Scholia in Euclidis Data

93. Θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ∠ΗΕ ἡμικύκλιον p. 76, 23] ἐπεὶ γὰρ κεῖται ἡ ∠Ε τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο- μένη, δῆλον, ὅτι, ἐὰν τμηθῇ δίχα ὁ κύκλος, ἔστι κέν- τρον τοῦ κύκλου ἡ ἡμίσεια, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου [*](91. PlVat. v b Mon. Ambr. zσρλc. 92. z. 93. PlVat. vb (m. rec.) Mon. Ambr. zρ.) [*](3. οὖν — τῶν] γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἰ Ambr. τῶν] τήν l.) [*](4. ὁμοίως] Pl, ὁμοίως δέ cett. 5. λόγος δέδοται Ambr. καί — 6. λόγος] om. z. 6. τῶν] τῶν πρός Ambr. 7. δεδομένη] -ῳ b. 11. ΑΒΓ] om. z lac. relicta. 18. κέντρου ἔσται τοῦ κύκλου Ambr. κέντρον — 19. ἡμίσεια] καὶ τοῦ κύκλου ἡμί- σεια b. κέντρον] ἡ ἐκ τοῦ κέντρου z. 19. ἡ ἡμίσεια, τουτ- ἐστιν] τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνεται δίχα ἡ ∠Ε. ἡ δὲ ἡμίσεια ἔσται ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. καὶ δέδοται Ambr. τουτ- ἑστιν — κέντρου] τῆς δεδομένης· καὶ γὰρ αὐτοῦ τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ ἡ διχοτομία· καί z.)

94. Μὴ ἔστω δή p. 80, 6] εἰ γὰρ ὑποτεθείη ὀρθή, εὐθὺς δέδοται τῷ εἴδει διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ.

95. Λόγος ἄρα τῆς ΒΑ p. 80, 11] διὰ τὸ ἀντί- στροφον τοῦ ὅρου τῶν Δεδομένων διὰ τὸ μ΄. ἐπεὶ γάρ, ὧν αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας, ἐκεῖνα δεδομένα εἰσίν, καὶ τῶν δεδομένων ἄρα τῷ εἴδει δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ γωνίαι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας.

96. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 82, 21] ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων (VI, 3)· ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῆ, ἡ δὲ τέμνουσα αὐτὴν ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ, τὰ τῆς βάσεως καὶ τὰ ἑξῆς. εἰ δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΑΒ, ἡ ΓΒ πρὸς Β∠· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς Β∠.

97. Καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ p. 82, 23] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

98. Ἐὰν γὰρ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ, τὰ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς τοῦ τρι- γώνου πλευραῖς.

99. Ὥστε καὶ τῆς ΑΒ p. 92, 6] ἐπεὶ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ ὁ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν Η λόγος δοθείς, δῆλον ἄρα, ὡς καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο δοθέντων λόγων δοθείς ἐστι λόγος· ἢ καὶ διὰ τὸ η΄, ὃ καὶ βέλτιον.

100. Ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 92, 7] ὡς γὰρ ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς α΄ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς β΄ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

101. Δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ p. 94, 14] πᾶν γὰρ τετράγωνον δοθέν ἐστι τῷ εἴδει διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας [*](97. PlVat. cS. 98. Pzσ. 99. PlVat. vMon. Ambr. ρλc.) [*](100. Plσ. 101. PlVat. v Mon. Ambr. σρ. Lin. 18. πᾶν — p. 286, 4 ἴσων om. γάρ lin. 18 et τῷ εἴδει lin. 19, post ἴσων autem add. μεγεθῶν in PlVat. iterum, in c primum leg. ad finem libri post schol. nr. 55, ubi sequuntur haec: καὶ πάλιν, ἐὰν ὑπὸ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν χωρίον περιέχηται ὀρθογώνιον, δοθέν ἐστι τὸ χωρίον διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας αὐτοῦ δεδόσθαι· πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί· καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν διὰ τὸ α΄ θεώρημα.) [*](5. γάρ] om. z. τμηθῇ] hinc z haec habet: ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τοῦ (sic) βάσεως τμήματα ἀνάλογόν ἐστι ταῖς λοιπαῖς τῷ τριγώνῳ (sic) πλευραῖς.) [*](6. τοῦ (pr.)] om. codd. 9. τῆς] Pl., ὁ τῆς cett. 10. τήν] τὸ v. 13. καί (alt.)] comp. Vat., κείμενον ρ. 15. γ΄] β΄ L.) [*](18. Ante πᾶν add. σχόλιον. P. 19. καί] om. Ambr.)

102. P. 96,1] δεδομένα τῷ εἴδει καθʼ ἑαυτὰ ἕκαστον.

103. Τῆς δὲ ∠Β p. 96, 8] ὑπόκειται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· δεδομένα γάρ ἐστι τῷ εἴδει.

104. Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τοῖς πρώ- τοις σχολίοις τοῦ πρό, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε P, ὅτι, ἐὰν α΄ πρὸς β΄ λόγον ἔχῃ δεδομένον, ᾖ δὲ καὶ τὸ γ΄ δεδομένον, καὶ γένηται ὡς τὸ α΄ πρὸς τὸ β΄, οὕτως τὸ γ΄ πρὸς ἄλλο τι τὸ δ΄, οὐκέτι καὶ ἐναλλὰξ λόγον ἕξουσι δεδομένον, διόπερ καὶ ἐνταῦθα οὐκ ἐκ τοῦ ἐναλλὰξ εὗρε τὸν λόγον αὐτῶν δεδομένον, ἀλλὰ ἄλλως, ὡς νῦν λέγει.

105. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ∠ p. 96, 24] ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

106. Καὶ τῆς Γ∠ ἄρα p. 98, 1] σχόλιον. ἐδείχθη γάρ, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ α΄ πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευτέραν λόγον ἕξει δεδομένον, ἐν τῷ κδ΄. ἢ καὶ οὕτως· ἐπεὶ ὁ συγκείμενος λόγος δέδοται, καὶ ἑκάτερος τῶν τιθέντων αὐτὸν λόγων δέδοται· ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός.

107. Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β p. 98, 2] ἀντὶ τοῦ· καί εἰσι δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β· καὶ γὰρ ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον· ὥστε δεδομένα εἰσὶ τῷ εἴδει τὰ ὅμοια· τὰ οὖν ὅμοια καὶ τῷ εἴδει εἰσὶ δεδομένα, τὰ δὲ τῷ εἴδει δεδομένα οὐ πάντως ὅμοια.

108. Ὥστε καὶ τῆς ΕΑ p. 102, 23] ἐπεὶ γὰρ δύο εἴδη τὰ ΕΒ, Β∠ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

109. Καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος p. 104 8–9] τὸ μὲν ἀληθῶς πλάτος τοῦ ΑΓΗΒ παραλληλο- γράμμου ἐστὶν ἡ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ· αὐτοῦ δὲ τούτου τοῦ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ἐπὶ τούτων τῶν [*](106. 107. Plvσ. 108. PlVat. v Mon. σρλc. 109. Pl Vat. vMon. σρ. (hab. fig. Theonis).) [*](3. ἔχῃ] ἔχει codd. 6. τιθέντων] fort. συντιθέντων. αὐτὸν λόγων] om. σ lac. relicta. ὁ] om. Pv. αὐτός] αὐτός ἐστιν lσ.) [*](9. ἐστι εὐθύγραμμα σ. 10. ἀλλήλαις] -οις Plv. ἔχει κατά] σχήματα Pv. 15. Ante ἐπεί add. σχόλιον. P. 16. ΕΒ, Β∠] ΕΑ, Α∠ codd. 17. ἄλληλα Vat. vc. 20. ΑΓΗΒ] ΑΗΒ Mon. 21. ὀρθάς] ὀρθήν Mon. 22. τούτων τῶν τεσσάρων] compp. P, τῆς τῶν δ Mon. σρ.)

110. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε∠ p. 104, 17–18] ἡμί- σεια γάρ ἐστι τῆς Α∠ δοθείσης ἡ Ε∠.

111. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ p. 104, 20] ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ∠Γ δεδομένῳ.

112. Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ, ΚΘ p. 104, 23] ἐπεὶ γὰρ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον, κοινὸν προσκείσθω τὸ Γ∠· ὅλον ἄρα τὸ Κ∠ τῷ ὅλῳ τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ Κ∠ τῷ ΑΚ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ τῇ Ε∠ ἴση· δίχα γὰρ τέτμηται. καὶ τὸ ΑΚ ἄρα τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ τῷ γνώμονί ἐστιν ἴσον, τουτέστι τῷ ΒΚ καὶ ΒΖ. ἔτι κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΘ· τὰ ΑΓ, ΚΘ ἄρα ἴσα ἐστὶ τῷ ΕΖ.

113. Ἔστι δὲ καὶ ἡ Ε∠ δοθεῖσα p. 06, 5] ἡμίσεια γάρ ἐστιν ἡ Ε∠ τῆς Α∠ δεδομένης.

114. Περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρον p. 106, 17] ἐδείχθη γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις, ὡς τὰ ὅμοια παραλληλό- γραμμα περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.

115. Καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ p. 106, 24] καὶ ὁμοίως τῷ σχολίῳ τῷ αὐτῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος.

116. Ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει p. 108, 1] τῷ εἴδει γὰρ δεδομένον ὑπόκειται τὸ ΓΒ.

117. Ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ p. 108, 17] ὅτι δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΑΗ, δῆλον· παντὸς γὰρ παρ- αλληλογράμμου εἶς μόνος ἐστὶ γνώμων. καὶ γὰρ γνώ- μων ἐστὶν ἓν ὁποιονοῦν τῶν περὶ τὴν διάμετρον ταραλληλογράμμων σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασιν, ὃς προστιθέμενος ὅμοιον ποιεῖ, προσετέθη παρ- αλληλογράμμῳ, τὸ γενόμενον ὑπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς παρ- αλληλογράμμου καὶ τοῦ γνώμονος. ὁμοίως δέ, κἂν ἀφαιρεθῇ γνώμων παραλληλογράμμου· περὶ τὴν αὐτὴν γάρ ἐστι διάμετρον, ὡς ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τῶν στοιχείων.

118. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ γωνία p. 110,22] δεδομένον γὰρ τῷ εἴδει ὑπόκειται τὸ ΑΖΓΒ.

119. Δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον p.110,23] ὅτι δέδοται τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον, δῆλον. ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ ΖΓΒ γωνία, δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΓΖΒ γωνία· εἰς γὰρ παραλλήλους τὰς ΖΒ, ΓΒ εὐθεῖα ἐμ- πέπτωκεν ἡ ΓΖ ποιοῦσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, ὧν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ δέδοται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΗ δέδοται· ὥστε καὶ αἱ λοιπαὶ δύο δεδομέναι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΓΒ λόγος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΓ τῇ ΗΒ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΖΗ, καὶ ὁ λόγος τῶν πλευρῶν δέδοται.

120. Τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς p. 112, 3–4] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΖΒ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΑΖΒΓ εἶδος λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΑΖΒΓ εἴδους πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ διʼ ἴσου τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς.

121. Ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ p. 112, 14] ἐπεὶ γὰρ παράλληλος ἡ ΓΒ τῇ ΛΘ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΓΚ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

122. Δεῖ τοῦτο προσεπιθεωρεῖν, ὅτι καὶ τὰ τετρά- γωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον· τούτῳ γὰρ ἐξῆς προσχρήσεται. ὅτι δὲ ἀληθές ἐστιν, δῆλον. εἰ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον, δῆλον, ὅτι καὶ τὰ ΕΒ, ΖΓ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

123. Τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ δωδέκατον θεώρημα συμβάλλεται εἰς τὸ παρὸν θεώρημα· ἀλλὰ καὶ τὸ ιγ΄ πάλιν εἰς τὸ μετὰ τοῦτο ἤτοι τὸ ξε΄, καὶ ζήτει αὐτὰ ἐκεῖ.

124. Πόθεν ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως ὁ ὑπὸ τῶν Α∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ ἐκ- κείσθω τις εὐθεῖα ἡ αβ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Α∠ ἴση ἡ αδ, τῇ δὲ ∠Β ἴση ἡ δβ, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ δζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ δζ· καὶ συμ- πεπληρώσθω τὸ σχῆμα τὸ αθ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ αδ πρὸς δβ, οὕτως τὸ αζ πρὸς τὸ δθ, καί ἐστι τὸ μὲν αζ [*](122. PlVat. νσρλ. 123. P2. 124. PlVat. v Ambr. zσρλ (in z textui post πρός p. 118, 10 interpositum); fig. hab. Vat. zσρ.) [*](2. τά] om. σ. 4. προσχρήσται ρ. 5. πρὸς τὸ ΑΒΓ] om. codd. ἔχει] ἔχῃ Vat. 6. ΕΒ] Ε om. codd. 13. ἐστίν] δείκνυται Ambr. et m. 2 σ. τήν] om. vσρ. ∠Β] ΑΒ zρ.) [*](16. κείσθω] ἀφηρείσθω z. 17. ἡ δβ] sustulit resarcinatio bombyc. l. 20. σχῆμα] om. z. τό (alt.)] ἤτοι τό Ambr.) [*](21. ἐπεὶ οὖν] καὶ ἐπεί Ambr. z. ἡ] om. Pl. 22. δβ] τὴν δβ z. μὲν αζ τό] sustulit resarcinatio bombyc. I.)

125. Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ∠Α, ΒΓ p. 118, 13] ἀν- ήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ σημείου τῇ Α∠ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ∠Γ διήχθω ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΕ παραλληλό- γραμμον τοῦ τριγώνου διπλά- σιόν ἐστιν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις· καὶ περι- έχεται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ Α∠, ἡ δὲ ΖΕ τῇ ΒΓ, διὰ τοῦτο λόγον ἔχει τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, ὥστε καὶ διπλα- [*](125. Pl Vat. Mon. Ambr. σρλc; fig. ex P.) [*](1. τό (pr.)] om. λ. τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν] bis l, sed alte- rum del. m. 1. 2. δθ] αθ Vat. Ambr. 4. ἴση] sustulit resarcinatio bombyc. l. ἡ μέν] om. z. 5. ∠Β] τὴν ∠Β Ambr., τὸ ∠Β ρ. Α∠, ΒΓ] τῶν (comp.) Α∠, ΒΓ Ambr. 9. παράλληλος] ἡ παράλληλος PlVat. 10. διήχθω τῇ ∠Γ Ambr. 11. ΑΕ] ∠Ε Mon. ρ. 12. καὶ ἐπεί] Ambr., ἐπεὶ γάρ cett.; malim ἐπεὶ οὗν. 13. διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου Ambr. 14. ἐπί τε] ΓΕΖ∠ Vat., ἐπεί τε Mon. γάρ] om. Vat. Mon.c.) [*](15. εἰσι] ἐστι Ambr. 17. τό] τὸ μὲν ΒΕ Ambr. 18. τῇ (alt.)] τῆς Pλ. διὰ τοῦτο] sustulit resarc. bombyc. l, ὥστε Ambr. τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον Ambr. 19. τό] om. λ. ὥστε — p. 293, 4. στοιχείων] δι- πλασίονα· καὶ τὸ θὶς ἄρα ὑπὸ τῶν Α∠, BΓ πρὸς τὸ ΑBΓ τρί- γωνον λόγον ἔχει τετραπλασίονα, καὶ φανερόν, ὅτι καὶ δοθέντα Ambr. 19. καί] om. Vat. Mon. ρϲ.)

126. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ p. 118, 16] ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τοῦ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις.

127. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p. 120, 13] καί ἐστιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒ, Α∠.

128. Πόθεν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, Β∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ. Α∠; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ εζ καὶ ἀφῃρήσθω ἀπʼ αὐτῆς τῇ μὲν Β∠ ἴση ἡ εδ, τῇ δὲ ∠Α ἴση ἡ δζ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ηδ ἴση οὗσα τῇ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ εδ πρὸς δζ, οὕτως τὸ εη πρὸς ηζ, καί ἐστι τὸ μὲν εη τὸ ὑπὸ τῶν εδ, δη, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, ΒΓ, τὸ δὲ ηζ τὸ ὑπὸ τῶν ζδ, δη, [*](126. P. 127. Pl. 128. PlVat. Mon. σρλ. Fig. om. codd.) [*](2. ὅπερ ἐστί] καί λ. 3. δοθέντα] δεδομένον lλ, om. Mon. πρὸς τό] τὸ γάρ c. τετραπλασίονα] comp. codd. τὸ γάρ — 4. ἐστιν] non intellego. 3. τό (alt.)] σ, τόν cett. ∠Γ] sust. resarc. bombyc. l. 4. ὡς ἐν] tineis adesa Mon. 12. ὡς] om. Vat, ἴση ρ. 13. τῶν (pr.)] τό l. τῶν (alt.)] om. l.) [*](15. ἀπʼ αὐτῆς] ἀπὸ ταύτης Vat., ὑπὸ ταύτης Mon., ἀπὸ τῆς αὐτῆς ρ. 16. ∠Α] ∠Ζ Mon ρ. 17. ἡ (alt.)] om. P. 22. τό (tert.)] τῷ codd.)

129. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ των ΓΒ, Β∠ p.120,17–18] ὡς ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ ιγ΄ θεωρήματι ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις.

130. Ὡρ δὲ ἡ ΑΒ πρὸς Β∠ p. 122, 9] πάλιν καὶ ἐνταῦθα, ἐὰν τῇ μὲν ΑΒ ἴσην εὐθεῖαν λάβωμεν τὴν εη, τῇ δὲ Β∠ τὴν ηζ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ηθ ἴσην οὖσαν τῇ ΑΓ· καὶ συμπεπληρώ- σθω τὸ σχῆμα· ἔσται ὡς ἡ εη πρὸς ηζ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Β∠, οὕτως τὸ εθ πρὸς θζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν θηε, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, πρὸς τὸ θζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν θη, ηζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠· ἴση γὰρ ἡ μὲν εη τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ηθ τῇ ΑΓ. ἡ δὲ ηζ τῇ Β∠.

131. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠ p. 122, 12] ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν καὶ ποιήσωμεν παραλληλόγραμμον, ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, [*](129. Pl. 130. P Vat. v Mon. σρλ. Fig. dedi ex Vat.; om. Plv. 131. PVat. σρλ.) [*](1. τό] τῷ Vat. ρ, τά Mon. τῶν] om. ρ. τῇ ΒΓ] om. Mon. 2. τῇ] om. Vat. λόγος — ἑξῆς] haec codd. habent initio scholii nr. 130. 8 ΑΒ] Β∠ Vat. 12. ἔσται] comp. PVat., om. l. 16. θηε — 17. τῶν (pr.)] om. Vat. Mon. ρ.) [*](17. πρός (alt.)] καί Vat. ρ. θη, ηζ — 18. τῶν] om. Vat. Mon. ρ.) [*](19. ΑΒ] ΑΘ Vat. Mon. ρ.)

132. Τὸ θεώρημα ὡς ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ καταγέγραπται. ἐὰν δὲ ὀρθὴ ᾖ, αὐτόθεν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· δι- πλάσιον γὰρ αὐτοῦ ἐστιν. ἐὰν δὲ ἀμβλεῖα ᾖ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἤχθω κάθετος ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ ἡ ΒΕ. δέδοται οὖν ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, ἐπειδὴ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῆς ὑπό- κειται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΑ δέδοται. δέδοται ἄρα τὸ τρίγωνον τὸ ΕΒΑ τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς ΒΑ δοθείς. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, τῆς ΑΓ μέσης λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΑΓ λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΙ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς· διπλάσιον γάρ· ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Α, Γ τῇ ΕΒ παρ- αλλήλους ἀγάγωμεν καὶ ἔτι διὰ τοῦ Β τῇ ΕΓ, δῆλον γίνεται· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

133. Ἐὰν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ ἀπὸ τῆς καταχθείσης μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ μίας τῶν ἴσων πλευρῶν.

ἔστω δὴ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ Α∠. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν Β∠, ∠Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.

ἡ Α∠ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤτοι κάθετός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον κάθετος. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β∠. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς Α∠· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ∠Β. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ∠Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.

ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω κάθετος ἡ Α∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΕ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν [*](133. PlVat. vMon. σρλ.) [*](2. ἰσοσκελοῦς] -ἐς vρ. τριγώνου] comp. vρ. 4. τῷ] τό Pl. 7. Α] Ε Pl. 9. Β∠, ∠Γ] ΒΑΓ Vat., ΒΑ ΑΓ cett. 10. Α∠] ΑΒ ρ. 11. πρώτερον Vat. 12. Γ∠, ∠Β] Γ∠Β Vat. 15. ἀλλά] καί Vat. Mon ρ. 16. τό (pr.)] τῷ ρ.) [*](ΑΒ] τῆς ΑΒ lvMon. ρ. τό (alt.) — 17. AB] om. ρ. 17. Γ∠Β] add. m. 1 Vat., ∠Β Mon. ἀπό (pr.) ] Mon., om. cett.) [*](21 Γ∠Β] ΓΕΒ Plv. 22. τῷ] τδ Pl. 23. Γ∠Β] ΓΕΒ Plv.) [*](τῶν (tert.)] τῆς ρ.)

134. Ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ∠ΑΓ ∠ΒΕ τρίγωνα.

135. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 124, 18] παρ- άλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ.

136. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 128, 3–4] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Ζ, ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Θ, καὶ ἡ Θ ἄρα τῇ Ζ ἐστιν ἴση· ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

137. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ∠ΑΓ, ΑΚ∠ p. 130, 2] ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Β τῇ ΑΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐνέπεσεν εὐθεῖα ἡ Α∠, αἱ ἐντὸς γωνίαι αἱ ὑπὸ Β∠Α, ∠ΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. [*](Figuram dedi ex P.) [*](134. Pl. 135. P. 136. PlVat. vσρλ. 137. Plλ.) [*](1. ΑΕ∠] ΑΕ, Ε∠ Vat. Mon ρ, item lin. 2. Post ΑΕΒ Pl habent: καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕΒ. ἴσον] om. Mon. 3. Γ∠Β] ΓΑΒ Pl. ἴσον ἐστί] om. Pl. 5. ἐστι] om. Vat. ρ. ΑΕ, ΕΒ] Α∠Β codd. 6. ἀπό] om. Pl. τό (alt.)] τοῖς PlVat. 7. ἀπό] om. codd. Α∠] Α∠Β Pl. 8. ἴσον] om. Mon. τῷ] τὸ P. 14. Ζ] ΖΑ codd. 19. ἐντὸς] αὐτός P.)

138. Καθόλου γάρ, ἐὰν παραλληλογράμμου μία γωνία δοθῇ, καὶ αἱ λοιπαὶ δεδομέναι εἰσίν. μιᾶς γὰρ δοθείσης ἐξ ἀνάγκης καὶ ἡ ἐφεξῆς δοθήσεται, ὥστε καὶ τῶν δοθεισῶν αἱ ἀπεναντίον δοθήσονται.