Fragmenta

Euclid

Euclid, Fragmenta, Menge, Teubner, 1916

α΄. Ἐὰν ᾖ εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ παρὰ θέσει ἡ Γ∠, καὶ ᾖ λόγος τοῦ ὑπὸ Α∠Β πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ, τὸ Γ ἅπτεται κωνικῆς γραμμῆς. ἐὰν οὖν ἡ μὲν ΑΒ στερηθῇ τῆς θέσεως, καὶ τὰ Α, Β στερηθῇ τοῦ δοθέντα εἶναι, γένηται δὲ πρὸς θέσει εὐθείαις ταῖς ΑΕ, [*](1) πρὸς] τῶν πρὸς Hultsch.) [*](1. εἰς (alt.)] ἡ ΕΖ εἰς Hultsch cum Commandino. 5. ΖΓΗ] ΖΓ Γ∠ Hultsch cum Commandino. 6. τὸ] τὸ ὑπὸ cod., Hultsch. 7. τοῦ] τοῦ ὑπὸ cod., Hultsch. 19. α΄] hoc lemma explicauit Tannery Bulletin des sciences mathém. 2° série VI p. 149, figuram dedit Ζeuthen Kegelsch. p. 424. 25. δοθέντα] δοθέντος cod., Hultsch. εὐθείαις] Tannery, εὐθεῖα cod., Hultsch.)

275
ΕΒ, τὸ Γ μετεωρισθὲν γίνεται πρὸς θέσει ἐπιφανείᾳ. τοῦτο δὲ ἐδείχθη.

β΄. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ∠Γ, καὶ παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ᾖ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε, τὸ ∠ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς· δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς· δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τόπου τοῦδε·

Δύο δοθέντων τῶν Α, Β καὶ ὀρθῆς τῆς Γ∠ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἄπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα.

ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Α∠ τοῖς ἀπὸ Γ∠, ∠Β, κείσθω τῇ Β∠ ἴση ἡ ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ∠Γ. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠. καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ.

συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως·

ἔστω τὰ δοθέντα Α, Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς [*](1. ἐπιφανείᾳ] Hultsch in indice, ἐπιφανείας cod. 5. παρὰ θέσει] πρὸς ὀρθὰς Hultsch. 7. δείκνυται] δεικτέον susp. Hultsch. γραμμῆς] γραμμῆς μέρος ποιεῖ τὸν τόπον Gerhardt, Hultsch. 8. τόπου] „immo τοῦ λήμματος Hultsch. 10. γ΄ praeposuit Hultsch cum aliis 21. ἔσται] ἔστιν Hultsch cum Commandino. 27. δ΄ add Hultsch, alii.)

276
ἴσον, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ, καὶ θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ P δεδομένης τῷ μεγέθει, γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ, κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ Ζ∠ τῷ ἀπὸ ∠. καὶ ἤχθω ὀρθὴ ΒΗ. λέγω, ὅτι τὸ ΓΗ. μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν.

ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς Β∠, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς Ζ∠· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ∠Γ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον ὄν τῷ ἀπὸ ∠Β· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β. ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.

Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β καὶ εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ [*](17. ε΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή] ἐφάπτεται ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή cod., κατήχθω ὀρθὴ ἡ ∠Γ Hultsch cum Commandino.)

277
πρὸς τὰ ἀπὸ B∠, ∠Γ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα. λέγω, ὅτι τὸ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Β∠, ∠Γ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ· ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β∠ τῆς ∠Ε, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ Β  τῆς ∠Ε. κείσθω οὖν τῇ Ε∠ ἴση ἡ ∠Ζ. ἐπεῖ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, καὶ λοιπὸς [*](2. ἐλάσσων πρὸς μείζονα] μείζων πρὸς ἐλάσσονα Hultsch cum Commandino. μείζων πρὸς ἐλάσσονα] ἐλάσσων πρὸς μείζονα Hultsch cum Commandino. 7. Β∠] Ε∠ Hultsch cum Commandino. 8. ∠Ε] ∠Β Hultsch cum Commandino. 10. οὖν] ὅτι cod., om Hultsch cum Commandino. 12 Permutanda erant ΕΔ et ΔΒ; sed hic error, quoniam cum ulla probabilitate corrigi non potest, Pappo ipsi trbuendus est totam demonstrationem pessumdat.)

278
ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς. ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς ΖΒ πρὸς Β∠, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ πρὸς ∠Η λόγος ἐστὶν δοθείς. πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β δοθείς, καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς Β∠ λόγος ἐστὶν δοθείς. ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστιν δοθείς· δοθὲν ἄρα τὸ Θ. καὶ λοιπὸς τῆς ΑΕ πρὸς Θ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠Η λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ Η∠Θ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς. καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Θ, Η· ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται ἐλλείψψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.

συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως·

ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων [*](2. καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β] om. Hultsch cum Commandino. 6. καὶ τῆς — 7. δοθείς] cod., nisi quod δοθέντα habet (sicut etiam post ∠Β lin. 6); om Hultsch cum Commandino. 7. ΑΒ] ΑΘ Hultsch cum Commandino. 9 δοθὲν ἄρα τὸ Θ] uncis inclusit Hultsch. λοιπὸς] λοιπὸς ἄρα Hultsch. 15. Post ὑπερβολῆς add. μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἐλάσσων πρὸς μείζονα cod. 16. Ϛ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 18. τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ] τοῦ ἀπὸ PΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ Bultsch cum Commandino. 19. μείζων πρὸς ἐλάσσονα et ἐλάσσων πρὸς μείζονα Hultsch cum Commandino.)

279
πρὸς ἐλάσσονα, καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ. καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, πεποιήσθω δὲ καί, ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τον ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ, καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ Γ∠, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ, ὄν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ, καὶ ἐξ οὗ ὅν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὄν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ Θ Κ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα.

ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Β ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ ὁ δὲ τῆς Θ∠ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη· ὥστε τοῦ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ [*](11. καὶ ἤχθω] κατήχθω cod., Hultsch. 18. ἐστιν] del. Hultsch. 19 τὸ αὐτὸ] τοῦτο susp. Hultsch.)

280
ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ. ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς Σ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἔτι ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ. καὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ Θ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β. καὶ πάντα πρὸς πάντα· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστιν ὁ δοθεὶς λόγος· ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον.

Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.

ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ∠Γ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ἔστω τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε. λέγω, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως,\ ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς.

ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε. δεῖξαι, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται παραβολῆς.

ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ θέσει ἄρα ἐστί· τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον τῷ ἀπὸ [*](4. καὶ ἔτι] καὶ ἔστιν cod., καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος καὶ ἔστιν Hultsch cum Commandino. Post ΤΣ add. ἐλάσσων πρὸς μείζονα cod. 10. ΖΑΕ] Θ cod. 13. Γ∠, ∠Β ΒΗ cod. 17. ζ΄ praemisit Hultsch cum aliis. 19 καὶ (alt.)] om. cod., Hultsch. 24. ἔστω] ἔστω τῶν cod., ἔστω γὰρ Hultsch.)

281
ΔΓ. ἴση δὲ ἡ μὲν Ε∠ τῇ ΖΗ, το δὲ ἀπὸ ∠Γ ἴσον τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ, Γ· τὸ ∠ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς· τοῦτο γὰρ προδέδεικται.

συντεθήσεται δὴ οὕτως·

ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων των τῶν Ζ, Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ ∠, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ∠Η, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. λέγω, ὅτι ἡ ∠Θ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι, οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ Γ∠ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε.

ἤχθω κάθετος ἡ ∠Η· διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ Ε∠, τοῖς δὲ ἀπὸ ∠Η, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ∠Γ· τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Ε. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε· ἡ ἄρα ∠Θ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.

[*](6. η΄ praemisit Hultsch cum aliis. 11. ἐστὶν] fort. εἶναι. 12. τὸν τόπον ποιεῖ] τὸν τόπον cod., ποιεῖ τὸν τόπον Hultsch cum aliis. ὅτι] om. cod., Hultsch 13. ἐὰν] ἂν Hultsch. 19. Deniderantur praeter finom huius lemmatis sine dubio alia lemmata libri Euclidis.)