑποτίθενται καὶ τριγωνίζεται ὁ γ ἀριθμός 2· εἶτα ἑξῆς ἐπὶ τούτοις ὁ γ συνεχὴς προςσωρευθεὶς καὶ ἐξαπλωθείς γε εἰς μονάδα καὶ συντεθεὶς τὸν Ϛ ἀποδίδωσι δεύτερον ἐνεργείᾳ τρίγωνον καὶ προςέτι σχηματογραφεῖ 3· καὶ πάλιν ὁ φύσει ἀκόλουθος ὁ δ ἐπὶ τούτοις σωρευθεὶς καὶ μοναδιστὶ ὑπογραφεὶς τὸν εὔτακτον μετὰ τοὺς εἰρημένους ἀποδίδωσι τὸν ι καὶ τριγωνιστί γε σχηματίζεται 4· καὶ ὁ ε ἐπὶ τούτῳ, εἶτα ὁ ϛ, εἶτα ὁ ζ καὶ οἱ ἑξῆς ἅπαντες, ὥςτʼ ἐμμελῶς καὶ τὰς πλευρὰς ἑκάστου τοσούτων εἶναι [*](P) μονάδων, ὁπόσοιπερ ἀριθμοὶ συνετέθησαν ἐκ τοῦ φυσικοῦ στίχου εἰς τὴν αὐτοῦ σύστασιν 5 6 7·

[*](4. μιᾷ μ.] τῇ μ. S — 6. συνεχός G1 om. H — 7. μο- νάδας H — Ϛ] στίχον P — 9. σχηματογράφει GP — 12. σχῃματίζει CS — 13. εἶτα ὁ ζ om. H — καὶ οἱ λοιποὶ πάντες ἐφεξῆς H — 14. ἐμελῶς G — 15. ὁπόσοιπερ] ἂν καὶ add. SH — 16. στίχου] χύματος H — εἰς] πρὸς S — ἑαυ-)

θ. Τετράγωνος δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ συνεχὴς τούτῳ καὶ μηκέτι τρεῖς, ὡς ὁ πρόσθεν, ἀλλὰ τέσσαρας ἐν τῇ καταγραφῇ γωνίας ἀποδιδούς, ἐν ἰσοπλεύρῳ μέντοι καὶ αὐτὸς σχηματισμῷ, οἷον

α, δ, θ, ιϚ, κε, λϚ, μθ,

ξδ, πα, ρ·

τούτων γὰρ αἱ καταγραφαὶ ἰσόπλευροι τετραγωνισμοὶ οὕτω πως γίνονται·

[*](IX. Io. Phil. rec. l, λγ, λδ; rec. Il, κε. — lambl. p. 83—85. — Theon. 11. 15. 19—21 25. 28. — Boëth. lI. 7.)[*](τοῦ GP — figuras no habent PH; G hoc addit schema, quod nos margini adposuimus, (simile Γ):)[*](IX. Περὶ τετραγώνου - ων Γ — 1. Τρίγωνος P — 3. καὶ om. SH, del. C — ὡς πρόσθ. — 7. αὐτῷ G — 10. τούτοις S — καταγαφαὶ G — figuras om. GP)

καὶ ἐφεξῆς οὕτως, μέχρις οὗ βούλει. καὶ τούτοις δὲ συμβέβηκεν, ὥςπερ καὶ τοῖς πρὸ αὐτῶν, τὴν τῶν πλευρῶν πρόβασιν κατὰ τὸν φυσικὸν ἀριθμὸν προκόπτειν· τῷ μὲν γὰρ δυνάμει πρώτῳ τῷ ἑνὶ πλευρὰ μονάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ πρώτῳ τῷ δ πλευρὰ δυάς, τῷ δὲ ἐνεργείᾳ δευτέρῳ τῷ θ πλευρὰ τριάς, τῷ δὲ μετʼ αὐτὸν ἐνεργείᾳ τρίτῳ τῷ ιϚ πλευρὰ τετρὰς καὶ τῷ τετάρτῳ πεντὰς καὶ τῷ πέμπτῳ ἑξὰς καὶ καθόλου ἑξῆς τοῖς ἐφεξῆς. γεννᾶται δὲ καὶ οὗτος στοιχηδὸν ἐκτεθέντος φυσικοῦ ἀριθμοῦ τῇ μονάδι ἐπισωρευθέντων οὐκέτι τῶν ἐφεξῆς τοῖς ἐφεξῆς, ὡς δέδεικται, ἀλλὰ τῶν παῤ ἕνα κειμένων πάντων, τουτέστι τῶν περισσῶν· πρῶτος γὰρ ὁ α δυνάμει πρῶτος τετράγωνος, δεύτερος ὁ α καὶ γ ἐνεργείᾳ πρῶτος τετράγωνος, τρίτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε ἐνεργείᾳ δεύτερος τετράγωνος, τέταρτος δὲ ὁ α καὶ γ καὶ ε καὶ ζ ἐνεργείᾳ τρίτος τετράγωνος καὶ ὁ ἑξῆς τοῖς προτέροις προςσωρευθέντος τοῦ θ γίνεται καὶ ὁ μετ᾿ αὐτόν τοῦ ια προςτεθέντος καὶ οὕτως ἀεί. καὶ ἐπὶ τούτων δὲ συμβέβηκε τοσούτων μονάδων τὴν ἑκάστου πλευρὰν εἶναι, ὁπόσοιπερ ἂν ὦσιν οἱ εἰς τὴν αὐτοῦ γένεσιν ἐπισωρευθέντες ἀριθμοί.

[*](1. οὕτως om. H — μεχ. ὅσου H — 3. 4. κόπτειν P — 4. πρώτῳ] μόνῳ C — 6—8. τῷ δὲ μετʼ . . . ἑξὰς] καὶ τῷ τετάρτῳ τετρὰς καὶ τῷ πέμπτῳ πεντὰς καὶ τῶ ϛ ἑξάς S — 9. αἱ ἐφεξῆς τοῖς ἐφ. C οἱ ἐφεξῆς τοῖς ἑξῆς S οἱ ἐφεξῆς — οὗτος] ἀπὸ τοῦ add. CSH — στιχηδὸν C — 10. ἐπισωρευθέντος P ἐπισωρευομένων CH — 12. δέδει- κται] ἐπὶ τῶν τριγώνων add. S — 14. α] πρῶτος G — 17. ὁ ante ἑξῆς om. GP — προτέροις] πρώτως P πρότε- ρον C, om, — 17. προςσωρευθέντα G — 22. συσσω- ρευθέντες SH — schema, quod GΓ adponunt, hoc est: β δ Ϛι η ι ιβ ιδ ιϚ ιη κ ἀριθμοὶ περιττοί α γ ε ζ θ ια ιγ ιε ιζ ιθ τετράγωνοι· α δ θ ιϛ κε λϚ μθ ξδ πα ρ)