Harmonics

Aristoxenus

The Harmonics of Aristoxenus, Macran, Oxford, 1902

ὁδοὶ ἔσονται ἀπὸ τοῦ διτόνου ἐπὶ τὸ ὀξύ. ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ μία· δέδεικται γάρ, ὅτι οὔτε δίτονον πρὸς διτόνῳ τεθήσεται οὔτε τόνος ἐκὶ τὸ βαρὺ διτόνου, ὥστε λείπεται τὸ πυκνόν. φανερὸν δὴ ὅτι ἀπὸ διτόνου ἐπὶ μὲν τὸ ὀξὺ δύο ὁδοί, ἡ μὲν ἐπὶ τὸν τόνον ἡ δʼ ἐκὶ τὸ πυκνόν, ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ μία, ἡ ἐπὶ τὸ πυκνόν.

Ἀπὸ πυκνοῦ δʼ ἐναντίως ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ δύο ὁδοί, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ μία. Δέδεικται γὰρ ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ τὸ βαρὺ δίτονον τεθειμένον καὶ τόνος· τρίτη δʼ οὐκ ἔσται ὁδός, λείπεται μὲν γὰρ τῶν ἀσυνθέτων τὸ πυκνόν, δύα δὲ πυκνὰ ἑξῆς οὐ τίθεται, ὥστε δῆλον ὅτι μόναι δύο ὁδοὶ ἔσονται ἀπὸ [*](Ι διατόνου M V B S τόνου Meibom: τόνῳ codd. 2 συμβήσεται Marquard : συμπσεῖται codd. 3 συμφωψνεῖν in marg. add. B τῶν ἑξῆς post πέμπτους add. 5 prius ἢ] ἤτοι H διὰ τεσσάρων ex διὰ τετάρτου Mc: διὰ τετάρτου V S B 6 Ἀπὸ . . . δύο seclusi μὲν] οὐ μὲν S δύο ὁδοὶ ex δύο δ᾿  oἱ Mc: δύο δʼ οἱ V S B καὶ in marg. Mc καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ . . . μία δʼ om, V S B 7 ἀκὸ δὲ τοῦ διτόνου . . , ἐπὶ τὸ βαρύ in marg. Mc 8 διὸ ante δέδεικται add. Vb S B γὰρ add. Mc: om. V S B τεθειμένον] τέθηται R : τιβέμενον H 10 ἐπὶ . . . μόνον supra lin. in marg. superiori add. Mc: om. V B S I I δίτονον (post ι litt. α eras.) M : διάπονον V B S 13 αἱ ante ὁδοὶ add. H 14 ὅτι οὔτε] ὅτι οὐδὲν H : ὅτι οὐδὲ M V B S 15 φανερὸν δή Marquard : εὗρον δὲ codd. 17 μίαν M V B S 19 πυκνοῦ ex ὀξὺ Mc: ὀξὺ V B S 20 τιθέμενον H 22 οὐ τίθεται . . . βαρύ. ἐπὶ om. R δύο post ὁδοὶ ponit S ὁδοὶ post ἔσονται ponit H)

158
πυκνοῦ ἐπὶ τὸ βαρύ. ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ μία ἡ ἐπὶ τὸ δίτονον· οὔτε γὰρ πυκνὸν πρὸς πυκνῷ τίθεται οὔτε τόνος ἐπὶ τὸ ὀξὺ πυκνοῦ, ὥστε λείπεται τὸ δίτονον. Φανερὸν δὴ ὅτι ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ δύο ὁδοί, ἥ τε ἐπὶ τὸν τόνον καὶ ἡ ἐπὶ τὸ δίτονον, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ μία, ἡ ἐπὶ τὸ δίτονον.

Ἀπὸ δὲ τόνου μία ἐφʼ ἑκάτερα ὁδός, ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ ἐπὶ τὸ δίτονον ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ πυκνόν. Ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ δέδεικται ὅτι οὔτε τόνος τίθεται οὔτε πυκνόν, ὥστε λείπεται τὸ δίτονον· ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ δέδεικται ὅτι οὔτε τόνος τίθεται οὔτε δίτονον, ὥστε λείπεται τὸ πυκνόν. Φανερὸν δὴ ὅτι ἀπὸ τόνου μία ἐφʼ ἑκάτερα ὁδός, ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ

ἐπὶ τὸ δίτονον, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ πυκνόν.

Ὁμοίως δʼ ἕξει καὶ ἐπὶ τῶν χρωμάτων πλὴν τό γε μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα μεταλαμβάνεται ἀντὶ διτόνου τὸ |γιγνόμενον καθʼ ἑκάστην χρόαν κατὰ τὸ τοῦ πυκνοῦ μέγεθος. Ὁμοίως δʼ ἕξει καὶ ἐπὶ τῶν διατόνων· ἀπὸ γὰρ τοῦ κοινοῦ τόνου τῶν γενῶν μία ἔσται ἐφʼ ἑκάτερα ὀδός, ἐπὶ μὲν τὸ βαρὺ ἐπὶ τὸ μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα ὅ τι ἂν ποτε τυγχάνῃ ὂν καθʼ ἑκάστην χρόαν τῶν διατόνων, ἐπὶ δὲ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ παραμέσης καὶ τρίτης.

Ἤδη δέ τισι καὶ τοῦτο τὸ πρόβλημα παρέσχε πλάνην θαυμάζουσι γὰρ πῶς οὐχὶ τοὐναντίον συμβαίνει· ἄπειροι γάρ τινες αὐτοῖς φαίνονται εἶναι ὁδοὶ ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ τόνου, ἐπειδήπερ τοῦ τε μέσης καὶ λιχανοῦ διαστήματος ἄπειρα [*](Ι τὸ ὀξὺ] τοῦ ὀξὺ S ἡ restituit Westphal δὲ ante τὸ δίτονον add. R 2 ὅτε τόνος in marg. B 3 δὴ Marquard : δὲ codd. 4—6 πυκνοῦ . . . ἀπὸ δὲ om. H 4 τὸν restituit Marquard 5 ἡ om. B ἐκὶ δὲ δίτονον R ἐπὶ δὲ . . . δίτονον in marg. add. Mc Vb (nisi quod ἡ om. Mc) ἡ om. R 6 ἀπὸ δὲ τόνου μία add. in marg. Mc Vb: om. V S 7—12 ἐκὶ μὲν . . . πυκνόν om. H 8 πυκνόν] δίτονον R 10 τίθεται om. R post τίθεται 10 litt. eras. M λέλειπται R 11 δὴ] δὲ M V S B 14 διτόνου] δὲ πόνου R 15 κατὰ R : καὶ rell. 18 τὸ supra lin. add. Mc: om. V S B μέσης καὶ om. R καὶ supra lin. add. Mc: om. V B S 19 τυγχάνει B S διτόνων B 20 διάστημα post τρίτης add. H 24 τε om. S)

159
μεγέθη φαίνονται εἶναι τοῦ τε πυκνοῦ ὡσαύτως. Πρὸς δὴ ταῦτα πρῶτον μὲν τοῦτʼ ἐλέχθη, ὅτι οὐδὲν μᾶλλον ἐπὶ τούτου τοῦ προβλήματος ἐπιβλέψειεν ἂν τις τοῦτο ἢ ἐπὶ τῶν προτέρων. δῆλον γὰρ ὅτι καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ πυκνοῦ τὴν ἑτέ| ραν τῶν ὁδῶν ἄπειρα μεγέθη συμβήσεται λαμβάνειν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ διτόνου δʼ ὡσαύτως ὡς τό τε γὰρ τοιοῦτον διάστημα οἷον τὸ μέσης καὶ λιχανοῦ ἄπειρα λαμβάνει μεγέθη τό τε τοιοῦτον οἷον τὸ πυκνὸν ταὐτὸ πάσχει πάθος τῷ ἔμπροσθεν εἰρημένῳ διαστήματι, ἀλλʼ ὅμως οὐδὲν ἧττον ἀπό τε τοῦ πυκνοῦ δύο γίγνονται ὀδοὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ ἀπὸ τοῦ διτόνου ἐπὶ τὸ ὀξύ, ὡσαύτως δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ τόνου μία γίγνεται ἐφʼ ἑκάτερα ὁδός. Καθʼ ἑκάστην γὰρ χρόαν ἐφ’

ἑκάστου γένους ληπτέον ἐστὶ τὰς ὁδούς-δεῖ γὰρ ἕκαστον τῶν ἐν τῇ μουσικῇ καθʼ ὃ πεπέρασται κατὰ τοῦτο τιθέναι τε καὶ τάττειν εἰς τὰς ἐπιστήμας, ᾗ δʼ ἄπειρόν ἐστιω ἐᾶν. κατὰ μὲν οὖν τὰ μεγέθη τῶν διστημάτων καὶ τὰς τῶν φθόγγων τάσεις ἄπειρά πως φαίνεται εἶναι τὰ περὶ μέλος, κατὰ δὲ τὰς δυνάμεις καὶ κατὰ τὰ εἴδη καὶ κατὰ τὰς θέσεις πεπερασμένα τε καὶ τεταγμένα. Εὐθέως οὖν ἀπὸ τοῦ πυκνοῦ αἱ ὁδοὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ τῇ τε δυνάμει καὶ τοῖς εἴδεσιν· ὡρισμέναι τʼ εἰσὶ καὶ δύο μόνον τὸν ἀριθμόν, ἡ μὲν γὰρ κατὰ τόνον εἰς διάζευξιν ἄγει τὸ τοῦ συστήματος εἶδος, ἡ δὲ κατὰ θάτερον διάστημα, ὅ τι δήποτʼ ἔχει μέγεθος, εἰς συναφήν. δῆλον δʼ ἐκ τούτων ὅτι καὶ ἀπὸ τοῦ τόνου μία τʼ ἔσται ἐφʼ ἑκάτερα ὁδὸς καὶ ἑνὸς εἴδους συστήματος αἰτίαι αἱ συναμφότεραι ὁδοί, τῆς διαζεύξεως. Ὅτι δʼ ἄν [*](2 ἐλέχθη] ante χ litt. γ ersa. M : ἐλέγχθη V B 6 δʼ del. Marquard ὡς del. Meibom 7 λαμβάνειν μεγέθει H 8 ταὐτὸ in marg. B, R : αὐτὸ rell. 10 τε Marquard : δὲ codd. 11 τοῦ om. H 12 γίνεται (ινε in ras.) M 13 δεῖ γὰρ ἕκαστον Meibom διὰ γὰρ ἑκάστου codd. 14 ante καθʼ ras. Μ κεπέρασται (πε in ras., fuisse vid. καθάπερ πέρασται) Μ : πεπέραται R : κεπερᾶσβαι H 15 τε Marquard : γε codd. ᾗ conieci : εἰ codd. 20 αἱ ὁδοὶ Μarquard: ὁδοὶ αἱ codd. 21 μόνον Meibom : τόνοι codd. γὰρ om. S 25 τ᾿ ] τις R 26 συναμφότεραι(οι supracr.) Η : συναμφότεροι M VB S)

160
τις μὴ κατὰ μίαν χρόαν ἑνὸς γένους ἐπιχειρῇ τὰς ἀπὸ τῶν διαστημάτων ὁδοὺς ἐπισκο| πεῖν ἀλλʼ ἅμα κατὰ πάσας ἁπάντων τῶν γενῶν εἰς ἀπειρίαν ἐμπεσεῖται, φανερὸν ἔκ τε τῶν εἰρημένων καὶ ἐξ αὐτοῦ τοῦ πράγματος.

Ἐν χρώματι δὲ καὶ ἁρμονίᾳ πᾶς | φθόγγος πυκνοῦ μετέχει. Πᾶς μὲν γὰρ φθόγγος ἐν τοῖς εἰρημένοις γένεσιν ἤτοι πυκνοῦ ζμέρος ὁρίζει ἢ τόνον ἤ τι τοιοῦτον οἷον τὸ

μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα. oἱ μὲν οὖν τὰ τοῦ πυκνοῦ μέρη ὁρίζοντες οὐδὲν δέονται λόγου, φανεροὶ γάρ εἰσι πυκνοῦ μετέχοντες· οἱ δὲ τὸν τόνον περιέχοντες ἐδείχθησαν ἔμπροσθεν πυκνοῦ βαρύτατοι ὄντες ἀμφότεροι· τῶν δὲ τὸ λοιπὸν διάστημα περιεχόντων ὁ μὲν βαρύτερος ὀξύτατος ἐδείχθη πυκνοῦ ὁ δʼ ὀξύτερος βαρύτατος. Ὥστ’ ἐπειδὴ τοσαῦτα μέν ἐστι μόνα τὰ ἀσύν| θετα, ἕκαστον δʼ αὐτῶν ὑπὸ τοιούτων φθόγγων περιέχεται ὧν ἑκάτερος πυκνοῦ μετέχει, δῆλον ὅτι πᾶς φθόγγος ἐν ἁρμονίᾳ καὶ χρώματι πυκνοῦ μετέχει. |

Ὅτι δὲ τῶν ἐν πυκνῷ κειμένων φθόγγων τρεῖς εἰσι χῶραι, ῥᾴδιον συνιδεῖν, ἐπειδήπερ πρὸς πυκνῷ οὔτε πυκνὸν τίθεται οὔτε πυκνοῦ μέρος. δῆλον γὰρ ὅτι διὰ ταύτην τὴν αἰτίαν οὐκ ἔσονται | πλείους τῶν εἰρημένων χῶραι φθόγγων.

Ὅτι δὲ ἀπὸ μόνου τοῦ βαρυτάτου δύο ὁδοί εἰσιν ἐφʼ ἑκάτερα, ἀπὸ δὲ τῶν λοιπῶν μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα, δεικτέον. ἦν δὲ δεδειγμένον ἐν τοῖς ἔμπροσθεν, ὅτι | ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ τὸ βαρὺ δύο ὁδοί εἰσιν, ἡ μὲν ἐπὶ τὸν τόνον ἡ δʼ ἐπὶ τὸ [*](1 ἐπιχειρῇ ex ἐπιχειρεῖ Mc (?) : ἐπιχειρεῖ rell. 7 πυκνοῦ μέρος] πυκνούμενος V S in marg. B ἤ τι] ἤτοι R 9 ὁρίζοντες Marquard: διορίζοντες codd. δέονται post λόγου ponit H 10 τόνον] τόπον R 11 τοῦ ante πυκνοῦ add. R 12 τὸ supra lin. add. Mc: om. V B S λοιπῶν S βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. ὀξύτατος in marg. add. B 13 ὁ δ᾿  add. Mc: om. V B S ὀξύτερος Marquard : ὀξύτατος codd. 14 ἀσύνθετα R : σύνθετα rell. 15 ὧν] πῶν B μετέχεις S, B (sed μετέχει in marg.) 16 δῆλον . . . μετέχει in marg. Mc Vb 20 γὰρ om. H 21 χῶραι post φθόγγων ponit H 24 δὲ supra lin. add. Mc : om. V B S ἀπὸ . . . δὲ τὸ restituit Marquard)

161
δίτονον. ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ πυκνοῦ δύο ὁδοὺς εἶναι τὸ αὐτὸ τῷ ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου τῶν ἐν τῷ πυκνῷ κειμένων δύο ὁδοὺς ἐπὶ τὸ βαρὺ εἶναι, οὗτος γάρ ἐστιν ὁ περαίνων τὸ πυκνόν· ἐδέδεικτο οὖν ὅτι ἀπὸ διτόνου ἐπὶ τὸ ὀξὺ δύο ὁδοί εἰσιν, ἡ μὲν ἐπὶ τὸν τόνον ἡ δʼ ἐπὶ τὸ πυκνόν· ἔστι δὲ τὸ ἀπὸ διτόνου δύο ὁδοὺς εἶναι τὸ αὐτὸ τῷ ἀπὸ τοῦ ὀξυτέρου τῶν τὸ δίτονον ὁριζόντων δύο ὁδοὺς ἐπὶ τὸ ὀξὺ εἶναι, οὗτος γάρ ἐστιν ὁ ὁρίζων τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ ὀξύ. δῆλον δʼ ὅτι

ὁ αὐτὸς τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ ὀξὺ ὁρίζων καὶ ὁ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ βαρὺ βαρύτατος ὢν πυκνοῦ, ἐδέδεικτο γὰρ καὶ τοῦτο. ὥστʼ εἶναι δῆλον, ὅτι ἀπὸ τοῦ εἰρημένου φθόγγου δύο ὁδοὶ ἐφʼ ἑκάτερα ἔσονται.

Ὅτι δʼ ἀπὸ τοῦ ὀξυτάτου μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα, δεικτέον. Ἐδέδεικτο δʼ ὅτι ἀπὸ πυκνοῦ ἐπὶ τὸ ὀξὺ μία ὁδός ἐστιν, οὐδὲν δὲ διαφέρει λέγειν ἀπὸ πυκνοῦ μίαν ὁδὸν εἶναι ἐπὶ τὸ ὀξὺ ἢ ἀπὸ τοῦ περαίνοντος αὐτὸ φθόγγου διὰ τὴν εἰρημένην αἰτίαν ἐπὶ τῶν ἔμπροσθεν. δέδεικται δʼ ὅτι καὶ ἀπὸ διτόνου μία ὁδός ἐστιν ἐπὶ τὸ βαρύ, οὐδὲν δὲ διαφέρει λέγειν ἀπὸ διτόνου μίαν ὁδὸν εἶναι ἐπὶ τὸ βαρὺ ἢ ἀπὸ τοῦ ὁρίζοντος αὐτὸ φθόγγου διὰ τὴν προειρημένην αἰτίαν· δῆλον δὲ ὅτι καὶ ὁ αὐτός ἐστι φθόγγος ὅ τε τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ βαρὺ ὁρίζων καὶ ὁ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ ὀξύτατος ὢν πυ| κνοῦ. Ὥστ’ εἶναι φανερὸν ἐκ τούτων, ὅτι μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται ἐπὶ τοῦ εἰρημένου φθόγγου.

Ὅτι δὲ καὶ ἀπὸ τοῦ μέσου μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται, [*](1 ἐπὶ τὸ Bαρὺ post ὁδοὺς add. H 2 βαρυτάτου τῶν ex βαρὺ πούτων Mc : βαρὺ τούτων V S B 3 ὁ περαίνων (αί in ras., fuisse vid. ε et supra lin. ras.) M : ὅπερ ἑνῶν V S, B (sed αίνων in marg.) 4 ἐδεδείκνειτο B, sed in marg. ἐδέδεικτο δύο post ὁδοὶ ponit B 5 τὸ ἀπὸ R : τὰ ἀπὸ rell. 6 διτόνου Meibom : τόνου codd. τοῦ om. R 7 οὗτος] υτ in ras. Ma 8 ἐπὶ . . . βαρὺ restituit Marquard 10 καὶ supra lin. add. corr. B 15 τοῦ ante πυκνοῦ add. 19 τοῦ ante διτόνου add. R 21 ὁ αὐτός] ὁ om. M V S B τε] τι R 22 ὁ om. M V B R 24 ἐπὶ seclusi: δεικτέον ἐπὶ eras. S: ἀπὸ Marquard ἐπὶ . . . ἔσται om. R)

162
δεικτέον. Ἐπεὶ τοίνυν ἀναγκαῖον μὲν τῶν τριῶν ἀσυνθέτων ἕν τι πρὸς τῷ εἰρημένῳ φθόγγῳ τίθεσθαι, ὑπάρχει δὲ αὐτοῦ κειμένη δίεσις ἐφʼ ἑκάτερα, δῆλον ὅτι οὔτε δίτονον τεθήσεται πρὸς αὐτῷ κατʼ οὐδέτερον τῶν τόπων |οὔτε τόνος. διτόνου γὰρ οὕτω τιθεμένου ἤτοι βαρύτατος πυκνοῦ ἢ ὀξύτατος πεσεῖται ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν τῷ εἰρημένῳ φθόγγῳ μέσῳ ὄντι πυκνοῦ, ὥστε γίγνεσθαι τρεῖς διέσεις ἑξῆς

ὁποτέρως ἂν τεθῇ τὸ δίτονον τῶν τόπων· τόνου δὲ τεθειμένου τὸ αὐτὸ συμβήσεται, βαρύτατος γὰρ πυκνοῦ πεσεῖται ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν μέσῳ πυκνοῦ, ὥστε τρεῖς δι| έσεις ἑξῆς τίθεσθαι. τούτων δʼ ἐκμελῶν ὄντων δῆλον ὅτι μία ὁδὸς ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται ἀπὸ τοῦ εἰρημένου φθόγγου. Ὅτι μὲν οὖν ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου τῶν φθόγγων τῶν ἐν πυκνῷ κειμένων δύο ἐφʼ ἑκά| τερα ἔσονται ὁδοὶ ἀπὸ δὲ τῶν λοιπῶν ἑκατέρου μία ἐφʼ ἑκάτερα ἔσται ὁδός, φανερόν.

Ὅτι δʼ οὐ τεθήσονται δύο φθόγγοι ἀνόμοιοι κατὰ τὴν τοῦ πυκνοῦ μετοχὴν ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν ἐμμελῶς, δεικτέον. Τιθέσθω γὰρ πρῶτον ὅ τʼ ὀξύτατος καὶ ὁ βαρύτατος ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν· συμβήσεται δὴ τούτου γιγνομένου δύο πυκνὰ ἑξῆς τίθεσθαι. τούτου δʼ ἐκμελοῦς ὄντος ἐκμελὲς τὸ πίπτειν ἐπὶ τὴν αὑτὴν τάσιν τοὺς κατὰ ταύτην τὴν διαφορὰν ἀνομοίους ἐν πυκνῷ φθόγγους. Δῆλον δʼ ὅτι οὐδʼ οἱ κατὰ τὴν λειπομένην διαφορὰν ἀνόμοιοι φθόγγοι [*](2 ἕν] ἔν S πρὸς restituit Meibom 4 αὐτῷ Meibom H : αὐτὸ rell. τόπων conieci : τρόπων codd. εἰρημένων ante τρόπων add. H 5 τόνος διτόνου. οὕτω γὰρ M V S B, nisi quod διατόνου (cum duobus punctis sub a) B 6 τῷ εἰρημένῳ φθόγγῳ Meibom, et μέσῳ Marquard : τῶν εἰρημένων φθόγγων μέσον codd. 8 τῶν τόπων conieci : τῷ τόπῳ codd. δὲ coniecit Meibom ἐπὶ δὲ ante τῷ, et αὐτῷ ante τόπῳ add. Marquard 10 αὐτὴν . . . ὥστε om. R μέσῳ Meibom : μέσον codd. ὥστε Marquard : ὡς codd. 11 ἑξῆς τίθεσθαι] γίνεσθαι ἑξῆς H δʼ Marquard : δὴ codd. 12 μία supra lin. add. corr. B 13 τοῦ βαρυτάτου restituit Meibom 15 ἔσται ante ἐφʼ ἑκάτερα ponit H 18 τιθέσθω . . . τὴν αὐτὴν τάσιν in marg. S ὁ (ante βαρύτατος) H : om. rell. 20 ἐκμελὲς] ἐμμελὲς M V B 21 ἐπὶ τὴν . . . ἀνομοίους addidi 23 δʼ om. B ἀνόμοιοι Marquard : ὅμοιοι codd.)

163
τῆς αὐτῆς τάσεως ἐμμελῶς κοινωνήσουσι· τρεῖς γὰρ ἀναγκαῖον τί| θεσθαι διέσεις ἑξῆς, ἐάν τε βαρύτατος ἐάν τʼ ὀξύτατος τῷ μέσῳ τῆς αὐτῆς μετάσχῃ τάσεως.

Ὅτι δὲ τὸ διάτονον σύγκειται ἤτοι ἐκ δυοῖν ἢ τριῶν ἢ τεσσάρων ἀσυν| θέτων, δεικτέον. Ὅτι μὲν οὖν ἐκ τοσούτων πλείστων ἀσυνθέτων ἕκαστον τῶν γενῶν συνεστηκός ἐστιν ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε, δέδεικται πρότερον· ἔστι δὲ ταῦ| τα

τέσσαρα τὸν ἀριθμόν. ἐὰν οὖν τῶν τεσσάρων τὰ μὲν τρία ἴσα γένηται τὸ δὲ τέταρτον ἄνισον—τοῦτο δὲ γίγνεται ἐν τῷ συντονωτάτῳ διατόνῳ —, δύο ἔσται μεγέθη μόνα ἐξ ὧν τὸ διάτονον συνεστηκὸς ἔσται· ἐὰν δὲ τὰ μὲν δύο ἴσα τὰ δὲ δύο ἄνισα τῆς παρυπάτης ἐπὶ τὸ βαρὺ κινηθείσης, τρία ἔσται μεγέθη ἐξ ὧν τὸ διάτονον γένος συνεστηκὸς ἔσται, τό τʼ ἔλαττον ἡμιτο |νίου καὶ τόνος καὶ τὸ μεῖζον τόνου· ἐὰν δὲ πάντα τὰ τοῦ διὰ πέντε μεγέθη ἄνισα γένηται, τέσσαρα ἔσται μεγέθη ἐξ ὧν τὸ εἰρημένον γένος ἔσται συνεστηκός. Ὥστ’ εἶναι φανερὸν ὅτι τὸ διάτονον | ἤτοι ἐκ δυοῖν ἢ τριῶν ἢ τεσσάρων ἀσυνθέτων σύγκειται.

Ὅτι δὲ τὸ χρῶμα καὶ ἡ ἁρμονία ἤτοι ἐκ τριῶν ἢ ἐκ τεσσάρων σύγκειται, δεικτέον. Ὄντων δὲ τῶν μὲν τοῦ διὰ πέντε ἀσυν| θέτων τεσσάρων τὸν ἀριθμὸν ἐὰν μὲν τὰ τοῦ πυκνοῦ μέρη ἴσα ᾖ, τρία ἔσται μεγέθη ἐξ ὧν τὰ εἰρημένα γένη συνεστηκότα ἔσται, τό τε τοῦ πυκνοῦ μέρος ὅ τι ἂν ᾖ καὶ τόνος καὶ τὸ τοιοῦτον οἷον μέσης καὶ λιχανοῦ διάστημα. ἐὰν δὲ τὰ τοῦ πυκνοῦ μέρη ἄνισα ᾖ, τέσσαρα [*](Ι κοινήσουσι B 3 τάσεως in marg. B: στάσεως rell. 4 ἤτοι] ἢ τὸ H δυοῖν ἢ τριῶν Meibom : τριῶν ἢ δυοῖν codd. 5 ἀσύνθετον M V B S 6 ἀσύνθετον H 7 ὅσα restituit Meibom 9 τὸ δὲ τέταρτον ἄνισον —τοῦτο δὲ γίγνεται Marquard : τὸ δὲ ἶσον γένηται codd. (nisi quod γένηται om. H) 10 διατόνῳ om. R 14 ἡμιτόνιον M V B S 16 μεγέθει H ἐξ ὧν restituit Meursius 18 δυοῖν Marquard : δύο codd. 19 τὸ restituit Marquard ἐκ ante τεσσάρων om. V B S 20 δὲ] μὲν oὖν H ταῦ restituit Marquard 21 τὸν corr. ex τω S 22, 23 μέρη . . . πυκνοῦ om. R 22 ᾖ] ἢ B 23 συνεστηκότα Meibom : συνεστηκός codd. μέρους M V B S 24 τὸ ante τόνος add. V S)

164
ἔσται μεγέθη ἐξ ὧν τὰ εἰρημένα γένη συνεστηκότα ἔσται, ἐλάχιστον μὲν τὸ τοιοῦτον οἷον τὸ ὑπάτης καὶ παρυπάτης, δεύτερον δʼ οἷον τὸ παρυπάτης καὶ λιχανοῦ, τρίτον δὲ τό| νος, τέταρτον δὲ τὸ τοιοῦτον οἷον τὸ μέσης καὶ λιχανοῦ.

Ἤδη δέ τις ἠπόρησε διὰ τί οὐκ ἂν καὶ ταῦτα τὰ γένη

ἐκ δύο ἀσυνθέτων εἴη συνεστηκότα ὥσπερ καὶ τὸ διάτονον. Φανερὸν δὴ τίς ἐστι παντελῶς καὶ ἐπιπολῆς ἡ αἰτία τοῦ μὴ γίγνεσθαι τοῦτο· τρία γὰρ ἀσύνθετα ἴσα ἑξῆς ἐν ἁρμο| νίᾳ μὲν καὶ χρώματι οὐ τίθεται, ἐν διατόνῳ δὲ τίθεται. διὰ ταύτην δὴ τὴν αἰτίαν τὸ διάτονον μόνον ἐκ δύο ἀσυνθέτων συντίθεταί ποτε.

Μετὰ δὲ ταῦτα λεκτέον τί ἐστι καὶ ποία τις ἡ κατʼ εἶδος διαφορά—διαφέρει δʼ ἡμῖν οὐδὲν εἶδος λέγειν ἢ σχῆμα, φέρομεν γὰρ ἀμφότερα τὰ ὀνόματα ταῦτα ἐπὶ τὸ αὐτό. Γίγνεται δʼ ὅταν τοῦ αὐτοῦ μεγέθους ἐκ τῶν αὐτῶν ἀ| συνθέτων συγκειμένου μεγέθει καὶ ἀριθμῷ ἡ τάξις αὐτῶν ἀλλοίωσιν λάβῃ. Τούτου δʼ οὕτως ἀφωρισμένου τοῦ διὰ τεσσάρων ὅτι τρία εἴδη, δεικτέον. πρῶτον μὲν οὖν οὗ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ βαρύ, δεύτερον δʼ οὗ δίεσις ἐφʼ ἑκάτερα τοῦ διτόνου κεῖται, τρίτον δʼ οὗ τὸ πυκνὸν ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῦ διτόνου. ὅτι δʼ οὐκ ἐνδέχεται πλεοναχῶς τεθῆναι τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη πρὸς ἄλληλα ἢ τοσαυταχῶς, ῥᾴδιον συνιδεῖν---.

[*](Ι ἔσται om. H συνεστηκὸς M R 7 δὴ] δʼ εἰ S ἐπὶ πολλῆς V B S R 8 verba ἐν ἁρμονίᾳ et quae sequuntur omnia in marg. add. Mc: in V scripta sunt a Vb vel manu diversa a Va, paullo iuniore ἐναρμόνια S 9 οὐ ante τίθεται prius om , et οὐ ante τίθεται alterum add. H 9—11 διὰ . . . ποτε om. H 10 τὸ διάτονον om. R μόνον ἐκ δύο Marquard : ἐκ δύο μόνων codd. 12 τί M B R : τίς V S ἐστι om. V 13 ἡμῖν post οὐδὲν ponit H 15 ἀσυνθέτων ex ἀσυνθέτου corr, V: ἀσυνθέτου S 16 συγκειμένου H S : συγκειμένων M R, V (ex συγκειμένου corr.) καὶ ante μεγέθει add. M V B S H 17 ἀλύωσιν B ἀλλοίωσιν post λάβῃ ponit H τοῦ δʼ οὕτως, sed του et οὕ in ras. corr. V ἀφορισμένον H : ἀφορισμένου B 18 εἴδη] ἤδη B οὗ] οὐ S 19 οὗ] οὐ S 20 οὗ] οὐ S 22 τεσσάρων] τετάρτου V B)