Syntaxis mathematica

Τάδε ἔνεστιν ἐν τῷ πρώτῳ τῆς Πτολεμαίου μαθηματικῆς συντάξεως.

α΄. προοίμιον.

β΄. περὶ τῆς τάξεως τῶν θεωρημάτων.

γ΄. ὅτι σφαιροειδῶς ὁ οὐρανὸς φέρεται.

δ΄. ὅτι καὶ ἡ γῆ σφαιροειδής ἐστιν πρὸς αἴσθησιν ὡς καθʼ ὅλα μέρη.

ε΄. ὅτι μέση τοῦ οὐρανοῦ ἐστιν ἡ γῆ.

ς΄. ὅτι σημείου λόγον ἔχει πρὸς τὰ οὐράνια ἡ γῆ.

ζ΄. ὅτι οὐδὲ κίνησίν τινα μεταβατικὴν ποιεῖται ἡ γῆ.

η΄. ὅτι δύο διαφοραὶ τῶν πρώτων κινήσεών εἰσιν ἐν τῷ οὐρανῷ.

θ΄. περὶ τῶν κατὰ μέρος καταλήψεων.

ι΄. περὶ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν.

ια΄. κανόνιον τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν.

ιβ΄. περὶ τῆς μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας.

ιγ΄. προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις.

ιδ΄. περὶ τῶν μεταξὺ τοῦ ἰσημερινοῦ κύκλου περιφερειῶν.

ιε΄. κανόνιον λοξώσεως.

ις΄. περὶ τῶν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ἀναφορῶν.

Πάνυ καλῶς οἱ γνησίως φιλοσοφήσαντες, ὦ Σύρε, δοκοῦσί μοι κεχωρικέναι τὸ θεωρητικὸν τῆς φιλοσοφίας ἀπὸ τοῦ πρακτικοῦ. καὶ γὰρ εἰ συμβέβηκε καὶ τῷ πρακτικῷ πρότερον αὐτοῦ τούτου θεωρητικῷ τυγχάνειν, οὐδὲν ἧττον ἄν τις εὕροι μεγάλην οὖσαν ἐν αὐτοῖς διαφοράν, οὐ μόνον διὰ τὸ τῶν μὲν ἠθικῶν ἀρετῶν ἐνίας ὑπάρξαι δύνασθαι πολλοῖς καὶ χωρὶς μαθήσεως, τῆς δὲ τῶν ὅλων θεωρίας ἀδύνατον εἶναι τυχεῖν ἄνευ διδασκαλίας, ἀλλὰ καὶ τῷ τὴν πλείστην ὠφέλειαν ἐκεῖ μὲν ἐκ τῆς ἐν αὐτοῖς τοῖς πράγμασι συνεχοῦς ἐνεργείας, ἐνθάδε δʼ ἐκ τῆς ἐν τοῖς θεωρήμασι προκοπῆς παραγίγνεσθαι. ἔνθεν ἡγησάμεθα προσήκειν ἑαυτοῖς [*](1. περιφερείας] corr. ex περιφερίας D3. 2. δείξεις] corr. ex δείξις D3. 3. τοῦ] post ras. 3 litt. D. κύκλου] corr. ex κου D3. περιφερειῶν] corr. ex περιφεριῶν D similes errores, quibus scatet D, posthac non notabo. 4. κανόνιον λοξώσεως] om. D. 5. ἀναφορῶν] τοῦ διὰ μέσων καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ συνναφορῶν α D (α supra scr. D3). Seq. οἶδʼ ὅτι θνητὸς ἔφυν καὶ ἐφάμερος· ἀλλʼ ὅταν ἄστρων | ἰχνεύω κατὰ νοῦν ἀμφιδρόμους ἕλικας, | οὐκέτʼ ἐπιψαύω γαίης ποσίν, ἀλλὰ παρʼ αὐτῶι | ζηνὶ διοτροφέος πίμπλαμαι ἀμβροσίης CD (idem in mg. inf. B, sed διοτρεφέος). 6. α΄] om. A, mg. B, κλαυδίου πτολεμαίου μαθη- μιατικῆς συντάξεως C, πτολεμαίου σύνταξις D. προοίμιον] om. A.) [*](8. κεχωρηκέναι D, sed corr. 9. καί (alt.)] del. D. 10 πρακτικῷ] corr. ex πρακτικόν C3. αὐτοῦ τούτου] mut. in αὐτὸ τοῦτο C2. 14. ἀδύνατον] corr. ex δυνατον A. 16. πράγμασιν D. 18. παραγίνεσθαι, γι- in ras., D3.)

τοῦτον δὴ καὶ αὐτοὶ τὸν ἔρωτα τῆς τῶν αἰεὶ καὶ ὡσαύτως ἐχόντων θεωρίας κατὰ τὸ συνεχὲς αὔξειν [*](1 τε] corr. ex δέ D τήν] mut. in τοῖν C. 3. αἰεί] AB, ἀεί CD. Post καί del. ὡσ | D. 7. χωριστῆς] corr ex χωρὶς τῆς C2. 8. τε] supra ras. 3 litt D3. 11 τὸ φυσικόν] corr. ex τῶν φυσικῶν C. 14. αὐτό] -ό e corr. D3. 15. εὐθείας] ἐπʼ εὐθείας D. 16 ἀπό] corrigere uoluit C2. 18 ἦθος] ἧ- in ras. D3. 19 περὶ τά] bis C. 25. ἀεί D. 26 ἐχόντων] pr. ν ins. A2.)

Τῆς δὴ προκειμένης ἡμῖν συντάξεως προηγεῖται μὲν τὸ τὴν καθόλου σχέσιν ἰδεῖν ὅλης τῆς γῆς πρὸς ὅλον τὸν οὐρανόν, τῶν δὲ κατὰ μέρος ἤδη καὶ ἐφεξῆς πρῶτον μὲν ἂν εἴη τὸ διεξελθεῖν τὸν λόγον τὸν περὶ τῆς θέσεως τοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τῶν τόπων τῆς καθ ἡμᾶς οἰκουμένης ἔτι τε τῆς πρὸς ἀλλήλους αὐτῶν καθʼ ἕκαστον ὁρίζοντα παρὰ τὰς ἐγκλίσεις γινομένης [*](1. κατειλημ | μμένα C. 2 μαθημάτων] -μά- supra scr D3.) [*](3. προελθόντων C. 5. προσγεγονώς] BD, προγεγονώς AC.) [*](8. βραχέων] corr ex ταχέων D3. 9 Mg. προσκεκυφότες C3.) [*](11 τά] ins D3. 14. ἤ] supra scr D3. ὅλος C. 15. δέ] del C2. 17. β΄] om CD, κεφ. β D2. 18. δή] δέ C 19. τό] seq ras 1 litt D. 23 ἔτι τε] εἶτο D. 24 ἐγκλίσεις) -κλί- in ras D.)

Τὰς μὲν οὖν πρώτας ἐννοίας περὶ τούτων ἀπὸ τοιαύτης τινὸς παρατηρήσεως τοῖς παλαιοῖς εὔλογον παραγεγονέναι· ἑώρων γὰρ τόν τε ἥλιον καὶ τὴν σελήνην καὶ τοὺς ἄλλους ἀστέρας φερομένους ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς αἰεὶ κατὰ παραλλήλων κύκλων ἀλλήλοις καὶ ἀρχομένους μὲν ἀναφέρεσθαι κάτωθεν ἀπὸ τοῦ ταπεινοῦ καὶ ὥσπερ ἐξ αὐτῆς τῆς γῆς, μετεωριζομένους δὲ κατὰ μικρὸν εἰς ὕψος, ἔπειτα πάλιν κατὰ τὸ ἀνάλογον περιερχομένους τε καὶ ἐν ταπεινώσει γιγνομένους, ἕως ἂν τέλεον ὥσπερ ἐμπεσόντες εἰς τὴν γῆν ἀφανισθῶσιν, εἶτʼ αὖ πάλιν χρόνον τινὰ μείναντας ἐν τῷ ἀφανισμῷ ὥσπερ ἀπʼ ἄλλης ἀρχῆς ἀνατέλλοντάς τε καὶ δύνοντας, τοὺς δὲ χρόνους τούτους καὶ ἔτι τοὺς τῶν ἀνατολῶν καὶ δύσεων τόπους τεταγμένως τε καὶ ὁμοίως ὡς ἐπίπαν ἀνταποδιδομένους.

μάλιστα δὲ αὐτοὺς ἦγεν εἰς τὴν σφαιρικὴν ἔννοιαν ἡ τῶν αἰεὶ φανερῶν ἀστέρων περιστροφὴ κυκλοτερὴς θεωρουμένη καὶ περὶ κέντρον ἕν καὶ τὸ αὐτὸ περιπολουμένη· πόλος γὰρ ἀναγκαίως ἐκεῖνο τὸ σημεῖον [*](1. δʼ| δέ D. 2 προδιελευσόμεθα D. 3 γ΄] B, om ACD, κεφ γ D2. σφαιροειδῶς ὁ οὐρανός] σφαιροειδὴς ὁ οὐρανὸς καὶ σφαιροειδῶς D. 7. φερομένους] φαινομένους BC, corr. C2. 8 ἀεί D. 13. γινομένους D. ἕως] ὡς BC, corr C2. ὥσπερ] ὥσπερ πάλιν D. 14 πάλιν] π- e corr. A, om. D. 15 μείναντες D, corr D3. ὥσπερ] πάλιν ὥσπερ D.) [*](16. δέ] δ- in ras. A. 17. δύσεων] δυσμῶν D, supra μ ras.) [*](18. ὡς] om D, καὶ ὡς supra scr D3. 20 δέ] δʼ D. 21. ἀεί CD. ἄστρων D.)

φέρε γάρ, εἴ τις ὑπόθοιτο τὴν τῶν ἀστέρων φορὰν ἐπʼ εὐθείας γινομένην ἐπʼ ἄπειρον φέρεσθαι, καθάπερ τισὶν ἔδοξεν, τίς ἂν ἐπινοηθείη τρόπος, καθʼ ὃν ἀπὸ τῆς αὐτῆς ἀρχῆς ἕκαστα καθʼ ἡμέραν φερόμενα θεωρηθήσεται; πῶς γὰρ ἀνακάμπτειν ἐδύνατο τὰ ἄστρα ἐπʼ ἄπειρον ὁρμώμενα; ἢ πῶς ἀνακάμπτοντα οὐκ ἐφαίνετο; ἢ πῶς οὐχὶ κατʼ ὀλίγον μειουμένων τῶν μεγεθῶν ἠφανίζετο, τοὐναντίον δὲ μείζονα μὲν ὁρώμενα πρὸς αὐτοῖς τοῖς ἀφανισμοῖς, κατὰ μικρὸν δὲ ἐπιπροσθούμενα καὶ ὥσπερ ἀποτεμνόμενα τῇ τῆς γῆς ἐπιφανείᾳ; ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ἀνάπτεσθαί τε αὐτὰ ἐκ τῆς γῆς καὶ πάλιν εἰς ταύτην ἀποσβέννυσθαι τῶν ἀλογωτάτων ἂν φανείη παντελῶς. ἵνα γάρ τις συγχωρήσῃ [*](3. δʼ] δέ D. ἀπωτέρω] ἀπωτέρωι AC, ἀποτέρωι B, ἀπωοτέρω D3. 6. ἀεί CD. 8 δʼ] mut in δέ D2. ἄπωοθεν D3.) [*](14. ἀστέρων] corr. ex ἄστρων D2. 16. ἔδοξε D. 18 ἐδύνατο] ἐ- in ras. A, ἐδύνατο D. 22 κατά] corr. ex κα A2. 24 ἀλλα μὴν καί] in ras. D. 25 ταύτην] αὐτήν D. ἀλογοτάτων B. )

συνελόντι δʼ εἰπεῖν, κἂν ὁποῖόν τις ἄλλο σχῆμα τῆς τῶν οὐρανίων φορᾶς ὑπόθηται πλὴν τοῦ σφαιροειδοῦς, ἀνίσους ἀνάγκη γίγνεσθαι τὰς ἀπὸ τῆς γῆς ἐπὶ τὰ μέρη τῶν μετεώρων ἀποστάσεις, ὅπου ἂν αὐτὴ καὶ ὡς ἂν ὑποκέηται, ὥστε ὀφείλειν καὶ τά τε μεγέθη καὶ τὰ πρὸς ἀλλήλους διαστήματα τῶν ἀστέρων ἄνισα [*](2. διαστήμασι C. 3. εἰκῇ] εἰκ- in ras D. 4 ἔχειν] corr. ex ἔχει B1. 8. συγχωρείσειεν C, sed corr ; -ρήσει- in ras A.) [*](9. ἀεί CD. 10 δυνόντων] alt. ν ins. D2. 13 ἀεί D. 14. ἀεί D. 16 ὄντος] corr. ex ὄντως D. 19. δʼ] δέ D. 20. Post οὐρανίων ras. 1 litt. D. φορᾶς] corr. ex φωρᾶς D; similia posthac non notabo. ὑποτίθεται D, -τί- eras 21. γίνεσθαι D.) [*](22. ὅπου — 23. ὑποκέηται] in mag sup add. D, mg D3.) [*](23. καί ( pr.)] καί CD. ὑποκέηται] corr. ex ὑποκαίηται C2, ὑπόκειται D. τε] om D. 24. ἄλληλα D.)

οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ ἀπὸ φυσικῶν τινων ἔστιν ὁρμηθῆναι πρὸς τὴν τοιαύτην ἐπιβολήν· οἷον ὅτι τῶν [*](1. φαίνεσθαι] corr. ex φέρεσθαι D3. ὡς] inter ὡ et ς ras. parua D. 2. δʼ] δέ D. γινόμενα CD. 3. διαστή- ματος] corr. ex διαστημάτων D3. οὐχ] corr. ex οὐκ D3. Ante ἀλλά ras. 1 litt. D. 4. ὁρίζουσι D. 7. τε] om. D. γινο- μένη CD. 9. κατωτέρωι BC. χωρῇ] corr. ex χωρεῖ D3.) [*](μείζοναι BC, corr. B1. 10. δʼ] δέ CD. εἰς] ins. D2.) [*](11. κατά D. 12 ὡροσκοπίων] C2D3, ὡροσκοπιῶν ABCD2, ὁροσκοπιῶν D. 14. εὐκινηκοτάτης C, εὐκινητικωτάτης C3.) [*](καί] corr. ex κατά D3. 15. ὑπάρχει] mut. in ὑπάρχεῖ D3.) [*](τῶν] corr. ex τό C2. ἐπιπέδων] corr. ex ἐπιπέλων C2. 18. ἐστι B. πολυγωνότερα D, corr. D2.)

Ὅτι δὲ καὶ ἡ γῆ σφαιροειδής ἐστιν πρὸς αἴσθησιν ὡς καθʼ ὅλα μέρη λαμβανομένη, μάλιστʼ ἂν οὕτως κατανοήσαιμεν· τὸν ἥλιον γὰρ πάλιν καὶ τὴν σελήνην καὶ τοὺς ἄλλους ἀστέρας ἔστιν ἰδεῖν οὐ κατὰ τὸ αὐτὸ πᾶσιν τοῖς ἐπὶ τῆς γῆς ἀνατέλλοντάς τε καὶ δύνοντας, [*](1. καὶ ὁμοιομερέστερός ἐστιν] A, supra scr. D3, om D, ἐστιν BC. 2 δέ] δʼ D. 3 -νειαι — ἐπιφά-] mg D3. 4. ἐν( alt)] om. D. τοῖς στερεοῖς] τῶν στερεῶν D. 7. καί] καὶ τά D.) [*](8. ἀνομοιομε |μερῶν D. μέντοι] δὲ τῶν D. 9. δʼ] δέ D.) [*](11. ἀπᾶσι D. 12 τόπων] corr ex τόπον C3. 13 δʼ] τε D.) [*](15. ἐγκυκλίως] ἐνκυκλίως D. φέρεσθαι] -έρ- in ras. D. 17. δ΄] B, om ACD. ὅτι — 18 μέρη] ὅτι σφαιροειδὴς καὶ ἡ γῆ mg. sup. D. 19. |φαιροειδής D. 20. οὕτω D. 22. ἔστιν] ins. D3. 23. πᾶσι D.)

κοίλης μὲν γὰρ αὐτῆς ὑπαρχούσης προτέροις ἂν ἐφαίνετο ἀνατέλλοντα τὰ ἄστρα τοῖς δυσμικωτέροις, ἐπιπέδου δὲ πᾶσιν ἅμα καὶ κατὰ τὸν αὐτὸν χρόνον τοῖς ἐπὶ τῆς γῆς ἀνέτελλέν τε καὶ ἔδυνεν, τριγώνου δὲ ἢ τετραγώνου ἤ τινος ἄλλου σχήματος τῶν πολυγώνων πᾶσιν ἂν πάλιν ὁμοίως καὶ κατὰ τὸ αὐτὸ τοῖς ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας οἰκοῦσιν, ὅπερ οὐδαμῶς φαίνεται γινόμενον. ὅτι δὲ οὐδὲ κυλινδροειδὴς ἂν εἴη, ἵνα ἡ μὲν περιφερὴς ἐπιφάνεια πρὸς τὰς ἀνατολὰς καὶ τὰς δύσεις τετραμμένη, τῶν δὲ ἐπιπέδων βάσεων αἱ [*](1. ἀεί D. 3. χρόνονον C. ἀποτελουμένας] corr ex ἀπο- τελούμενα A3. 6. τάς] ins D3. παρά] om. D. 7. ἀνα- τολικοτέροις BC, corr. B2. 8. ὑστεριζούσας] ὑ- ins. D3. 13. ἀεί D. 17 ΄΄τὰ ἄστρα ἀύατέλλοντα B (notas adpos. B1).) [*](19. ἀνέτελεν C. 20. δέ] corr. in τε D2. 21. ἄν] om. D. 22. οὐδαμῆ D. 23. ὅτι] inter ὅ et τι ras. 1 litt C. 25. τετραμμένη] τε- in ras. D. ἐπιπέδων] corr. ex ἐπιπέλων D3.)

Τούτου δὲ θεωρηθέντος, εἴ τις ἐφεξῆς καὶ περὶ τῆς θέσεως τῆς γῆς διαλάβοι, κατανοήσειεν ἂν οὕτως [*](1. ὅπερ corr. ex ὅπεν C2. πειθανώτερον C. 3. ἀεί CD. ἐγένετο D. 5. ἀνέτελλε D. Post ἤ add κατά D3.) [*](6. τό] τά D. πόλων] corr. ex πόλλων D. 7. δʼ| δέ D.) [*](ὅσῳ] ὅ- supra scr. D3. ἄν] om. D. 8 παροδεύωμεν] corr. ex παροδεύομεν A2, mut. in παροδεύομεν D, παροδεύομεν C.) [*](νοτειοτέρων D. 9. ἀποκρύπτεται D. τά] om D. δέ] supra scr. D3. 10 δῆλον] δῆ- e. corr. D3. 11 μέρη] -η in ras. D. 13. ἀποδείκνυσι D. προσπλέωμεν] corr. ex προσ- πλέομεν D3. 14. χωρίοις] corr ex χοροις C. 15 ἡνδήποτε] -ν- supra scr. D3. 16. θαλάσσης D. 19. εʹ] B, om. ACD.) [*](ὅτι — γῆ] mg. supp. D.)

πρὸς μὲν οὖν τὴν πρώτην τῶν τριῶν θέσιν ἐκεῖνα μάχεται, ὅτι, εἰ μὲν εἰς τὸ ἄνω ἢ τὸ κάτω τινῶν παρακεχωρηκυῖα νοηθείη, τούτοις ἂν συμπίπτοι ἐπὶ μὲν ὀρθῆς τῆς σφαίρας τὸ μηδέποτε ἰσημερίαν γίνεσθαι εἰς ἄνισα πάντοτε διαιρουμένων ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος τοῦ τε ὑπὲρ γῆν καὶ τοῦ ὑπὸ γῆν, ἐπὶ δὲ τῆς ἐγκεκλιμένης τὸ ἢ μὴ γίνεσθαι πάλιν ὅλως ἰσημερίαν μὴ ἐν τῇ μεταξὺ παρόδῳ τῆς τε θερινῆς τροπῆς καὶ τῆς χειμερινῆς ἀνίσων τῶν διαστημάτων τούτων ἐξ ἀνάγκης γινομένων διὰ τὸ μηκέτι τὸν ἰσημερινὸν καὶ μέγιστον τῶν παραλλήλων τῶν τοῖς πόλοις τῆς περιφορᾶς γραφομένων κύκλων διχοτομεῖσθαι ὑπὸ τοῦ ὁρίζοντος, ἀλλʼ ἕνα τῶν παραλλήλων αὐτῷ καὶ ἤτοι βορειοτέρων ἢ νοτιωτέρων. ὡμολόγηται δέ γε ὑπὸ πάντων ἀπλῶς, ὅτι τὰ διαστήματα ταῦτα ἴσα τυγχάνει [*](3. δή] om. D. ἐχόντος] corr. ex ἔχοντως C3. 4 sq. α, β, γ, δ mg D2. 9 πρώτην] -ώ- e corr. D. 11. παρακεχω- ρηκυῖαν C, -ν del. C2. νοηθείη] -εί- e corr. C2. 14. καί — γῆν] supra scr. D3. 15. ἐγκεκλιμένης] -ι- inter duas ras. D.) [*](ἢ] supra scr. D3. 16. τε] om. D. 18. ἰσημερινόν] -ι- ins. C. 19. τῶν παραλλήλων] om. D. Supra τῶν τοῖς ras. D.) [*](πόλοις] corr. ex πόλλοις D. Supra περιφορᾶς add. σφαίρας D.) [*](21. αὐτῷ] corr. ex αὐτῶν D. 22. νοτιωτέρων] corr. ex νωτιωτέρων C, ex νοτειοτέρων D3. ὡμολόγηται] corr. ex ὁμο- λογεῖπται D3, γε] om D. 23. τυγχάνειν D, -ν eras.)

πρὸς δὲ τὴν δευτέραν τῶν θέσεων, καθʼ ἣν ἐπὶ τοῦ ἄξονος οὖσα πρὸς τὸν ἕτερον τῶν πόλων παρακεχωορηκυῖα νοηθήσεται, πάλιν ἄν τις ὑπαντήσειεν, ὅτι, εἰ τοῦθʼ οὕτως εἶχεν, καθʼ ἕκαστον ἂν τῶν κλιμάτων τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον ἄνισα διαφόρως ἐποίει πάντοτε τό τε ὑπὲρ γῆν καὶ τὸ ὑπὸ γῆν τοῦ οὐρανοῦ κατʼ ἄλλην καὶ ἄλλην παραχώρησιν καὶ πρὸς ἑαυτὰ καὶ πρὸς ἀλληλα, ἐπὶ μὲν μόνης τῆς ὀρθῆς σφαίρας διχοτομεῖν αὐτὴν δυναμένου τοῦ ὁρίζοντος, ἐπὶ δὲ τῆς ἐγκλίσεως τῆς ποιούσης τὸν ἐγγύτερον τῶν πόλων ἀεὶ φανερὸν τὸ μὲν ὑπὲρ γῆν πάντοτε μειοῦντος, τὸ δὲ ὑπὸ γῆν αὔξοντος, ὥστε συμβαίνειν τὸ καὶ τὸν διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλον μέγιστον εἰς ἄνισα διαιρεῖοὕτως σθαι ὑπὸ τοῦ τοῦ ὁρίζοντος ἐπιπέδου, ὅπερ οὐδαμῶς [*](1. τὰς παρὰ τήν] τὰ ἐπʼ αὐτήν seq lac. 8—9 litt. D, corr D3. 2. ἐν ταῖς] in ras. D. 3. ταῖς (alt.)] τ corr. ex ι D3.) [*](13. πόλων] -ό- e corr. C. 15. εἶχεν] corr ex εἶχε D2. 16. τοῦ] bis D, sed corr. διαφθόρως A, γρ. διαφόρως mg. A) [*](17. τε] om. D. γῆν (alt.)] γ corr ex τ D. 18. κατά D.) [*](πρός] -ς e corr. C. 21. αἰεί D. 22. δέ] δʼ D. 23. τόν] corr. ex τό C3.)

καὶ καθόλου δʼ ἂν συνέβαινεν, εἴπερ μὴ ὑπʼ αὐτὸν τὸν ἰσημερινὸν εἶχε τὴν θέσιν ἡ γῆ, πρὸς ἄρκτους δὲ ἢ πρὸς μεσημβρίαν ἀπέκλινεν πρὸς τὸν ἕτερον τῶν πόλων, τὸ μηκέτι μηδὲ πρὸς αἴσθησιν ἐν ταῖς ἰσημερίαις τὰς ἀνατολικὰς τῶν γνωμόνων σκιὰς ταῖς δυτικαῖς ἐπʼ εὐθείας γίγνεσθαι κατὰ τῶν παραλλήλων τῷ ὁρίζοντι ἐπιπέδων, ὅπερ ἄντικρυς πανταχῆ θεωρεῖται παρακολουθοῦν. φανερὸν δʼ αὐτόθεν, ὅτι μηδὲ τὴν τρίτην τῶν θέσεων οἷόν τε προχωρεῖν ἐκατέρων τῶν ἐν ταῖς πρώταις ἐναντιωμάτων ἐπʼ αὐτῆς συμβησομένων.

συνελόντι δʼ εἰπεῖν πᾶσα ἂν συγχυθείη τέλεον ἡ τάξις ἡ περὶ τὰς αὐξομειώσεις τῶν νυχθημέρων θεωρουμένη μὴ μέσης ὑποκειμένης τῆς γῆς μετὰ τοῦ μηδὲ τὰς τῆς σελήνης ἐκλείψεις κατὰ πάντα τὰ μέρη τοῦ οὐρανοῦ πρὸς τὴν κατὰ διάμετρον τῷ ἡλίῳ στάσιν ἀποτελεῖσθαι δύνασθαι τῆς γῆς πολλάκις μὴ ἐν ταῖς [*](1. αἰεί D. 4. ὑπέρ — 5. φαινομένων] supra scr D3. 6. ζῳδιακοῦ] -α- supra scr. D3. 7. ὅλα] seq. ras. 1 litt. D.) [*](11. ἀπέκλινε D. 12 Post μηδέ eras τι D. 14. εὐθείας] corr. ex εὐθείαις D. γίνεσθαι D. seq ras. 4 litt. 15. Post τῷ eras. δι D. ἐπιπέδων] corr. ex ἐπιπέδωι D. 19. συμβησο- μένων] ante -ο- ras. C. 20. δʼ] δέ D. συνχυθείη C. 21. τάξις] ξ corr. ex δ B1C3. αὐξομιώσεις AD, corr. A2. 23. ἐκ- λείτψεις] -εί- in ras D. τά] om. D. 24. κατά] om. D.)

Ἀλλὰ μὴν ὅτι καὶ σημείου λόγον ἔχει πρὸς αἴσθησιν ἡ γῆ πρὸς τὸ μέχρι τῆς τῶν ἀπλανῶν καλουμένων σφαίρας ἀπόστημα, μέγα μὲν τεκμήριον τὸ ἀπὸ πάντων αὐτῆς τῶν μερῶν τά τε μεγέθη καὶ τὰ διαστήματα τῶν ἄστρων κατὰ τοὺς αὐτοὺς χρόνους ἴσα καὶ ὅμοια φαίνεσθαι πανταχῆ, καθάπερ αἱ ἀπὸ διαφόρων κλιμάτων ἐπὶ τῶν αὐτῶν τηρήσεις οὐδὲ τὸ ἐλάχιστον εὑρίσκονται διαφωνοῦσαι. οὐ μὴν ἀλλὰ κἀκεῖνο παραληπτέον τὸ τοὺς γνώμονας τοὺς ἐν ᾡδήποτε μέρει τῆς γῆς τιθεμένους, ἔτι δὲ τὰ τῶν κρικωτῶν σφαιρῶν κέντρα τὸ αὐτὸ δύνασθαι τῷ κατὰ ἀλήθειαν τῆς γῆς κέντρῳ καὶ διασώζειν τὰς διοπτεύσεις καὶ τὰς τῶν σκιῶν περιαγωγὰς οὕτως ὁμολόγους ταῖς ὑποθέσεσι τῶν φαινομένων, ὡς ἂν εἰ διʼ αὐτοῦ τοῦ τῆς γῆς μέσου σημείου γινόμεναι ἐτύγχανον.

ἐναργὲς δὲ σημεῖον τοῦ ταῦθʼ οὕτως ἔχειν καὶ τὸ πανταχῆ τὰ διὰ τῶν ὄψεων ἐκβαλλόμενα ἐπίπεδα, ἃ καλοῦμεν ὁρίζοντας, διχοτομεῖν πάντοτε τὴν ὅλην σφαῖραν τοῦ οὐρανοῦ, ὅπερ οὐκ ἂν συνέβαινεν, εἰ τὸ [*](2. ἐλάττοσιν D. 3. ς΄] om. ACD. ὅτι — 4. γῆ] ὅτι σημείου λόγον ἔχη ἡ γῆ πρὸς τὰ οὐράνια mg sup. D. 7. τεμή- ριον D. 11. κλημάτων A. 14. κρικωτῶν] corr. ex κρικο- τῶν A2D3. 15. δύνασαι θ A. κατʼ D. 17. ταῖς] τ corr. ex ι D3, 18. ὑποθέσεσιν A. φαινομένων] φ- in ras. D.) [*](διʼ] ἢ διʼ D, καὶ δι᾿ D3. τοῦ] om. BC. 20. ἐναργαῖς C.) [*](21. ἅ] supra scr. D3. 23. εἰ] corr. ex εἰς D.)

Κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ τοῖς ἔμπροσθεν δειχθήσεται, διότι μηδʼ ἡντινοῦν κίνησιν εἰς τὰ προειρημένα πλάγια μέρη τὴν γῆν οἷόν τε ποιεῖσθαι ἢ ὅλως μεθίστασθαί ποτε τοῦ κατὰ τὸ κέντρον τόπου· τὰ αὐτὰ γὰρ συνἐβαινεν ἄν, ἅπερ εἰ καὶ τὴν θέσιν ἄλλην παρὰ τὸ μέσον ἔχουσα ἐτύγχανεν. ὥστʼ ἔμοιγε δοκεῖ περισσῶς ἄν τις καὶ τῆς ἐπὶ τὸ μέσον φορᾶς τὰς αἰτίας ἐπιζητήσειν ἅπαξ γε τοῦ, ὅτι ἢ τε γῆ τὸν μέσον ἐπέχει τόπον τοῦ κόσμου καὶ τὰ βάρη πάντα ἐπʼ αὐτὴν φέρεται, οὕτως ὄντος ἐναργοῦς ἐξ αὐτῶν τῶν φαινομένων. κἀκεῖνο δὲ μόνον προχειρότατον ἂν εἰς τὴν τοιαύτην κατάληψιν γίνοιτο τὸ σφαιροειδοῦς καὶ μέσης τοῦ παντός, ὡς ἔφαμεν, ἀποδεδειγμένης τῆς γῆς [*](2. τό (alt)] om. BC. 3. τῆς γῆς] om. C. σημείου] corr. ex σημεῖον D. 4. ἡσδηποτοῦν] corr. ex ἡσποτοῦν D3. 7. ζ΄] om ACD. ὅτι — 8. γῆ] mg. sup. D. 7. ποιεῖται μετα- βατικήν D. 10. τά] seq. ras. 1 litt. A. 12. κέντρον] corr. ex κε τρον A2. ἂν συνέβαινεν D. 14. ἐμοί C. περισῶς D) [*](15. φορᾶς] mut. in φοραῖς C3. ἐπιζητήσειν] mut. in ἐπι- ζητήσειεν D. fort. ἐπιζητῆσαι. 16. τε γῆ] e corr. D3. τόν] corr. ex τῶν A2. 18. ἐναργοῦς] supra scr. D3. φαινομέ- νων] seq. ὅν D, corr in ὧν D3. 19. κἀκεῖνο] seq. ras. 1 litt. A.) [*](δέ] supra scr. D3. 20 γίνοιτο] corr. ex γένοιτο D3. σφαι- ρονειδοῦς C, ν del. C2.)

ὅσοι δὲ παράδοξον οἴονται τὸ μήτε βεβηκέναι που μήτε φέρεσθαι τὸ τηλικοῦτο βάρος τῆς γῆς, δοκοῦσί μοι πρὸς τὰ καθʼ ἑαυτοὺς πάθη καὶ οὐ πρὸς τὸ τοῦ ὅλου ἴδιον ἀποβλέποντες τὴν σύγκρισιν ποιούμενοι διαμαρτάνειν. οὐ γὰρ ἂν οἶμαι θαυμαστὸν αὐτοῖς ἔτι φανείη τὸ τοιοῦτον, εἰ ἐπιστήσαιεν, ὅτι τοῦτο τὸ τῆς γῆς μέγεθος συγκρινόμενον ὅλῳ τῷ περιέχοντι σώματι σημείου πρὸς αὐτὸ λόγον ἔχει· δυνατὸν γὰρ οὕτω δόξει τὸ κατὰ λόγον ἐλάχιστον ὑπὸ τοῦ παντελῶς μεγίστου καὶ ὁμοιομεροῦς διακρατεῖσθαί τε καὶ ἀντερείδεσθαι πανταχόθεν ἴσως καὶ ὁμοιοκλινῶς τοῦ μὲν κάτω [*](1. πᾶσιν D. μέρεσιν] corr. ex μέρεσι D. προσνεύσς D, προσνεύσςς D3. 2. δέ] δή D. 4. γίγνεσθαι BC. ἔμπτωσιν] corr. ex πτῶσιν D3. 5. διεκβαλλομένῳ] δ corr. ex α D3.) [*](ἀκλινῆ BC. 6. τό] om. D. 7. Post γῆς add. αἱ φοραί mg. BC (pro scholio). αὐτὸ τό] utrumque -ό in ras. B. 8. κέντρον] -ον in ras. B, κέντρον αἱ φοραί D. 10. τομῆς] -ς add D3. ἐπιπέδων A, sed ν eras 12. παράδοξον] δόξον C, mg. γρ. παράδο(ξον) C2, λοξόν B. βεβηβηκέναι D, sed corr) [*](13. τηλικοῦτο] mut. in τηλικοῦτον D3, 14. αὐτούς D. 16. ἄν] supra scr. D. ἔτι] supra scr. D3, 17 εἰ] corr. ex ἤ C3.) [*](19. οὕτω] e corr. D3.)

ἤδη δέ τινες, ὡς γʼ οἴονται, πιθανώτερον, τούτοις μὲν οὐκ ἔχοντες, ὅ, τι ἀντείποιεν, συγκατατίθενται, δοκοῦσι δὲ οὐδὲν αὐτοῖς ἀντιμαρτυρήσειν, εἰ τὸν μὲν οὐρανὸν ἀκίνητον ὑποστήσαιντο λόγου χάριν, τὴν δὲ γῆν περὶ τὸν αὐτὸν ἄξονα στρεφομένην ἀπὸ δυσμῶν ἐπʼ ἀνατολὰς ἑκάστης ἡμέρας μίαν ἔγγιστα περιστροφήν, ἢ καὶ ἀμφότερα κινοῖεν ὁσονδήποτε, μόνον περί τε τὸν αὐτὸν ἄξονα, ὡς ἔφαμεν, καὶ συμμέτρως τῇ πρὸς ἄλληλα περικαταλήψει.

λέληθε δὲ αὐτούς, ὅτι τῶν μὲν περὶ τὰ ἄστρα φαινομένων ἕνεκεν οὐδὲν ἂν ἴσως κωλύοι κατά γε τὴν ἁπλουστέραν ἐπιβολὴν τοῦθʼ οὕτως ἔχειν, ἀπὸ δὲ τῶν περὶ ἡμᾶς αὐτοὺς καὶ τῶν ἐν ἀέρι συμπτωμάτων καὶ πάνυ ἂν γελοιότατον ὀφθείη τὸ τοιοῦτον. ἵνα γὰρ συγχωρήσωμεν αὐτοῖς τὸ παρὰ φύσιν οὕτως τὰ μὲν λεπτομερέστατα καὶ κουφότατα ἢ μηδʼ ὅλως κινεῖσθαι ἢ ἀδιαφόρως τοῖς τῆς ἐναντίας φύσεως τῶν γε περὶ τὸν ἀέρα καὶ ἧττον λεπτομερῶν ἐναργῶς οὕτως ταχυτέρας τῶν γεωδεστέρων πάντων φορὰς ποιουμένων, τὰ δὲ [*](3. ἐπινοηθέντα] corr. ex ἐπονοηθέντων D. 5. γʼ] om. A.) [*](6. συνκατατίθενται D. 7. αὐτοῖς οὐδέν D. τὸν μέν] corr. ex μὲν τόν D3. 9. τόν] bis C. 10. ἐπʼ] ἐπί D. περι- στροφήν] -σφήν in ras. D. 12 συμέτρως D, corr D3. 13. περικαταλήψει] post -ή- ras. 1 litt. D. 14. λέληθεν BCD.) [*](αὐτούς] -ς add D3. 15. οὐδέν] corr ex οὐδέ C2, οὐθέν D.) [*](κωλύοι] κ- corr. ex α in scrib. D. 17. περί] περί τε D.) [*](τῶν ἐν ἀέρι] A, τὸν ἀέρα BCD 18. ἄν] corr. ex ἀγ C3, om. D. 20. μηδʼ] -η- e corr. D. 21. ἀδιαφόρως] corr. ex διαφόρως C2D3. γε] corr. ex τε D3.)

εἰ γὰρ καὶ τὸν ἀέρα φήσαιεν αὐτῇ συμπεριάγεσθαι κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἰσοταχῶς, οὐδὲν ἧττον τὰ κατʼ αὐτὸν γινόμενα συγκρίματα πάντοτε ἂν ἐδόκει τῆς συναμφοτέρων κινήσεως ὑπολείπεσθαι, ἢ εἴπερ καὶ αὐτὰ ὥσπερ ἡνωμένα τῷ ἀέρι συμπεριήγετο, οὐκέτʼ ἂν οὐδέτερον οὔτε προηγούμενα οὔτε ὑπολειπόμενα ἐφαίνετο, μένοντα δὲ ἀεὶ καὶ μήτε ἐν ταῖς πτήσεσιν μήτε ἐν ταῖς βολαῖς ποιούμενά τινα πλάνην ἢ μετάβασιν, [*](1. παχυμερέστατα] -ατ- e corr. A2. ὀξεῖαν] post ὀ- ras. 1 litt. A 2. τῶν] -ν supra scr. D3. γεωδῶν] -δ- corr. ex λ D3. 5. γίγνεσθαι τῆς γῆς B. γίνεσθαι D. 6. αὐτήν] -ή- in ras D3. 8. ἐπί D. ἀεί] supra ras. scr D3. τήν] τ- e corr. D3. 9. οὔτʼ] οὔτε seq. ras. 1 litt. D. 11. ἢ βαλλο- μένων] supra scr. D3. 12. προλαμβανούσης] post -ο- ras. 1 litt. B; προσλαμβανούσης C, sed -σ- del. C2. 13. εἰς] εἴς τε D.) [*](17. γενόμενα D. 19. συμπεριήγετο] -ή- ins. C2. 20. οὐδί- τερον] οὐδέτεραον A1, mut. in οὐδέτερα D3. 21 δέ| δʼ D.) [*](πτήσεσιν] πτήσεσι B, φοραῖς D, βολαῖς D3. Deinde ins μήτε ἐν ταῖς φοραῖς mg. BC (pro scholio) 22. βολαῖς] πτήσεσι D. πλάνην] ABCD, mg. γρ. παραλλαγήν C2.)

Ταύτας μὲν δὴ τὰς ὑποθέσεις ἀναγκαίως προλαμβανομένας ες τὰς κατὰ μέρος παραδόσεις καὶ τὰς ταύταις ἀκολουθούσας ἀρκέσει καὶ μέχρι τῶν τοσούτων ὡς ἐν κεφαλαίοις ὑποτετυπῶσθαι βεβαιωθησομένας τε καὶ ἐπιμαρτυρηθησομένας τέλεον ἐξ αὐτῆς τῆς τῶν ἀκολούθως καὶ ἐφεξῆς ἀποδειχθησομένων πρὸς τὰ φαινόμενα συμφωνίας. πρὸς δὲ τούτοις ἔτι κἀκεῖνο τῶν καθόλου τις ἂν ἡγήσαιτο δικαίως προλαβεῖν, ὅτι δύο διαφοραὶ τῶν πρώτων κινήσεών εἰσιν ἐν τῷ οὐρανῷ, μία μὲν ὑφʼ ἧς φέρεται πάντα ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς ἀεὶ ὡσαύτως καὶ ἰσοταχῶς ποιουμένης τὴν περιαγωγὴν κατὰ παραλλήλων ἀλλήλοις κύκλων τῶν γραφομένων δηλονότι τοῖς ταύτης τῆς πάντα ὁμαλῶς περιαγούσης σφαίρας πόλοις, ὧν ὁ μέγιστος κύκλος ἰσημερινὸς καλεῖται διὰ τὸ μόνον αὐτὸν ὑπὸ μεγίστου ὄντος τοῦ ὁρίζοντος δίχα πάντοτε διαιρεῖσθαι καὶ τὴν κατʼ αὐτὸν γιγνομένην τοῦ ἡλίου περιστροφὴν ἰσημερίαν πρὸς αἴσθησιν πανταχοῦ ποιεῖν, ἡ δὲ ἑτέρα, καθʼ ἣν [*](4. η΄] om. ACD. ὅτι — 5 οὐρανῷ] mg. sup. D. 5. εἰσιν] supra scr. D3. 6. προσλαμβανομένας D, sed corr. 8. ἀρ- κέσει] corr. ex ἀρκέσι C3. 9. ἐν] ἐγ C. ὑποτετυπόσθαι C.) [*](βεβαιοθησομένας C. 10 τε] om. D. 13. ἡγήσαιτο] -ι- ins. D. προλαβεῖν] τὸ προλαβεῖν D. 15. μία] seq ras. 1 litt. C. 16. Ante ἐπί ras. 3 litt D. 18. τῆς] -ς e corr. D.) [*](19 πόλοις] corr. ex πόλλοις D. 22. γινομένην CD. 23. πανταχῆ D. ἡ] corr. ex αἱ D3.)

εἰ μὲν οὖν καὶ ἡ τοιαύτη μετάβασις τῶν πλανωμένων κατὰ παραλλήλων κύκλων ἐγίνετο τῷ ἰσημερινῷ, τουτέστιν περὶ πόλους τοὺς τὴν πρώτην ποιοῦντας περιαγωγήν, αὔταρκες ἂν ἐγίνετο μίαν ἡγεῖσθαι καὶ [*](2. πόλους] corr ex πόλλους D, ut saepius. 3. αὐτούς] -τού- e corr. D. 4. δέ ]δʼ D. διά] -ά e corr. D. 6. ὁμο- ειδῶν] -ει- in ras. post ras. 2 litt. A, ὁμοιοειδῶν D. 7. κύκλῳ] om D, comp BD3, del B2. τόπων] -ν euan. D. 9. ἰδίου] corr. ex ἰδίουσ D. ἰδίου ὄντος] corr ex ἰδιοῦντος C3, mg. ὄντος 12. φαίνεται D. 18. συντηρούντων] pr τ ins. D,3 post η ras. 2 litt. 19 ἄλληλα] e corr. A. 20. ἀστέρων D.) [*](21. ἡ] supra scr. B3C3. πλανομένων D. 22 κατά] corr. ex καὶ τά BC3. ἐγένετο C, corr C3.)

ἐὰν δὴ νοήσωμεν τὸν διὰ τῶν πόλων ἀμφοτέρων τῶν προειρημένων κύκλων γραφόμενον μέγιστον κύκλον, ὃς ἐξ ἀνάγκης ἑκάτερον ἐκείνων, τουτέστιν τόν τε ἰσημερινὸν καὶ τὸν πρὸς αὐτὸν ἐγκεκλιμένον, δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς γωνίας τέμνει, τέσσαρα μὲν ἔσται σημεῖα τοῦ λοξοῦ κύκλου, δύο μὲν τὰ ὑπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις γινόμενα, καλούμενα δὲ ἰσημερινά, ὧν τὸ μὲν ἀπὸ μεσημβρίας πρὸς ἄρκτους ἔχον τὴν πάροδον ἐαρινὸν λέγεται, τὸ δὲ ἐναντίον μετοπωρινόν, δύο δὲ τὰ γινόμενα ὑπὸ τοῦ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων γραφομένου κύκλου, καὶ αὐτὰ δηλονότι κατὰ διάμετρον ἀλλήλοις, καλούμενα δὲ τροπικά, ὧν τὸ μὲν ἀπὸ μεσημβρίας τοῦ ἰσημερινοῦ χειμερινὸν λέγεται, τὸ δὲ ἀπʼ ἄρκτων θερινόν.

νοηθήσεται δὲ ἡ μὲν μία καὶ πρώτη φορὰ καὶ περιέχουσα τὰς ἄλλας πάσας περιγραφομένη καὶ ὤσπερ ἀφοριζομένη ὑπὸ τοῦ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων γραφομένου μεγίστου κύκλου περιαγομένου τε καὶ τὰ λοιπὰ πάντα συμπεριάγοντος ἀπὸ ἀνατολῶν ἐπὶ δυσμὰς περὶ τοὺς τοῦ ἰσημερινοῦ πόλους βεβηκότας ὥσπερ ἐπὶ τοῦ καλουμένου μεσημβρινοῦ, ὃς τούτῳ μόνῳ τοῦ [*](2. φορᾶς] corr. ex κιν… D. ἀποτελουμένην] corr. ex ἀποτελουμένων D3. 5. Ante κύκλον eras. κυ D. ἑκάτερον] -ο- in ras D3. 7. τέσσαρα] corr. ex τέσσερα D3. 12. γενό- μενα D. ἀμφοτέρων] -ων e corr. D. 13. κύκλου] μεγίστου κύκλου, -γίστου in ras., D. καί — 20. κύκλου] mg D3 (κειμε), in textu supra scr. λείπει. 21. συνπεριάγοντος AC. ἐπί] εἰς D. 22. βεβηκότας] BCD, mut. in βεβηκότα A, in βεβη- κότος B3. 23. μεσημβρινοῦ, ὅς] corr. ex μεσημβρινοῦς C. ὅς] in ras B2; corr. ex ὡς D, ut saepius. τούτῳ] τού- e corr. B3.)

Ἡ μὲν οὖν ὁλοσχερὴς προδιάληψις ὡς ἐν κεφαλαίοις τοιαύτην ἂν ἔχοι τὴν ἔκθεσιν τῶν ὀφειλόντων προυποκεῖσθαι· μέλλοντες δὲ ἄρχεσθαι τῶν κατὰ μέρος ἀποδείξεων, ὧν πρώτην ὑπάρχειν ἡγούμεθα, διʼ ἧς ἡ [*](1. διαφέρων τοῦ προειρημένου D. τῷ] corr. ex τῶν C, supra scr. D3. τῶν] corr. ex τὸ D3. 2. πόλων] supra scr. D3.) [*](4. τε] in ras. D3. 5. γῆν (alt)] γ corr. ex τ D3. 6. νυχθη- μέρων] -θ- ins. D3. χρόνους] χρόν- e corr. D. 7. περν- εχομένη] ἡ περιεχομένη D. 9. φερομένη] seq. ras 1 litt. D.) [*](Ante ὡς ras 3—4 litt. C. 10. δὲ εἰς] corr ex μέν C. τούς] corr. ex τῆς C3. 13. τῶν] corr. ex τόν C2. 14. πε] seq. ras. 1 litt. D. 15. αἰεί D. συντηροῦσιν] συντηροῦσιν οἱ πόλοι A. 16. αὐτῶν D. 18 θ΄] om. ACD. 19. προ- διάληψις] corr. ex προσδιάλημεψις D. ἐν] ἐγ C. 22. ἡ] corr. ex οἱ C3.)

Πρὸς μὲν οὖν τὴν ἐξ ἑτοίμου χρῆσιν κανονικήν τινα μετὰ ταῦτα ἔκθεσιν ποιησόμεθα τῆς πηλικότητος αὐτῶν τὴν μὲν περίμετρον εἰς τξ τμήματα διελόντες, παρατιθέντες δὲ τὰς ὑπὸ τὰς καθʼ ἡμιμοίριον παραυξήσεις τῶν περιφερειῶν ὑποτεινομένας εὐθείας, τουτέστι πόσων εἰσὶν τμημάτων ὡς τῆς διαμέτρου διὰ τὸ ἐξ αὐτῶν τῶν ἐπιλογισμῶν φανησόμενον ἐν τοῖς ἀριθμοῖς εὔχρηστον εἰς ρκ τμήματα διῃρημένης. πρότερον δὲ δείξομεν, πῶς ἂν ὡς ἔνι μάλιστα διʼ ὀλίγων καὶ τῶν αὐτῶν θεωρημάτων εὐμεθόδευτον καὶ ταχεῖαν τὴν ἐπιβολὴν τὴν πρὸς τὰς πηλικότητας αὐτῶν ποιοίμεθα, ὅπως μὴ μόνον ἐκτεθειμένα τὰ μεγέθη τῶν εὐθειῶν [*](1 μεταξύ] in ras. D3. 2. μεγίστου] supra scr. D3. πη- λίκη] -η e corr. C3. 3. τυγχάνει] om. A. 5. ἅπαξ] -π- e corr C. γε] corr. ex τε D3. μελλήσοντες] -σ- e corr. C3, mut. in μελλήσαντες B3D3. 7. ι΄] om. ACD. τῆς πηλι- κότητος] om. D. τῷ] om. D. 8. εὐθειῶν] εὐθειῶν καὶ ἔκ- θεσις κανονική D. 12. τὰς ὑπὸ τάς] scripsi, τάς ABCD. ἡμι- μοιρίαν D. παραυξήσεις] mut. in παραύξησιν D3. Deinde add. καὶ τάς B3. 13. ὑποτεινομένας] corr. ex ὑποτινομένας A.) [*](τουτέστιν C, comp. B. 14. πόσων] ὅσων BC. εἰσί D, comp. B. 17. μάλιστα] -ι- et -τ- e corr. D3. 18. εὐμεθό- δευτον] -μ- et -δ- e corr. D3. 19 τήν] om. D. πηλικό- τητας] -ας in ras. D. 20. ὅπως] -π- in ras. D3.)

Ἔστω δὴ πρῶτον ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔΓ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἡ ΔΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΔΓ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΒ, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΒ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ΖΔ δεκαγώνου ἐστὶν πλευρά, ἡ δὲ ΒΖ πενταγώνου. ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΔΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ πρόσκειταί τις αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΔΖ, τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ καὶ ΖΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον [*](1 ἔχωμεν] ἔχω- e corr. C3. τῶν] τ- e corr. D. 3. μετα- χειριζώμεθα] μεταχειριζόμεθα B, corr. in μεταχειριζοίμεθα D3.) [*](χρησόμεθα] corr. ex χρησώμεθα C2. 5. ἔτι] post ἔ- ras. 1 litt. D. τε] τ- ins. D3. 8. διαφέρει C. 10. δή] eras. D.) [*](11 ΑΔΓ] e corr. D. Δ(pr )] corr. ex Α D3. 13. διήχθω D.) [*](15. ἐπεζεύχθω ἡ] mut. in ἐπιζευχθείσης τῆς B3; ἐπιζευχθείσης τῆς, -εί- e corr., D. καί] om. D, eras. B. 16. αὐτῇ] αὐ]αυτῆι A, αὕτηι corr. in ταύτηι C3. καί — 17. ΖB] supra scr. D2. 16. ἐπεζεύχθω] corr. ex ἐπιζεύχθω C2. 17. ΖΒ] Ζ in ras A.) [*](λέγω] seq ras. 1 litt. A. ἡ] in ras. D3. 18. δεκαγώνου] e corr. D3. 19. BΖ] B- in ras. BC3, ΖΒ D. 21. E] seq. ras. 1 litt. C. 22 ΓΖ] in ras. D3. ὀρθοιγώνιον A.)

ἐπεὶ οὖν, ὡς ἔφην, ὑποτιθέμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον τμημάτων ρκ, γίνεται διὰ τὰ προκείμενα ἡ μὲν ΔΕ ἡμίσεια οὖσα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τμημάτων λ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς Ϡ, ἡ δὲ ΒΔ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τμημάτων ξ καὶ τὸ ἀπὸ αὐτῆς γχ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΒ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ, τῶν ἐπὶ τὸ αὐτὸ δφ· μήκει ἄρα ἔσται ἡ ΕΖ τμημάτων ξζ δ νε. ἔγγιστα, καὶ λοιπὴ ἡ ΔΖ τῶν αὐτῶν λζ δ νε. ἡ ἄρα τοῦ δεκαγώνου πλευρά, ὑποτείνουσα δὲ περιφέρειαν τοιούτων λς, οἵων ἐστὶν ὁ κύκλος τξ, τοιούτων ἔσται λζ δ νε, οἵων ἡ διάμετρος ρκ. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν ΔΖ τμημάτων ἐστὶ λζ δ νε, τὸ δὲ ἀπὸ αὐτῆς ατοε δ ιε, ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ τῶν αὐτῶν γχ, ἃ συντεθέντα ποιεῖ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ τετράγωνον δϠοε δ ιε, μήκει ἄρα ἔσται [*](1. ἴσον] supra scr. D3. 2. ἑξαγώνου πλευρά] in ras. A.) [*](3. ἐστί B. 4. ἴση ἐστίν D. τοῦ] supra scr. D3. 5. ἐπεί] inc fol. 15 alia manu D. ἔφην] mut. in ἔφαμεν B3, sed euan. 8. ἀπʼ] ἀπό B. ΒΔ] ΔΓ, Δ in ras., C3. οὖσα] om. D. 9. ἀπό (pr)] A, ἀπʼ BCD. 10. ΕΖ] corr. ex ΕΞ D.) [*](11. ἔσται] A, ἐστιν BCD ἡ] ins. C3. ΕΖ] corr. ex ΕΞ D.) [*](Post ἔγγιστα add. % C, mg (pro scholio): % ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔE λ΄. 12 ΔΖ] corr. ex ΔΞ D. 13. τοιούτων] -ων e corr. C. οἵων] -ω- corr. ex ο C3. 14. τοιούτων] corr. ex τοιοῦτον C3. ἔσται] comp. B, omnibus litteris mg. B2; simi- liter saepius; seq ras. D. δ] ins. D3. οἵων] corr. ex οἷον C3.) [*](15. διάμετρος] ante μ ras 1 litt. A. πάλιν — 16. νε] BD, mg. A3 (κείμενον) et pro scholio C. 15. ἐπεί] δὲ ἐπεί A3.) [*](ἐστί] ἐστίν D, comp. BC. 16. ἀπό] ἀπʼ D. ιε] inter ι et ε ras A, mg. γρ. κε A2, supra ε scr. δ Β2. ἔστιν D. 17. ΔΒ] ΒΔ D. τῶν] corr. ex τῶ A2. συντεθέντα] alt. ν supra scr D3. 18. ΒΖ] supra Ζ ras D. ιε] supra ε scr. δ B2, ε in ras. D. Supra μήκει ras D.)

αἵδε μὲν οὕτως ἡμῖν ἐκ προχείρου καὶ καθʼ αὑτὰς εἰλήφθωσαν, καὶ ἔσται φανερὸν ἐντεῦθεν, ὅτι τῶν διδομένων εὐθειῶν ἐξ εὐχεροῦς δίδονται καὶ αἱ ὑπὸ τὰς λειπούσας εἰς τὸ ἡμικύκλιον περιφερείας ὑποτείνουσαι [*](1. ο λβ) ολ β C. 2. οβ) supra rasuram D3. 4. δέ] δὲ καί D. καί] om. D. 5. μοίρας] μο AB, ut saepe μοι D semper fere. 8. μοίρας] μο ABC, μοι D. διπλασία] mut.in διπλασίων B2, διπλασίων D. 9. τοῦ] τοῦ ἰσοπλεύρου D. 12 τοῦ] om. D.) [*](13. δέ] δʼ D. τοῦ] om. τριγώνου) τρι- in ras. D.) [*](Μα] C, corr. ex Μο AB2, μοι corr. ex μυ post ras. 7 litt. D3; αω add. mg C3. 15. ἔγγιστα] -στα add. D3. 17. Post μέν add. οὖν comp. C2. 18. Ante καί ras. 4 litt. D. ἔσται] corr. ex ἔστι D3, mut in ἔστω B2. ἐντεῦθεν] αὐτόθεν, supra αὐτό- ras. , D. τῶν διδομένων] διδομένων τῶν edd ; sed genetiuus reconditiore quodam modo a λειπούσας περιφερείας pendet.) [*](19. αἱ] supra scr. B2C2.)

ὅν δὲ τρόπον ἀπὸ τούτων καὶ αἰ λοιπαὶ τῶν κατὰ μέρος δοθήσονται, δείξομεν ἐφεξῆς προεκθέμενοι λημμάτιον εὔχρηστον πάνυ πρὸς τὴν παροῦσαν πραγματείαν.

ἔστω γὰρ κύκλος ἐγγεγραμμένον ἔχων τετράπλευρον τυχὸν τὸ ΑΒΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ καὶ ΒΔ. δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ καὶ ΒΔ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ συναμφοτέροις τῷ τε ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ καὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ. κείσθω γὰρ τῇ ὑπὸ τῶν ΔΒΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΒΕ. ἐὰν οὖν κοινὴν προσθῶμεν τὴν ὑπὸ ΕΒΔ, ἔσται καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΔΑ [*](2. οἷον] corr. ex οἴων B1C. 4 ιε] supra ε scr. δ B2. 5. Μα] corr. ex μο A, μυρι α e corr. D3. 6 μοίρας] μο mut in μοι A2.) [*](7. Μα] corr. ex μο A2, λαυρι e corr. D3. γ] corr. ex δ D3.) [*](με] supra scr ϛ B2. 8. λζ] supra scr. ϛ B2. 9. λοιπαί] -οι- e corr. C2. τῶν] om. B. 11. πάνυ] om. B. 13 Mg. λῆμμα BC 14 τυχόν] om. D. ΑΓ] corr. ex ΑΒΓ D.) [*](15. δεικτέον — ΒΔ] supra scr D3. ὅτι] οὖν ὅτι D.) [*](16. τῷ] corr. ex τό C1. 17. ΑΒ, ΔΙ] e corr D3. τῷ] corr. ex τῶν D. κείσθω — 18. ΔΒΓ] supra scr. D3. 18 τῶν] om. D3. ἡ] supra scr D3. Post ABE add. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ (supra scr D3) ὑπὸ ΔΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ABE D et mg. pro scholio BC; % add. C3. οὖν] om. D, del. C.)

τούτου προεκτεθέντος ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓΔ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α δύο διήχθωσαν [*](3. τῷ] e corr. D3. 5. τήν (alt.)] om D. 7 ΒΓ] τῶν ΓΒ D. 8 ΒΔ] ΔB C, τῶν ΒΔ corr. ex τὸ ΒΔ D3. 10. γωνίᾳ] om. D. 11. -πὸ BΔ — 12. τρίγωνον] mg. B1.) [*](11. ἰσογώνιον — 12. τριγώνῳ] mg. C3. 11. ἐστί C3, comp. B.) [*](12. ABE] BAE C3. τῷ] corr. ex πό B1, ex τό D3. ΒΓΔ ΒΔΓ BC3. τριγώνῳ] τριγωνώνωι etiam in textu C. 14. Ante ΒΑ ins. τῶν D3. ΔΓ] ΓΔ D. ἐστί B. τῷ] corr. ex τὸ D3.) [*](ΑΕ] ΕΑ D. 15. τό] corr. ex τῷ B1C3. ὑπό (pr.)] ὑπὸ τῶν B1D. ΒΓ — ὁπό] om. C. ΒΓ — ΓΕ] mg B1, in textu ras. 4 litt. ΒΓ, ΑΔ] ΒΔ, ΓΕ B1D. ἴσον] -ον in ras. A2. τῷ] corr. ex τό D3. ΒΔ, ΓΕ] τῶν ΒΓ, ΑΔ B1D.) [*](16 ΑΓ] τῶν ΑΓ D. ἐστί D. 17. συναμφοτέροις] σ- corr. ex ν in scrib D. ΔΓ] ΓΔ D. 18. ΒΓ] ΓΒ D. 19. τοῦτο τὸ θεώρημα καθʼ ὑπεροχὴν λέγεται mg B pro scholio, γ mg. D. 20. Α] seq. ras. 1 litt. B.)

πάλιν προκείσθω δοθείσης τινὸς εὐθείας ἐν κύκλῳ τὴν ὑπὸ τὸ ἥμισυ τῆς ὑποτεινομένης περιφερείας εὐθεῖαν εὑρεῖν. καὶ ἔστω ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐπὶ διαμέτρου τῆς ΑΓ καὶ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ ἡ ΓΜ περιφέρεια δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΔ, ΒΔ, ΔΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΖΓ ἡμίσειά ἐστι τῆς τῶν ΑΒ καὶ ΑΓ ὑπεροχῆς. κείσθω γὰρ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΔ, δύο δὴ αἱ ΑΒ, ΑΔ δύο ταῖς ΑΕ, ΑΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἕκατέρᾳ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΑΔ ἴση ἐστίν Eucl. III, 27 καὶ βάσις ἄρα ἡ ΒΔ βάσει τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν Euel. I, 4. ἀλλὰ ἡ ΒΔ τῇ ΔΓ ἴση ἐστίν· καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελοῦς ὄντος τριγώνου τοῦ ΔΕΓ ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος [*](1. δεδομένων] δεδομέναις D, αις eras δώδεκα] ιβ D.) [*](2. μοίρας] μο ὑποτείνουσαν D 3 Post οβ add D, ὅπερ ἔδει δεῖξαι D3. 4 δ mg D. εὐθείας τινός D. 5. ὑπό] ὑ- e corr D. 6. καί] om D. 7 εὐθεῖα ἡ ΓΒ καί] ins. D.) [*](ΓΒ] ΒΓ D. 10. αἱ] om. C. 13. ἐτιν D. 16. ΑΒ] ΒΑ D. δύο] δυσί D. ΑΕ] ΕΑ D. 17. ἴσαι] corr. ex ἴσα D. ἑκατέρα] seq. ras. 3 litt. B. 18. ΒΑΔ] corr. ex ΑΒΓ D3. ἐστίν] — 20 ἐστίν] mg B1. 19. καί] om. D.) [*](καί — 20 ἐστίν] om. C. 19 ἐστιν ἴση B. 20 ἀλλά] ἀλλὰ καί BD. ΔΓ] ΓΔ D. ἴση ἐστίν] A, ἐστιν ἴση BD.) [*](Seq καὶ ἡ ΔΓ ἄρα τῇ ΔΕ ἴση ἐστίν mg. B1, del. B2. ΔΓ] ΓΔ D. 22 ΔΕΓ] ΓΔΕ D.)

καὶ διὰ τούτου δὴ πάλιν τοῦ θεωρήματος ἄλλαι τε ληφθήσονται πλεῖσται κατὰ τὰς ἡμισείας τῶν προεκτεθειμένων, καὶ δὴ καὶ ἀπὸ τῆς τὰς ιβ μοίρας ὑποτεινούσης εὐθείας ἥ τε ὑπὸ τὰς καὶ ἡ ὑπὸ τὰς γ καὶ ἡ ὑπὸ τὴν μία ἥμισυ καὶ ἡ ὑπὸ τὸ ἥμισυ τέταρτον τῆς μιᾶς μοίρας. εὑρίσκομεν δὲ ἐκ τῶν ἐπιλογισμῶν [*](2. ἀλλά D. 4. εὐθείας] εὐθείας δοθείσης L. 5. ὑπο- κειμένης] del. D. Supra scr. ἤτοι δεδομένης B2, δεδομένης mg. C2. δέδοται] cor. ex δίδοται D. 6. Ante pr. ἡ ras. 1 litt. D. καί] postea ins. D3. 7. ἐπεί] om. D. 8. τῶ ΑΓΔ] τριγώνῳ τῷ ΑΔΓ D. 9. ΑΔΓ] ΑΓΔ D. ΔΓΖ] ΓΔΖ corr. ex ΔΖ D3. 10 ΓΔ (alt )] mut. in ΔΓ C3. 11. ἴσον] add. D3. 12 δοθὲν δέ — 14. τετράγωνον] om. A.) [*](12. δέ] δέ ἐστιν D. 13 ΓΖ] ΓΖ περιεχόμενον D. 15. τήν] e corr. A. ΒΓ] e corr. D3. περιφερείας] -ς e corr. C, περιφερείας ὅπερ ἔδει δεῖξαι D. 16. ε mg. D. 17. προεκ- τιθεμένων D. 19. ϛ] ἕξ B. 20. ἥμισυ (utrumque)] comp. BD. τό] τήν D. τέταρτον] δ΄ D (similia posthac non notabo).)

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ διάμετρον μὲν τὴν ΑΔ, κέντρον δὲ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἀπειλήφθωσαν δύο περιφέρειαι δοθεῖσαι κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ ὑπʼ αὐτὰς εὐθεῖαι καὶ αὐταὶ δεδομέναι. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΑΓ, δοθήσεται καὶ αὐτή. διήχθω γὰρ διὰ τοῦ Β διάμετρος τοῦ κύκλου ἡ ΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΔ, ΔΓ, ΓΕ, ΔΕ· δῆλον δὴ αὐτόθεν, ὅτι διὰ μὲν τὴν ΒΓ δοθήσεται καὶ ἡ ΓΕ, διὰ δὲ τὴν ΑΒ δοθήσεται ἥ τε ΒΔ καὶ ἡ ΔΕ. καὶ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν, ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστιν τὸ ΒΓΔΕ, καὶ διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΒΔ, ΓΕ, τὸ ὑπὸ τῶν διηγμένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶν συναμφοτέροις τοῖς ὑπὸ τῶν ἀπεναντίον· ὥστε, ἐπεὶ δεδομένου τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΓΕ, δέδοται καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΔΕ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΒΕ, ΓΔ. δέδοται [*](1. Supra ᾱ scr. ἑνός B3. 2. τό] τήν D. 3. U+2220΄] in ras. A. o] A, ο BCD, οὐδέν comp. A3D3. 7. ἐπιζεύχθω- σαν BC; ἐπιζεύ| D, Θ1ω add. D3. 8 εὐθεῖαι] corr. ex εὐ- θείας D3. 12. διά] ἀπό D. 14. ἐπιζεύχθωσαν BC. 15. ΔΓ] ΓΔ D. δή] δέ D. αὐτόθεν] post -ό- del. ι C. διά] in ras. D3. 16. δοθήσεται (alt.)] δοθήσονται D. 17. τά] corr. ex τ D3. 18 ἐν] -ν in ras. D3. 19. ΒΔ, ΓΕ] in ras. A.) [*](20. ἐστίν] -ν eras. D. 21. ὁπό] ὑ- in ras. D3. 22. ΒΔ] ΒΓ C. δέδοται] corr. ex δίδοται D3. 23. BΓ] mut. in BΔ C2; BE, ΓΔ supra scr. D3. δέδοται (pr.) — ΓΔ] om. D. -δοται — δέ-] mg. A1. δέδοται (alt.)] δέδονται D, sed ν eras.)

φανερὸν δέ, ὅτι συντιθέντες ἀεὶ μετὰ τῶν προεκτεθειμένων πασῶν τὴν ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν καὶ τὰς συναπτομένας ἐπιλογιζόμενοι πάσας ἀπλῶς ἐγγράψομεν, ὅσαι δὶς γινόμεναι τρίτον μέρος ἕξουσιν, καὶ μόναι ἔτι περιλειφθήσονται αἱ μεταξὺ τῶν ἀνὰ ᾱ U+2220΄ μοῖραν διαστημάτων δύο καθʼ ἕκαστον ἐσόμεναι, ἐπειδήπερ καθʼ ἡμιμοίριον ποιούμεθα τὴν ἐγγραφήν. ὥστε, ἐὰν τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον εὐθεῖαν εὕρωμεν, αὕτη κατά τε τὴν σύνθεσιν καὶ τὴν ὑπεροχὴν τὴν πρὸς τὰς τὰ διαστήματα περιεχούσας καὶ δεδομένας εὐθείας καὶ τὰς λοιπὰς τὰς μεταξὺ πάσας ἡμῖν συναναπληρώσει. ἐπεὶ δὲ δοθείσης τινὸς εὐθείας ὡς τῆς ὑπὸ τὴν ᾱ U+2220΄ μοῖραν ἡ τὸ τρίτον τῆς αὐτῆς περιφερείας ὑποτείνουσα διὰ τῶν γραμμῶν οὐ δίδοταί πως· εἰ δέ γε δυνατὸν ἦν, εἴχομεν ἂν 3αὐτόθεν καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον· [*](1. δέ] corr. ex δι D3. λοιπή] ἡ λοιπή A. Deinde add. ἄρα D3. ἡ] BC, ἡ ὑπὸ τήν AD, ὑπὸ τήν eras. D. 3. ΑΓ] ΑΓ ὅπερ ἔδει δεῖξαι D. 4. ὑπό D. δοθήσεται] corr. ex δοθήσονται D3. 6. τούτου] τού | τούτου C, om. D. τοῦ] τοῦ τοιούτου D. 7. ?? mg D. et in textu D2. δέ] mut. in δή B3D3. προεκτιθεμένων D. 9. συναπτομένας] -π- in ras. D3.) [*](ἐγγράψομεν] pr. γ in ras. D3. 10. ὅσαι] corr. ex ὅσ αἱ C2D3.) [*](γενόμεναι D. 11. περιλειφθήσονται] corr. ex περιληφθή- σονται C2D3. τῶν] post ras. 3 litt. D. 13. καθʼ] καὶ καθʼ D.) [*](14. αὕτη] BC2, αὐτῆ A et corr. in αὐτή D, αυτη C. 15. τάς] corr ex τά A. 16. δεδομένας] -μέ- supra scr A1.) [*](17. τάς ( alt.)] καὶ τάς corr. ex κατά D. 19. μοῖραν] sic AC.) [*](ἡ τό] corr. ex ἤτοι D. τῆς αὐτῆς] corr. ex τῆς D.3 20. δίδοται] δέδοται corr. ex δέδωται D.)

λέγω γάρ, ὅτι, ἐὰν ἐν κύκλῳ διαχθῶσιν ἄνισοι δύο εὐθεῖαι, ἡ μείζων πρὸς τὴν ἐλάσσονα ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ἐπὶ τῆς μείζονος εὐθείας περιφέρεια πρὸς τὴν ἐπὶ τῆς ἐλάσσονος.

ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓΔ, καὶ διήχθωσαν ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι ἐλάσσων μὲν ἡ ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΒ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΒΑ εὐθεῖαν ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ περιφέρεια πρὸς τὴν ΒΑ περιφέρειαν. τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα ὑπὸ τῆς ΒΔ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ καὶ ἡ ΑΔ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΒΕΔ εὐθείας, ἴση μέν ἐστιν ἡ ΓΔ εὐθεῖα τῇ [*](1. μεθοδεύσομεν] corr. ex μεθοδεύσαμεν C2. 2 μοῖρμένας] om. D. ὑπό] ὑπὸ τό D. 3. λημμάτιον] -τι- in ras. A. μή] corr. ex μοι C3. 4. πηλικότητας] corr. ex πηληκκότητας C.) [*](ἐλαχίστων] corr. ex ἐλάχιστον C3. 5. ὡρισμένας] ὡρι| σμένας corr. ex ὡρισ |μένας A1. δύναιτʼ ἄν] δύναται D. 6. λῆμμα mg. BC ἄνισοι δύο] β ἄνισοι D. 7. ἐλάσσονα (pr.)] ante ν ras. 2 litt. A. ἐλάσσονα (alt.)] AD, om. BC, add. C3 et mg. B1.) [*](8. μείζονος] -ς in ras. D3. 9. ἐπί] ἀπό B. ἐλάττονος D.) [*](11. ἄνισοι εὐθεῖαι D. 12 ΓΒ] ΒΓ D. 13. πρός — 15. περιφέρεια] mg B1C3. 13. εὐθεῖαν] om B1D. ἐλάττονα C.) [*](14 ἤπερ] ἤ C3. ΒΓ] ΓΒ B1D. 15. πρός — περιφέρειαν] et in textu C et in mg. C3. 16 ς mg. D. 17. δίχα γωνία D.) [*](20. καὶ ἐπεί] ἐπεὶ οὖν D.)

Πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἡ μὲν ΑΒ εὐθεῖα ὑποκείσθω ὑποτείνουσα μοῖραν ᾱ, ἡ δὲ ΑΓ μοῖραν ᾱU+2220΄. κατὰ τὰ αὐτὰ δή, ἐπεὶ ἡ ΑΓ περιφέρεια τῆς ΑΒ ἐστιν ἡμιολία, ἡ ΓΑ ἄρα εὐθεῖα τῆς ΒΑ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος. ἀλλὰ τὴν ΑΓ ἀπεδείξαμεν τοιούτων οὖσαν ᾱ λδ ῑε, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ· ἡ ἄρα ΑΒ εὐθεῖα μείζων ἐστὶν τῶν αὐτῶν ᾱ β ν· τούτων γὰρ ἡμιόλιά ἐστιν τὰ προκείμενα ᾱ λδ ῑε. ὥστε, ἐπεὶ τῶν αὐτῶν ἐδείχθη καὶ μείζων καὶ ἐλάσσων ἡ τὴν μίαν μοῖραν ὑποτείνουσα εὐθεῖα, καὶ ταύτην δηλονότι ἕξομεν τοιούτων ᾱ β ν ἔγγιστα, οἵων ἐστὶν ἡ διάμετρος ρκ, καὶ διὰ τὰ προδεδειγμένα καὶ τὴν ὑπὸ τὸ ἡμιμοίριον, ἥτις εὑρίσκεται τῶν αὐτῶν ○ λα κε ἔγγιστα. καὶ συναναπληρωθήσεται τὰ λοιπά, ὡς ἔφαμεν, διαστήματα ἐκ μὲν τῆς πρὸς τὴν μίαν ἥμισυ μοῖραν λόγου ἕνεκεν ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου διαστήματος συνθέσεως τοῦ ἡμιμοιρίου δεικνυμένης τῆς ὑπὸ τὰς β μοίρας, ἐκ δὲ τῆς ὑπεροχῆς τῆς πρὸς τὰς γ μοίρας καὶ τῆς ὑπὸ τὰς β U+2220΄ διδομένης· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν.

ἡ μὲν οὖν πραγματεία τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν οὕτως ἂν οἶμαι ῥᾷστα μεταχειρισθείη. ἵνα δέ, ὡς ἔφην, [*](3. περιφέρεια — 5. ΑΓ] mg. D3 (κείμενον). 4. ἡμιόλιός ἐστιν D3. ΓΑ ἄρα] ΑΓ D3. ΒΑ] ΑΒ D3. 6. οὖσαν] supr scr. D. 7. ΑΒ] ΒΑ D. 8. ᾱ λδ ῑε] corr. ex αλ διε D3.) [*](9. ὥστʼ D. 12. προυποδεδειγμένα D. 14 ὡς ἔφαμεν τὰ λοιπά D. 16. πρώτου] corr. ex ᾱ D3. συνθέσεως] D (-ς e corr.), τῆς συνθέσεως ABC. 19. καί ( pr.)] eras. D. 22. δέ] δʼ D. ἔφην] corr. ex ἔφη C2, ἔφη B.)

Ἐκτεθειμένης δὴ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν πρῶτον ἂν εἴη, καθάπερ εἴπομεν, δεῖξαι, πόσον ὁ λοξὸς καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ἐγκέκλιται πρὸς τὸν ἰσημερινόν, τουτέστιν τίνα λόγον ἔχει ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν ἐκκειμένων πόλων μέγιστος κύκλος πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην αὐτοῦ μεταξὺ τῶν πόλων περιφέρειαν, ἴσην ἀπέχει δηλονότι καὶ τῶν τροπικῶν ἑκατέρου σημείων τὸ κατὰ τὸν ἰσημερινόν. αὐτόθεν δʼ ἡμῖν τὸ τοιοῦτον ὀργανικῶς καταλαμβάνεται διὰ τοιαύτης τινὸς ἁπλῆς κατασκευῆς.

ποιήσομεν γὰρ κύκλον χάλκεον σύμμετρον τῷ μεγέθει τετορνευμένον ἀκριβῶς τετράγωνον τὴν ἐπιφάνειαν, ᾧ χρησόμεθα μεσημβρινῷ διελόντες αὐτὸν εἰς τὰ ὑποκείμενα τοῦ μεγίστου κύκλου τμήματα τξ καὶ τούτων ἕκαστον, εἰς ὅσα ἐγχωρεῖ μέρη· ἔπειτα ἕτερον κυκλίσκον λεπτότερον ὑπὸ τὸν εἰρημένον ἐναρμόσαντες οὕτως, ὥστε τὰς μὲν πλευρὰς αὐτῶν ἐπὶ μιᾶς μένειν ἐπιφανείας, περιάγεσθαι δὲ ἀκωλύτως ὑπὸ τὸν μείζονα δύνασθαι τὸν ἐλάσσονα κύκλον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν, προσθήσομεν ἐπὶ δύο τινῶν κατὰ διάμετρον τμημάτων τοῦ ἐλάσσονος κύκλου κατὰ τῆς ἑτέρας τῶν πλευρῶν πρισμάτια μικρὰ [*](1 ιβ΄] om. AD. τῆς] corr. ex τῶν D3. 3. εἴπομεν] corr. ex εἴπωμεν B. 4. τῶν] om D. ἐγκέκληται C, corr. C2.) [*](8. ᾗ] ἥ A 9. τό] mut. in τά D3. 10. διαλαμβάνεται D.) [*](12. πε ρὶ κατασκευῆς mg, B, κατασκευῆς mg. C. 14. ᾧ] e corr. B, τῆς περιφερείας ᾡ D. 18. μέν — μιᾶς] bis C, sed corr. Post μένειν del — B. 22. κατά] τῶν κατά D, τῶν ins. B2, 23. κύκλου] κυκλίσκου D πρισμάτια] mut. in πηγμάτια C3, πηγμάτια corr. ex πριγμάτια D3.)

ἔτι δὲ εὐχρηστότερον ἐποιούμεθα τὴν τοιαύτην παρατήρησιν κατασκευάσαντες ἀντὶ τῶν κύκλων λιθίνην ἢ ξυλίνην πλινθίδα τετράγωνον καὶ ἀδιάστροφον, ὁμαλὴν μέντοι καὶ ἀποτεταμένην ἔχουσαν ἀκριβῶς τὴν ἑτέραν τῶν πλευρῶν, ἐφʼ ἧς κέντρῳ χρησάμενοι σημείῳ τινὶ πρὸς τῇ μιᾷ τῶν γωνιῶν ἐγράψαμεν κύκλου τεταρτημόριον, ἐπιζεύξαντες ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου μέχρι τῆς γεγραμμένης περιφερείας τὰς τὴν ὑπὸ τὸ τεταρτημόριον ὀρθὴν γωνίαν περιεχούσας εὐθείας καὶ διελόντες ὁμοίως τὴν περιφέρειαν εἰς τὰς μοίρας καὶ τὰ τούτων μέρη. μετὰ δὲ ταῦτα ἐπὶ μιᾶς τῶν εὐθειῶν τῆς μελλούσης ὀρθῆς τε ἔσεσθαι. πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον καὶ πρὸς μεσημβρίαν τὴν θέσιν ἕξειν ἐμπολίσαντες ὀρθὰ καὶ ἴσα πάντοθεν δύο κυλίνδρια μικρὰ κατὰ τὸ ὅμοιον τετορνευμένα, τὸ μὲν ἐπ’ αὐτοῦ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου περὶ αὐτὸ τὸ μέσον ἀκριβῶς, τὸ δὲ πρὸς τῷ κάτω πέρατι τῆς [*](1. σκιασθῇ] σ- euan. A. διεσήμανεν corr in διεσήμη- νεν D3 2. γνωμόνων D. 5. περὶ κατασκευῆς πλινθίδων mg BC. εὐχρηστοτέραν D. 6. λιθήνην B. 7. πληνθίδα BCD, corr. D3. ἀδιάστροφον] A, add. ἐν (om. D) συμμέτρᾳ πλάτει καὶ βάθει πρὸς τὸ βεβηκέναι κατὰ κρόταφον BD, et mg. pro scholio C (οἶμαι σφάλμα add. eadem manu). 8. ἀπο- τε| τεταμένην D. 10. ἔγράψαμεν] ἐγρ- in ras. A. 11. κέν- τρου D. 12. σημείου] corr. ex σημεῖον C. τάς] supra scr A1. 14. διελόντες] corr. ex. διελθόντες B2C. 15. ἐπί] κατά D 16. μελούσης D. τε ἔσεσθαι] τίθεσθαι D. 17. πρός (pr.) — καί] om. B, mg. C3. 18. ἐμπολίσαντες] mut. in ἐνεπολίσα |τες B2, ἐνεπολήσαμεν D. 19. κυλίνδρια] post υ eras. κ D. ὅμοιον] ὅ- ins. D3.)

ἐκ δὴ τῶν τοιούτων παρατηρήσεων καὶ μάλιστα τῶν περὶ τὰς τροπὰς αὐτὰς ἡμῖν ἀνακρινομένων ἐπὶ πλείονας περιόδους τὰ ἴσα καὶ τὰ αὐτὰ τμήματα τοῦ μεσημβρινοῦ κύκλου καὶ κατὰ τὰς θερινὰς τροπὰς καὶ κατὰ τὰς χειμερινὰς τῆς σημειώσεως ὡς ἐπίπαν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἀπολαμβανούσης σημείου κατελαβόμεθα τὴν ἀπὸ τοῦ βορειοτάτου πέρατος ἐπὶ τὸ νοτιώτατον περιφέρειαν, ἥτις ἐστὶν ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν [*](1. περὶ θέσεως mg BC 3. γραμήν C. 5. κυλίνδρων D, deinde del ἀκριβεῖ τε καί. 6. ἀκλινῆ ] ἀκλινεῖ D. τε] postea ins. D. 7 πάλιν τινῶν B. 8. λεπτῶν] in ras D, λεπτόν BC. περὶ χρήσεως mg. BC. 9. ὡσαύτως] ὁμοίως D.) [*](τὸ κέντρον D 10. κυλίνδρον D. 13. αὐτοῦ] αὐτο seq. ras. 1 litt. D. 14 διασημαῖνον] δ- in ras. A. 17. δή] postea ins. B. 20. κατά] supra scr A. 21 ὡς] supra scr. A. 22 σημείου] corr ex σημεῖον C, supra scr D3. 24. περιφέρειν A.) [*](ἐστί A ἡ] supra scr A τροπικῶν] τ- postea ins. C.)

εὔληπτα δὲ αὐτόθεν ἐκ τῆς προκειμένης παρατηρήσεως γίνεται καὶ τὰ τῶν οἰκήσεων, ἐν αἷς ἂν ποιώμεθα τὰς τηρήσεις, ἐγκλίματα λαμβανομένων τοῦ τε μεταξὺ σημείου τῶν δύο περάτων, ὃ γίνεται κατὰ τὸν ἰσημερινόν, καὶ τῆς μεταξὺ τούτου τε καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου περιφερείας, ᾗ ἴσην δηλονότι καὶ οἱ πόλοι τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν.

ιγ΄. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις.

Ἀκολούθου δʼ ὄντος ἀποδεῖξαι καὶ τὰς κατὰ μέρος γινομένας πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν γραφομένων μεγίστων κύκλων διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων προεκθησόμεθα λημμάτια βραχέα καὶ εὔχρηστα, διʼ ὧν τὰς πλείστας σχεδὸν δείξεις τῶν σφαιρικῶς θεωρουμένων, ὡς ἔνι μάλιστα, ἁπλούστερον καὶ μεθοδικώτερον ποιησόμεθα.

εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι [*](2. δέ] δὲ ἤ D. 3 τῷ] τὸ C. 5. μεταξύ] -ξ- postea ins. C. 13. πόλοι] πολλοί C. 14 ιγ΄] C, γι B, om. AD.) [*](15. ὄντος] -ν- ins. D3. 17. μέσου D. 21. σφαιρικῶν θεωρημάτων D, supra scr. σφαιερικῶς θεωρουμένων D3. 23. εἰς δύο δή] postea ins D. α΄ λῆμμα εὐθύγραμμον κατὰ σύν- θεσιν mg. BC.)

λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε.

ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Γ Δ παράλληλος ἡ Ε Η. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ Γ Δ καὶ Ε Η, ὁ τῆς Γ Α πρὸς Ε Α λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Γ Δ πρὸς Ε Η Eucl. VI, 4. ἔξωθεν δὲ ἡ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Δ πρὸς Ε λόγος συγκείμενος ἔσται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε ὥστε καὶ ὁ τῆς Γ Α πρὸς Α Ε λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε. ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε Eucl. VI, 4 διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς Ε καὶ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Α πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται, ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α, διὰ τοῦ Α τῇ Ε Β παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἑπ᾿ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν παράλληλός [*](1. ΓΔ] Δ Γ D. 7 Ε Α] Α Ε D. 9 ἔξωθεν δέ] καὶ ἔξωθεν D. 10 πρός] corr. ex πρό D 11 Δ Ζ] Ζ Δ D.) [*](1. Δ Ζ] Ζ Δ D. Η Ε] Ε Η D. 15. Η Ε] Ε Η D. 16. Η Ε) ΕΗ D. 17 Ζ Β] Β Ζ D 20 Ζ Β] Β Ζ D. 21. β λῆμμα κατὰ διαίρεσιν mg. BC. 23 Δ Ζ] Ζ Δ D. Δ Β] Β Δ D, Δ Β mg. D3. 24 τῇ] seq ras 1 litt B. παραλλήλου] πᾶλλήλου D. 25 Γ Δ Η] corr ex Γ Δ D3)

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόντα τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, Β Γ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α Γ καὶ ΔΕΒ.

λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ οὕτως ἡ Α Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε Γ εὐθεῖαν.

ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α καὶ Γ σημείων ἐπὶ τὴν Δ Β ἥ τε Α Ζ καὶ ἡ Γ Η. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ Α τῇ Γ Η, καὶ διῆκται εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΑΕΓ, ἔστιν, ὡς ἡ Δ Ζ πρὸς τὴν Γ Η, οὕτως ἡ Α Ε πρὸς Ε Ι Eucl. VI, 4. ἀλλʼ ὁ αὐτός ἐστιν λόγος ὁ τῆς Α πρὸς Γ Η καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ ἡμίσεια γὰρ ἐκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὁ τῆς Α Ε ἄρα πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

παρακολουθεῖ δʼ αὐτόθεν, ὅτι, κἂν δοθῶσιν ἢ τε Α Γ ὅλη περιφέρεια καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν Α Β καὶ Β Γ περιφερειῶν. ἐκτεθείσης γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐπεζεύχθω ἡ Α Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν Α Ε Γ ἡ Δ Ζ. ὅτι μὲν οὖν τῆς Α Γ περιφερείας δοθείσης ἥ τε ὑπὸ Α Δ Ζ [*](1. τῆς — 2. Β Γ]. mg BC3, τῆς BΓ etiam in textu BC.) [*](3. πρός] supra scr. D3, 6. εὐθεῖα] corr. ex εὐθείας D 8. Ε Γ] τὴν Ε Γ D. ὁ (alt.)] om. D. 9. τῆς (pr)] corr. ex τῆ D3. 10. περιφερείας] supra scr. D. 12. Ε Γ] την Ε Γ D.) [*](13. Β Γ] D. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] supra scr. D3. 14. δʼ] comp. ins. D3. 15. Α Γ] corr. ex Γ Α D3. Post ὅλη del. ἡ D3. 17. τήν] τ- e corr. C. 18. Β Γ] corr. ex Γ Β D3. 19. καί] ins D3. 23. ΑΕΓ] corr ex ΔΕΓ BC2.)

πάλιν ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, ΑΓ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπιζευχθεῖσαι ἥ τε Δ Α καὶ ἡ Γ Β ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε σημεῖον.

λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Β Ε.

ὁμοίως γὰρ τῷ προτέρῳ λημματίῳ, ἐὰν ἀπὸ τῶν Β καὶ Γ ἀγάγωμεν καθέτους ἐπὶ τὴν Δ Α τήν τε ΒΖ καὶ τὴν Γ Η, ἔσται διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς εἶναι, ὡς ἡ Γ Η, πρὸς τὴν Β Ζ, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β Eucl. VI, 4. ὥστε καί, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

καὶ ἐνταῦθα δὲ αὐτόθεν παρακολουθεῖ, διότι, κἂν ἡ Γ Β περιφέρεια μόνη δοθῇ, καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β δοθῇ, καὶ ἡ Α Β περιφέρεια δοθήσεται. πάλιν γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἐπιζευχθείσης τῆς Δ Β καὶ καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν Β Γ τῆς Δ Ζ ἡ μὲν [*](1. Γ Α] Α Γ D. 2. οὕτως] corr. ex οὕτω A1. 4. γάρ] om. BC. 6. ἔσται] om. D. 7. ὡς] γίνεται ὡς D. ἡ (pr)] ins. D. Β Ζ] Ζ Β D. πρὸς τήν] πρός corr. ex πρό D.) [*](8. ὡς] supra scr. D3. 10. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] ο>: AC, περιφέρειαν comp. B, om. D. 11. ςʹ mg. A. δέ] δʼ D.) [*](12. ἡ] ἥ τε D. δοθῇ] δοθείη D. ὁ (pr.)] om. D. 13 τῆς (pr) — διπλῆν] ins. B3. Γ Α] -Α in ras A. Γ Α — 14. Α Β (pr.)] supra scr. C2. 13. πρὸς τήν] corr. ex πρ ?? D3.) [*](14. Α Β (pr.)] etiam in textu C. δοθῇ] del. B3, δοθήσεται D.) [*](δοθήσεται] om. D.)

τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, ὥστε εἰς δύο τὰς Α Β καὶ Α Γ δύο γραφείσας τὰς Β Ε καὶ Γ Δ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ σημεῖον· ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω.

λέγω δή, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β, Ζ, Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε Η Β καὶ ἡ Η Ζ καὶ ἡ Η Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α Δ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ Η Β ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁμοίως δὲ [*](2. ἄρα] supra scr. D3. 3. ὀρθογώνιον] τρίγωνον D. 5. ὥστε καί, ἐπεί] ὥστʼ ἐπεὶ καί D. 7. ὀρθογωνίου] τριγώνου D.) [*](9. θεώρημα κατὰ διαίρεσιν mg. B. 11. γραφείσας] corr. ex γραφθείσας C2. 12. σημεῖον] om. D 13. ἐλάττων D.) [*](δέ δʼ D. 14 ὑπακουέσθω] ὑπακουέσθω ἡμῖν D. 16. τῆς — 17. διπλῆν] D, mg. A4BC3 κείμενον add. B3. 16 E Α] Ε Δ Β, γρ εα B3. 18 ὑπὸ τήν ( pr.)] bis A. 21. ἀπὸ τοῦ Η] ἀπʼ αὐτοῦ D. Β, Ζ, Ε] Β Ε Ζ D. 22 ἡ ( pr.)] om. BC καί ⟨tert.⟩] ς καί D.)

κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἐπιπέδου καταγραφῆς τῶν εὐθειῶν p. 68, 23 δείκνυται, ὅτι καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Δ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.

Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προεκτεθειμένου ποιησόμεθα πρώτην τὴν τῶν προκειμένων περιφερειῶν ἀπόδειξιν οὕτως.

ἔστω γὰρ ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὸ μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, τὸ δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΕΔ, τὸ δὲ Ε σημεῖον ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν αὐτῶν τομή, ὥστε τὸ μὲν Β χειμερινὸν τροπικὸν εἶναι, τὸ δὲ Δ θερινόν, εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ Γ περιφερείας [*](2. τῆς Δ Β — διπλῆν] supra scr. D3. τὴν ὑπό] postea ins. A1. 3. δή] δέ D. καὶ ὥσ-] in ras. A. 4. ὅτι] corr. ex διότι D. 7. διπλῆν (alt.)] -ι- corr. ex η A. 8. Δ Ζ] Ζ Δ D.) [*](9. προέκειτο] corr. ex πρόκειται τό D3. 10. ιδ΄] C, δι B, om. AD. περί — 11. περιφερειῶν] mg D3, 10 τοῦ (pr.)] τοῦ τε D3. 12. δή] om. D. 13. τήν] om. D. 23. τό] καὶ τό D.) [*](εἶναι τροπικόν D.)

ἐπεὶ τοίνυν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς Α Ζ καὶ Α Ε περιφερείας γεγραμμέναι εἰσὶ δύο ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ Ε Β τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Κ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β p. 76, 3. ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς Ζ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Α Β διπλῆ κατὰ τὸν συμπεφωνημένον p. 68, 4. ἡμῖν τῶν πγ πρὸς τὰ ια λόγον μοιρῶν μζ μβ μ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λα νε, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Η Ε περιφερείας [*](6. δή] δέ D. 9. εἰσίν] εἰσί in ras. 1 litt. B3. 10. ἤ] supra scr. D3, 11. ἡ — τμημάτων] ὁ μέγιστος κύκλος D.) [*](μεγίστου] mg B, om C. 15. εἰσί] comp B, εἰσίν D. 16. ΕΒ] Β Ε D. 17. πρὸς τήν] πρὸ |στὴν] D, post ό add. σ D3.) [*](19. Θ Ζ] A, Ζ Θ BCD. 24. πρός] corr. ex πρώ C3.)

πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ε Η γίνεσθαι μοιρῶν ρκ, τὴν δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ μβ α μη. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ τμημάτων ρκ ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπτλῆν τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἔσται μβ α μη. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ H περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μα ο ιη, ἡ δὲ Θ Η τῶν αὐτῶν κ λ θ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι.

τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος περιφερειῶν ἐπιλογιζόμενοι τὰς πηλικότητας ἐκθησόμεθα κανόνιον τῶν τοῦ τεταρτημορίου μοιρῶν παρακειμένας ἔχον τὰς πηλικότητας τῶν ὁμοίων ταῖς ἀποδεδειγμέναις περιφερειῶν· καί ἐστιν τὸ κανόνιον τοιοῦτον·

Ἐξῆς δʼ ἂν εἴη συναποδεῖξαι τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν τὰς γινομένας πηλικότητας ὑπὸ τῶν γραφομένων κύκλων διά τε τῶν πόλων αὐτοῦ καὶ τῶν διδομένων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων· οὕτω γὰρ ἕξομεν, ἐν ὁπόσοις χρόνοις ἰσημερινοῖς τὰ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τμήματα διελεύσεται τόν τε μεσημβρινὸν πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διὰ τὸ καὶ αὐτὸν τότε μόνον διὰ τῶν πόλων γράφεσθαι τοῦ ἰσημερινοῦ.

ἐκκείσθω τοίνυν ἡ προδεδειγμένη καταγραφή, καὶ δοθείσης πάλιν τῆς Ε Η περιφερείας τοῦ λοξοῦ κύκλου πρότερον τμημάτων λ δέον ἔστω τὴν Ε Θ τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαν εὑρεῖν.

κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Θ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α p. 74, 15. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς Ζ Β περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ τῆς Β Α μοιρῶν μζ μβ μ [*](1. ιϛʹ] ςι B, om. ACD. συναναφορῶν D. 22. ἰσημερινοῦ] B C D, ἰσημερινοῦ κύκλου A, κύκλου mg. pro scholio B.C. 5. οὕτως D. 6. -ν ἐν ὁπ-] postea ins. A1. 19. λόγος] -ς in ras D3, seq. ras. 4 litt συνῆπται] σύγκειται D. 20. τῆς (alt.) — 21. Η Θ] supra scr C3. 21. Ζ — Η Θ] mg. B3. πρὸς τήν] καὶ τῆς C3. τῆς Η Θ] etian in textu C, Η Θ in textu B.) [*](καί] καὶ ἐκ D. 22. Θ E] E Θ D. 24. ὑπό] A, ὑπʼ B C D.) [*](25. Β Α] Β Α διπλῆ D. μ] corr ex ζ D.)

πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε Η περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ζ περιφερείας γίνεσθαι μοιρῶν ρλη νθ μρ καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κγ νς, τὴν δὲ διπλῆν τῆς Η Θ περιφερείας μοιρῶν μα ο ιη καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ α μη. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μ λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριβ κγ νς πρὸς τὰ μβ α μη, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν [*](1. ὑπό) A, ὑπ᾿ B CD. 2. ρνς μ α] B, ρν ς μα A, ρνς μ β B3, ρνς μα C, ρνς μςβ D. 3. ὑπό] AC, corr. ex ὑπʼ B, ὑπ᾿ D.) [*](4. Η Θ] Η Θ περιφερείας διπλασίων D. ὑπό] AC, ὑπ᾿ B D.) [*](5. ἐάν] bis D, sed corr. ρθ] corr. ex D3. 7. ὁ] in ras. C. 10. καί] καὶ ὁ D. κε] corr. ex νγ D3, νγ in ras. B3.) [*](11. ὑπʼ] corr. ex ἀπʼ C. 13. τμημάτων] supra scr. D3. κε] corr. ex νγ D3. 15. Post μ ras. 1 litt. D. 20. Η Θ] AB3C2D, Ζ Η BC. περιφερείας] om. D. 21. ἄρα] ἄρα πάλιν D. 22. λα] corr. ex λβ D3. λόγουσ, σ eras., D.)

καὶ δέδεικται, ὅτι τὸ μὲν α΄ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ σημείου δωδεκατημόριον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου συγχρονεῖ τοῖς τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν ἐκκείμενον τρόπον τμήμασιν κζ ν, τὸ δὲ δεύτερον τμήμασιν κθ νδ, ἐπειδήπερ ἀμφότερα ἀπεδείχθη μοιρῶν νζ μδ· καὶ τὸ τρίτον δὲ δηλονότι δωδεκατημόριον συγχρονίσει ταῖς λοιπαῖς εἰς τὸ τεταρτημόριον μοίραις λβ ις διὰ τὸ καὶ ὅλον τὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου τεταρτημόριον ὅλῳ τῷ τοῦ ἰσημερινοῦ συγχρονίζειν ὡς πρὸς τοὺς διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γραφομένους κύκλους.

τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῇ προκειμένῃ δείξει κατακολουθοῦντες ἐπελογισάμεθα καὶ τὰς ἑκάστῃ δεκαμοιρίᾳ τοῦ λοξοῦ κύκλου συγχρονούσας περιφερείας τοῦ ἰσημερινοῦ διὰ τὸ τὰς ἔτι τούτων μικρομερεστέρας μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρειν τῶν πρὸς ὁμαλὴν παραύξησιν ὑπεροχῶν. ἐκθησόμεθα οὖν καὶ ταύτας, ἵνα κατὰ τὸ πρόχειρον ἔχωμεν, ἐν ὅσοις χρόνοις αὐτῶν [*](2. ἐστίν] -ν del. C2. κ] D, supra scr. A1, in ras B3. β C. 5. τῶν — 6, Θ Ε] D, om. A, mg. BC. 5. ἐστιν] ἔσται D. 6. ἄρα] D, ἐκ BC. 8. δέδεικται] corr. ex δέ- δεκται C2. τό] supra scr. C2. 10. τοῖς] om. D. 11. δέ] om. BC. 14. συγχρονίσει] BC, συνχρονίσει A, συνχρονήσει A3, συγχρονήσει mut. in συγχρονιεῖ λοιπαῖς] λειπούσαις corr. ex λιπούσαις D. 15 τοῦ] corr. ex τὸ C2. 16. συγχρονεῖν BC.) [*](19. δεκαμοιρίᾳ] corr. ex δεκατημορίᾳ D3. 22. πρός] corr. ex πρὸ| ς D3. 24. προχείροτον D, προχειρότατον D3.)

ἡ μὲν οὖν πρώτη περιέχει χρόνους θ ι, ἡ δὲ δευτέρα χρόνους θ ιε, ἡ δὲ τρίτη χρόνους θ κε, ὥστε τοὺς ἐπὶ τὸ αὐτὸ τοῦ α΄ δωδεκατημορίου συνάγεσθαι χρόνους κζ ν· ἡ δὲ τετάρτη χρόνους θ μ, ἡ δὲ πέμπτη χρόνους θ νη, ἡ δὲ ἕκτη χρόνους ι ις, ὥστε καὶ τοῦ δευτέρου δωδεκατημορίου τοὺς κθ νδ χρόνους συνάγεσθαι· ἡ δὲ ἑβδόμη χρόνους ι λδ, ἡ δὲ ὀγδόη χρόνους ι μζ, ἡ δὲ ἐνάτη χρόνους ι νε, ὡς πάλιν συνάγεσθαι καὶ τοῦ μὲν τρίτου καὶ πρὸς τοῖς τροπικοῖς σημείοις δωδεκατημορίου τοὺς λβ ις χρόνους, ὅλου δὲ τοῦ τεταρτημορίου τοὺς ?? συμφώνως.

καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν, ὅτι καὶ ἡ τῶν λοιπῶν τεταρτημορίων τάξις ἡ αὐτὴ τυγχάνει οὖσα, πάντων καθʼ ἕκαστον τῶν αὐτῶν συμβαινόντων διὰ τὸ τὴν σφαῖραν ὀρθὴν ὑποκεῖσθαι, τουτέστιν τὸν ἰσημερινὸν ἀνέγκλιτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα.