Fragmenta
Euclid
Euclid. Euclidis Opera Omnia, Volume 8. Menge, Heinrich, editor. Leipzig: Teubner, 1916.
α΄. Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ παρὰ θέσει ἡ Γ∠, καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ Α∠Β πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ, τὸ Γ ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως, καὶ τὰ Α, Β στερηθῇ τοῦ δοθέντα εἶναι, γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθείαις ταῖς ΑΕ, [*](1) πρὸς] τῶν πρὸς Hultsch.) [*](1. εἰς (alt.)] ἡ ΕΖ εἰς Hultsch cum Commandino. 5. ΖΓΗ] ΖΓ Γ∠ Hultsch cum Commandino. 6. τὸ] τὸ ὑπὸ cod., Hultsch. 7. τοῦ] τοῦ ὑπὸ cod., Hultsch. 19. α΄] hoc lemma explicauit Tannery Bulletin des sciences mathém. 2° série VI p. 149, figuram dedit Ζeuthen Kegelsch. p. 424. 25. δοθέντα] δοθέντος cod., Hultsch. εὐθείαις] Tannery, εὐθεῖα cod., Hultsch.)
β΄. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ∠Γ, καὶ παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ᾖ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε, τὸ ∠ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς· δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς· δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τόπου τοῦδε·
Δύο δοθέντων τῶν Α, Β καὶ ὀρθῆς τῆς Γ∠ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἄπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα.
ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Α∠ τοῖς ἀπὸ Γ∠, ∠Β, κείσθω τῇ Β∠ ἴση ἡ ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ∠Γ. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠. καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ.
συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως·
ἔστω τὰ δοθέντα Α, Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς [*](1. ἐπιφανείᾳ] Hultsch in indice, ἐπιφανείας cod. 5. παρὰ θέσει] πρὸς ὀρθὰς Hultsch. 7. δείκνυται] δεικτέον susp. Hultsch. γραμμῆς] γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν τόπον Gerhardt, Hultsch. 8. τόπου] „immo τοῦ λήμματος Hultsch. 10. γ΄ praeposuit Hultsch cum aliis 21. ἔσται] ἔστιν Hultsch cum Commandino. 27. δ΄ add Hultsch, alii.)
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς Β∠, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς Ζ∠· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ∠Γ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον ὄν τῷ ἀπὸ ∠Β· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β. ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β καὶ εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ [*](17. ε΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή] ἐφάπτεται ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή cod., κατήχθω ὀρθὴ ἡ ∠Γ Hultsch cum Commandino.)
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Β∠, ∠Γ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β∠ τῆς ∠Ε, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς ∠Ε. κείσθω οὖν τῇ Ε∠ ἴση ἡ ∠Ζ. ἐπεῖ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, καὶ λοιπὸς [*](2. ἐλάσσων πρὸς μείζονα] μείζων πρὸς ἐλάσσονα Hultsch cum Commandino. μείζων πρὸς ἐλάσσονα] ἐλάσσων πρὸς μείζονα Hultsch cum Commandino. 7. Β∠] Ε∠ Hultsch cum Commandino. 8. ∠Ε] ∠Β Hultsch cum Commandino. 10. οὖν] ὅτι cod., om Hultsch cum Commandino. 12 Permutanda erant ΕΔ et ΔΒ; sed hic error, quoniam cum ulla probabilitate corrigi non potest, Pappo ipsi trbuendus est totam demonstrationem pessumdat.)
συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως·
ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων [*](2. καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β] om. Hultsch cum Commandino. 6. καὶ τῆς — 7. δοθείς] cod., nisi quod δοθέντα habet (sicut etiam post ∠Β lin. 6); om Hultsch cum Commandino. 7. ΑΒ] ΑΘ Hultsch cum Commandino. 9 δοθὲν ἄρα τὸ Θ] uncis inclusit Hultsch. λοιπὸς] λοιπὸς ἄρα Hultsch. 15. Post ὑπερβολῆς add. μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἐλάσσων πρὸς μείζονα cod. 16. Ϛ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ] τοῦ ἀπὸ PΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ Bultsch cum Commandino. 19. μείζων πρὸς ἐλάσσονα et ἐλάσσων πρὸς μείζονα Hultsch cum Commandino.)
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Β ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ ὁ δὲ τῆς Θ∠ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη· ὥστε τοῦ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ [*](11. καὶ ἤχθω] κατήχθω cod., Hultsch. 18. ἐστιν] del. Hultsch. 19 τὸ αὐτὸ] τοῦτο susp. Hultsch.)
Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.
ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ∠Γ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ἔστω τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε. λέγω, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως,\ ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς.
ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε. δεῖξαι, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται παραβολῆς.
ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ θέσει ἄρα ἐστί· τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον τῷ ἀπὸ [*](4. καὶ ἔτι] καὶ ἔστιν cod., καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος καὶ ἔστιν Hultsch cum Commandino. Post ΤΣ add. ἐλάσσων πρὸς μείζονα cod. 10. ΖΑΕ] Θ cod. 13. Γ∠, ∠Β ΒΗ cod. 17. ζ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 19 καὶ (alt.)] om. cod., Hultsch. 24. ἔστω] ἔστω τῶν cod., ἔστω γὰρ Hultsch.)
συντεθήσεται δὴ οὕτως·
ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων των τῶν Ζ, Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ ∠, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ∠Η, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. λέγω, ὅτι ἡ ∠Θ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι, οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ Γ∠ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε.
ἤχθω κάθετος ἡ ∠Η· διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ Ε∠, τοῖς δὲ ἀπὸ ∠Η, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ∠Γ· τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Ε. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε· ἡ ἄρα ∠Θ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
[*](6. η΄ praemisit Hultsch cum aliis. 11. ἐστὶν] fort. εἶναι. 12. τὸν τόπον ποιεῖ] τὸν τόπον cod., ποιεῖ τὸν τόπον Hultsch cum aliis. ὅτι] om. cod., Hultsch 13. ἐὰν] ἂν Hultsch. 19. Deniderantur praeter finom huius lemmatis sine dubio alia lemmata libri Euclidis.)