Mechanica

Διὰ τί τὰς κλίνας ποιοῦσι διπλασιοπλεύρους, τὴν μὲν ἓξ ποδῶν καὶ μιαρῷ μείζω πλευράν, τὴν δὲ τριῶν; Καὶ διὰ τί ἐντείνουσιν οὐ κατὰ διάμετρον; Ἢ τὸ μὲν μέγεθος τηλικαύτας, ὅπως τοῖς σώμασιν ὦσι σύμμετροι; Γίνονται γὰρ οὕτω διπλασιόπλευροι, τετραπήχεις μὲν τὸ μῆκος, διπήχεις δὲ τὸ πλάτος.

Ἐντείνουσι δὲ οὐ κατὰ διάμετρον ἀλλ’ ἀπ’ ἐναντίας, ὅπως τά τε ξύλα ᾖττον διασπᾶται· τάχιστα γὰρ σχίζεται κατὰ φύσιν διαιρούμενα ταύτῃ, καὶ ἑλκόμενα πονεῖ μάλιστα. Ἔτι ἐπειδὴ δεῖ βάρος δύνασθαι τὰ σπαρτία φέρειν, οὕτως ἧττον πονέσει λοξοῖς τοῖς σπαρτίοις ἐπιτιθεμένου τοῦ βάρους ἢ πλαγίοις. Ἔτι δὲ ἔλαττον οὕτω σπαρτίον ἀναλίσκεται.

Ἕστω γὰρ κλίνη ἡ ΑΖΗΙ, καὶ δίχα διῃρήσθω ἡ ΖΗ κατὰ τὸ Β. Ἴσα δὴ τρυπήματά ἐστιν ἐν τῇ ΖΒ καὶ ἐν τῇ ΖΑ. Καὶ γὰρ αἱ πλευραὶἴσαι εἰσίν· ἡ γὰρ ὅλη ΖΗ διπλασία ἐστίν. Ἐντείνουσι δ’ ὡς γέγραπται, ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β, εἶτα οὖ τὸ Γ, εἶτα οὗ τὸ Δ, εἶτα οὗ τὸ Θ, εἶτα οὖ τὸ Ε.

Καὶ οὕτως ἀεί, ἕως ἂν εἰς γωνίαν καταστρέψωσιν ἄλλην· δύο γὰρ ἔχουσι γωνίαι τὰς ἀρχὰς τοῦ σπαρτίου. Ἴσα δέ ἐστι τὰ σπαρτία κατὰ τὰς κάμψεις, τό τε ΑΒ καὶ ΒΓ τῷ ΓΔ καὶ ΔΘ. Καὶ τὰ ἄλλα δὲ τὰ τοιαῦτά ἐστιν, ὅτι οὕτωςἔχει ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις, Ἡ μὲν γὰρ ΑΒ τῇ ΕΘ ἴση· ἴσαί γάρ εἰσιν αἱ πλευραὶ τοῦ ΒΗΚΑ χωρίου, καὶ τὰτρυπήματα ἴσα διέστηκεν.

Ἡ δὲ

Ὠστε ἡ ΑΓ τῇ ΕΗ ἴση. Ταύτῃ δὲ ἡ Κ Θ· παράλληλος γάρ. Ὤστε ἡ ΒΓ ἴση τῇ ΚΘ. Ἡδὲ ΓΕ τῇ ΔΘ. Ὁμοίως δὲ καὶ αἰ ἄλλαι δείκνυνται ὅτι ἴσαί εἰσὶν αἱ κατὰ τὰς κάμψεις δύο ταῖς δυσίν. Ὤστε δῆλον ὅτι τὰ τηλικαῦτασπαρτία ὅσον τὸ Α Β, τέσσαρα τοσαῦτ’ ἔνεστιν ἐν τῇ κλίνῃ· ὅσον δ’ ἐστὶ τὸ πλῆθος τῶν ἐν τῇ ΖΗ πλευρᾷ τρυπημάτων, καὶ ἐν τῷ ἡμίσειτῷ Ζ Β τὰ ἡμίση.

Ὤστε ἐν τῇ ἡμισείᾳ κλίνῃ τηλικαῦτα μεγέθη σπαρτίων ἐστὶν ὅσοντῷ ΒΑ ἔνεστι, τοσαῦτα δὲ τὸ πλῆθος ὅσαπερ ἐν τῷ ΒΗ τρυπήματα. Γαῦτα δὲ οὐδὲν διαφέρει λέγειν ἢ ὅσα ἐν τῇ ΑΖ καὶ ΒΖ τὰ συνάμφω. εἰ δὲ κατὰ διάμετρον ἐνταθῇ τὰ σπαρτία, ὡς ἐν τῇ Α Β Γ Δ κλίνῃ ἔχει, τὰ ἡμίσεά εἰσιν οὐ τοσαῦτα ὅσα αἱ πλευραὶ ἀμφοῖν, αἱ Α Ζ Ζ Η· τὰ ἴσα δέ, ὅσα ἐν τῷ ΖΒΖΑ τρυπήματα ἔνεστιν. Μείζονες δέ εἰσιν αἰ ΑΖ ΒΖ δύο οὖσαι τῆς ΑΒ. Ὤστε καὶ τὸ σπαρτίον μεῖζον τοσούτῳ ὅσον αἱ πλευραὶ ἄμφω μείζους εἰσὶ τῆς διαμέτρου.

Διὰ τί χαλεπώτερον τὰ μακρὰ ξύλαἀπ’ ἄκρου φέρειν ἐπὶ τῷ ὥμῳ ἢ κατὰ τὸ μέσον, ἴσου τοῦ βάρους ὄντος; Πότερον ὅτι σαλευομένου τοῦ ξύλου τὸ ἄκρον κωλύει φέρειν, μᾶλλον ἀντισπῶν τῇ σαλεύσει τὴν φοράν; Ἣ κἂν μηθὲν κάμπτηται μηδ’ ἔχῃ πολὺ μῆκος, ὅμως χαλεπώτερον φέρειν ἀπ’ ἄκρου; ἀλλ’ ὅτι καὶ ῥᾷον αἴρεται ἀπ’ ἄκρου ἢ ἐκ μέσου, διὰ τὸ αὐτὸ καὶ φέρειν οὕτω ῥᾴδιον.

Αἴτιον δὲ ὅτι ἐκ μέσου μὲν αἰρόμενον ἀεὶ ἐπικουφίζει ἄλληλα τὰ ἄκρα, καὶ θάτερον μέρος τὸ ἐπὶθάτερον εὗ αἴρει. Ὤσπερ γὰρ κέντρον

Ἀπὸ δὲ τοῦ ἄκρον αἰρόμενον ἢ φερόμενον οὐ ποιεῖ τοῦτο, ἀλλ’ ἅπαν τὸ βάρος ῥέπει ἐφ’ ἓν μέσον, εἰς ὅπερ αἴρεται ἢ φέρεται.Ἕστω μέσον ἐφ’ οὔ Α, ἄκρα Β Γ. Αἰρομένου οὖν ἢ φερομένου κατὰ τὸ Α, τὸ μὲν Β κάτω ῥέπον ἄνω αἴρει τὸ Γ, τὸ δὲ Γ κάτω ῥέπον τὸ Β ἄνω αἴρει· ἄμα δὲ αἰρομένα ἄνω ποιεῖ ταῦτα.

Διὰ τί, ἐὰν λίαν μακρὸν τὸ αὐτὸ βάρος, χαλεπώτερον φέρειν ἐπὶ τοῦ ὤμου, κἂν μέσον φέρῃ τις, ἢ ἐὰν ἔλαττον ᾖ ; Πάλαι ἐλέχθη ὡς οὐκ ἔστιν αἴτιον ἢ σάλευσις· ἀλλ’ ἢ σάλευσις νῦν αἴτιόν ἐστιν. Ὄταν γὰρ ᾖ μακρότερον, τὰ ἄκρα σαλεύεται, ὥστε εἴη ἂν καὶ τὸν φέροντα χαλεπώτερον φέρειν μᾶλλον.

Αἴτιον δὲ τοῦ σαλεύεσθαι μᾶλλον, ὅτι τῆς αὐτῆς κινήσεως οὔσης μεθίσταται τὰ ἄκρα, ὅσῳπερ ἂν μακρότερον τὸ ξύλον. Ὄ μὲν γὰρ ὦμος κέντρον, ἐφ’ οὖ τὸ Α (μένει γὰρ τοῦτο), αἱ δὲ Α Β καὶ Α Γ αἱ ἐκ τοῦ κέντρου. Ὄσῳ δ’ ἂν ᾖ μεῖζον τὸ ἐκ τοῦ κέντρου ἢ τὸ Α Β ἢ καὶ τὸ Α Γ, πλέον μεθίσταται μέγεθος. Δέδεικται δὲ τοῦτο πρότερον.

Διὰ τί ἐπὶ τοῖς φρέασι τὰκηλώνεια ποιοῦσι τοῦτον τὸν τρόπον ; προστιθέασι γὰρ βάρος ἐν τῷ ξύλῳ τὸν μόλιβδον, ὄντος βάρους τοῦ κάδου αὐτοῦ, καὶ κενοῦ καὶ πλήρους ὄντος. Ἥ ὅτι ἐν δυσὶ χρόνοις διῃρημένου τοῦ ἔργου (βάψαι γὰρ δεῖ, καὶ τοῦτ’ ἄνω ἑλκύσαι) συμβαίνει καθιέναι μὲν κενὸν ῥᾳδίως, αἴρειν δὲ πλήρη χαλεπῶς;

Λυσιτελεῖ οὖν μικρῷ βραδύτερον εἶναι τὸ καταγαγεῖν πρὸς τὸ πολὺ κουφίσαι τὸ βάρος ἀνάγοντι. Τοῦτο οὖν ποιεῖ ἐπ’ ἄκρῳτῷ κηλωνείῳ ὁ μόλιβδος προσκείμενος ἢὁ λίθος. Καθιμῶντι μὲν γὰρ

Διὰ τί, ὅταν φέρωσιν ἐπὶ ξύλου ἤ τινος τοιούτου δύο ἄνθρωποι ἴσον βάρος, οὐχ ὁμοίως θλίβονται, ἐὰν μὴ ἐπὶ τῷ μέσῳ ᾖ τὸ βάρος, ἀλλὰ μᾶλλον ὅσῳ ἄν ἐγγύτερον ᾖ τῶν φερόντων; Ἥ διότι μοχλὸς μὲν γίνεταιοὕτως ἐχόντωντὸ ξύλον, τὸ δὲ βάρος ὑπομόχλιον, ὁ δὲ ἐγγύτερος τοῦ βάρους τῶν φερόντων τὸ βάρος τὸ κινούμενον, ἄτερος δὲ τῶν φερόντων τὸ βάρος ὁ κινῶν.

Ὄσῳ γὰρ πλέον ἀπέχει τοῦ βάρους,τοσούτῳ ῥᾷον κινεῖ, καὶ θλίβει μᾶλλον τὸν ἕτερον εἰς τὸ κάτω, ὥσπερ ἀντερείδοντος τοῦ βάρους τοῦ ἐπικειμένου καὶ γινομένου ὑπομοχλίου. Ἐν μέσῳ δὲ ὑποκειμένου τοῦ βάρους, οὐδὲν μᾶλλον ἅτερος θατέρῳ γίνεται βάρος, οὐδὲ κινεῖ, ἀλλ’ ὁμοίως ἑκάτερος ἑκατέρῳ γίνεται βάρος.

Διὰ τί οἱ ἀνιστάμενοι πάντες πρὸς ὀξεῖαν γωνίαν τῷ μηρῷ ποιήσαντες τὴν κνήμην ἀνίστανται, καὶ τῷ θώρακι πρὸς τὸν μηρόν ; εἰ δὲ μή, οὐκ ἂν δύναιντο ἀναστῆναι. Πότερον ὅτι τὸ ἴσον ἠρεμίας πανταχοῦ αἴτιον, ἡ δὲ ὀρθὴ γωνία τοῦ ἴσου, καὶ ποιεῖ στάσιν· διὸ καὶ φέρεται πρὸς ὁμοίας γωνίας τῇ περιφερείᾳ τῆς γῆς.

Οὐ γὰρ ὅτι καὶ πρὸς ὀρθὴν ἔσται τῷ ἐπιπέδῳ. Ἣ ὅτι ἀνιστάμενος γίνεται ὀρθός, ἀνάγκη δὲ τὸν ἑστῶτακάθετον εἶναι πρὸς τὴν γῆν. Εἰ οὖν μέλλει ἔσεσθαι πρὸς ὁρθήν, τοῦτο δέ ἐστι τὸ τὴν κεφαλὴν ἔχειν κατὰ τοὺς πόδας, καὶ γίνεσθαι δὴ ὅτε ἀνίσταται. Ὄταν μὲν οὖν καθήμενος ᾖ, παράλληλον ἔχει τὴν κεφαλὴν καὶ τοὺς πόδας, καὶ οὐκ ἐπὶ μιᾶςεὐθείας.