Ἁρμονικὰ στοιχεῖα

διάζευξιν. δεῖ δʼ ἕτερον πὅτερον τούτων ὑπάρχειν· τοῖς φθόγγοις, ὥστε καὶ τοῖς ἑξῆς τετράχόρδοις ἀναγκαῖον ἕτερον τῶν εἰρημένων ὑπάρ| χειν.

Ἤδη δέ τις ἠπόρησε τῶν ἀκουόντων περὶ τοῦ ἑξῆς· πρῶτον μὲν καθόλου τί ποτʼ ἐστὶ τὸ ἑξῆς, ἔπειτα πότερον κατὰ ἕνα μόνον γίγνεται τρόπον ἢ κατὰ πλείους, τρί| τον δʼ εἰ ἴσως ἀμφότερα ταῦτʼ ἐστὶν ἑξῆς τά τε συνημμένα καὶ τὰ διεζευγμένα. Πρὸς δὴ ταῦτα τοιοῦτοί τινες ἐλέγοντο λόγοι· καθόλου ταῦτα εἶναι συστήματα συνεχῆ ὧν οἱ ὅροι ἤτοι ἑξῆς [*](2—4 ὅταν . . . ὅταν δύο] erat ὅ τε, τʼ ἂν supra lin. add., τε cerr. in δύο, et τε inscr., reliqua in marg. Mc: om. V B, R (sed ‘postea alieno loco interponuntur᾿  v. Herwerden) 2—5 ὅτε pro ὅταν δύο leg., ἑξῆς . . . σχῆμα om. S 5 πότερον om. H 7 τέταρτοι B: δ rell. συμφώνων ὄντες H 9 δεῖ Meibom : τί codd. 12 τάδε post ἑξῆς add. H 14 μόνον Mc (supra lin.), R Η: ὅμον M B S τρόπον] τρόπ e corr. V κατὰ om. H δʼ εἰ Marquard : δὲ codd. 16 δὴ H : δὲ rell. τοιοῦτόν B 17 συστήματα ex συστήμα Mb)

ἤτοι ἁπλῶς μηδὲν εἶ| ναι ἀνὰ μέσον τετράχορδον ἢ μὴ ἀνόμοιον. τῶν μὲν οὖν ὁμοίων κατʼ εἶδος τετραχόρδων οὐ τίθεται ἀνόμοιον ἀνὰ μέσον τετράχορδον, τῶν δʼ ἀνομοίων μὲν ἑξῆς δʼ οὐδὲν τίθεσθαι δυνατὸν ἀνὰ μέσον τετράχορδον. Ἐκ δὲ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὅτι τὰ ὅμοια κατʼ εἶδος τετράχορδα κατὰ δύο τρόπους τοὺς εἰρημένους ἑξῆς ἀλλήλων τεθήσεται.|

Ἀσύνθετον δʼ ἐστὶ διάστημα τὸ ὑπὸ τῶν ἑξῆς φθόγγων περιεχόμενον. εἰ γὰρ ἑξῆς οἱ περιέχοντες, οὐδεὶς ἐκλιμπάνει, μὴ ἐκλιμπάνων δʼ οὐκ ἐμπεσεῖται, μὴ ἐμπίπτων δʼ οὐ διαιρήσει, ὃ δὲ μὴ διαίρεσιν ἔχει οὐδὲ σύνθεσιν ἕξει· πᾶν γὰρ [*](Ι εἰσὶν in ras. Ma: om. V Β S ἐπαλλάττουσιν ex ἐπελαττοῦσιν Mb (ut vid.) 2 καθʼ . . . ὅρος restituit Meibom 3 ὀξύτερον B 4 ὀξυτέρου om. B 6 τρόπων Marquard : ὁρῶν B : ὅρων rell. κοινωνοῦσιν H 7 ὅμοιά Meibom: ἀνόμοια  codd. ἐστιν om. H ΙΙ ante ὅμοια 2 litt. eras. M τοιαῦτα Marquard : ταῦτα codd. συμβαίνει B 13 ἢ] ἤτοι H 15 ἢ μὴ Meibom: εἰ μὴ εἰ μὴ B: εἰ μὴ rell. 16 ἀνόμοιον Meibom : ὅμοιον codd. 17 τίθεσθαι H ἀνόμοιον Meibom : ὅμοιον codd. 17 τῶν δʼ . . . τετράχορδον om. R 18 τίθεσθαι ex τίθεται Mc: τίθεται rell. 19 δὲ]  δὴ H 22 διαστήματα R 25 διαίρεσιν ex διαίρησιν vel vice versa M ἕξει] ἕξ B)

τοῖς μεγέθεσι τῶν διαστημάτων εἶναι τὸ ἀσύνθετον ἀλλʼ ἐν τοῖς περιέχουσι φθόγγοις.|

Ἐν δὲ ταῖς τῶν γενῶν διαφοραῖς τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη μόνα κινεῖται, τὸ δʼ ἴδιον τῆς διαζεύξεως ἀκίνητόν ἔστιν. πᾶν μὲν γὰρ διῄρητο τὸ ἡρμοσμένον εἰς συναφήν τε καὶ διάζευξευξιν, ὅ γε συνέστηκεν ἐκ πλειόνων ἢ ἑνὸς τετραχόρδου. Ἀλλʼ ἡ μὲν συναφὴ ἐκ τῶν τοῦ διὰ τεσσάρων μερῶν μόνων ἀσυνθέτων σύγκειται, ὥστʼ ἐξ ἀνάγκης ἔν γε ταύτῃ τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μόνα μέρη κινηθήσεται· ἡ δὲ διάζευξις διον ἔχει παρὰ ταῦτα τὸν τόνον. ἐὰν οὖν δειχθῇ τὸ ἴδιον [*](1 post καὶ ras. M 2 ἀδιαίρετον V S δὲ Marquard : δὴ codd. 4 πώποτε H ἀσύνθετ ον Ma, sed ον supra θετ et acc. et spir. add. Me ὅ γʼ conieci: om. V S B : ἂν rell. 5 πῶς post πάλιν ponit H πάλιν] ιν ras. in Mc: πάλαι V S 6 ἐστὶν post δυνατὸν ponit H δὲ Marquard : δὴ S: δὲ δὴ rell. 12 ὁρίζουσι B 13 post σύνθετον in unc. quad. ἀλλʼ ἐν τοῖς περιέχουσι φθόγγοις S 17 τὸ δʼ . . . ἐστιν seclusi 19 dicit Merquard ‘ post una Iitt. eras. quae ν fuisse vid. M᾿  : sed ego quidem γε fuisse suspicor. Quod si legitur, tum certe verborum translatione nulla opus est: neque, si omittitur, ordinem librorum mutare velim verba . . . τετραχόρδου post ἡρμοσμένον ponit Meibom 20 τῶν τοῦ διὰ addidit Westphal 21 μόνον H ἀσυνθέτων seclusi 23 ἔχει Meibom: ἔχοι codd. παρὰ ταῦτα] παρὰ post ταῦτα eras. et supra lin. add. Mc ταῦτα παρὰ V B S τὸ supra lin. add. Mb (?))

Ἐν ἑκάστῳ δὲ γένει τοσαῦτά ἐστιν ἀσύνθετατὰ πλεῖστα ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε. Πᾶν μὲν γὰρ γένος ἤτοι ἐν συναφῇ μελῳδεῖται ἢ ἐν διαζεύξει, καθάπερ ἔμπροσθεν εἴρηται. δέδεικται δʼ ἡ μὲν συναφὴ ἐκ τῶν τοῦ διὰ τεσσάρων μερῶν μόνων συγκειμένη, ἡ δὲ διάζευξις ἓν προστιθεῖσα τὸ ἴδιον διάστημα, τοῦτο δʼ ἐστὶν ὁ τόνος· προστεθέντος δὲ | τοῦ τόνου πρὸς τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη τὸ διὰ πέντε συμπληροῦται. Ὥστ’ εἶναι φανερὸν ὅτι, ἐπειδήπερ οὐδὲν τῶν γενῶν ἐνδέχεται κατὰ μίαν χρόαν λαμβανόμενον ἐκ πλειόνων ἀσυνθέτων συντε| θῆναι τῶν ἐν τῷ διὰ πέντε ὄντων, δῆλον [*](2 τοῖς om. V B S 3 τὸν restituit Marquard 4 τόνων B R 5 περιεχόντων post βαρύτερον ponit H ὁμοίως δʼ et καὶ seclusit, et δʼ addidit Westphal 7 τὸν restituit Marquard βαρύτερος . . . περιεχόντων in marg. Mc:  om. V B : τόνον περιεχόντων τὸ τὸ βαρύτερον ὀξύτερον τῶν ἐν τῇ δ. S 8 περιεχόντων post τὸ ὀξύτερον ponit H ὀξύτερον ex βαρύτερον Mb : βαρύτερον B 10—13 ὥστʼ . . . εἰρημέναις διαφοραῖς om. R 10 ὅτι supra lin. add. Mc: om. V B S 12 λείποιτʼ] εἴκοιτʼ R κινεῖται B 14 τὰ addidi 16 ἔμπροσθεν om., et πρότερον post εἴρηται add. H 18 μόνων Meibom : μόνη codd. ἓν προστιθεῖσα conieci: ἔμπροσθεν τεθεῖσα codd.: προστιθεῖσα Marquard 22 λαμβάνομεν B in marg. 23 ἐν τῶ ex ἐκ τῶν M : ἐκ τῶν V S B δῆλον ὅτι seclusit Marquard)

Ταράττειν δʼ εἴωθεν ἐνίους καὶ ἐν τούτῳ τῷ προβλήματι πῶς τὰ πλεῖστα προστίθεται καὶ διὰ τί οὐχ ἁπλῶς δείκνυται, ὅτι ἐκ τοσούτων ἀσυνθέτων ἕκαστον τῶν γενῶν συνέστηκεν ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ διὰ πέντε. Πρὸς οὓς ταῦτα λέγεται, ὅτι ἐξ ἐλαττόνων ἀσυνθέτων ἔσται ποθʼ ἕκα| στον τῶν γενῶν συγκείμενον ἐκ πλειόνων δʼ οὐδέποτε. Διὰ ταύτην δὲ τὴν αἰτίαν τοῦτο αὐτὸ πρῶτον ἀποδείκνυται, ὅτι οὐκ ἐνδέχεται ἐκ πλειόνων ἀσυνθέτων συντεθῆναι τῶν γε| νῶν ἕκαστον ἢ ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε τυγχάνει ὄντα. ὅτι δὲ καὶ ἐξ ἐλαττόνων ποτὲ συντεθήσεται ἕκαστον αὐτῶν, ἐν τοῖς ἔπειτα δείκνυται.

Πυκνὸν δὲ πρὸς πυκνῷ οὐ μελῳδεῖ|| ται οὔθʼ ὅλον οὔτε

μέρος αὐτοῦ. Συμβήσεται γὰρ μήτε τοὺς τετάρτους τῷ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν μήτε τοὺς πέμπτους τῷ διὰ πέντε· οἱ δὲ οὕτω κείμενοι τῶν φθόγγων ἐκμελεῖς ἦσαν. τῶν δὲ τὸ δίτονον περιεχόντων ὁ μὲν βαρύτερος ὀξύτατός ἐστι πυκνοῦ ὁ δʼ ὀξύτερος βαρύτατος· ἀναγκαῖον γὰρ ἐν τῇ συναφῇ τῶν πυκνῶν διὰ τεσσάρων συμ| φωνούντων ἀνὰ μέσον αὐτῶν κεῖσθαι τὸ δίτονον, ὡσαύτως δὲ καὶ τῶν διτόνων διὰ τεσσάρων συμφωνούντων ἀναγκαῖον ἐν μέσῳ κεῖσθαι τὸ [*](1 συνβετά R ὅσα ἐν τῷ om. R 3 εἴωθεν] ν postea add. M 4 πῶς in marg. Mb 5 συγκείμενόν ἐστιν ante ἕκαστον add., et συνέστηκεν om. H 7 ἔσται ποθʼ om. R : ἔσται ποθʼ ἕκαστον om, V ἐστὶ post γενῶν add. R, Mc (supra lin.) post γενῶν add. συνεστηκὸς ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ διὰ πέντε. πρὸς οὓς λέγεται ὅτι ἐξ ἐλαττόνων ἀσυνβέτων πῶν γενῶν S B Vb in marg., nisi quod συνεστηκός om. Vb, τῶν γενῶν om. Vb, τῶν om. S 10 ἢ eras. M : om. V S B H 14 τετάρτους Marquard : δʼ in marg. Mc, S : om. Va: τέσσαρας rell. τῷ] πὸ H: post τω litt. ν eras. M : τῶν V B 15 πέμπτους Μarquard : κέντε codd. τῷ add. Mc: om. V S οἱ δὲ] οὐδʼ H 16 post οὕτω litt. σ eras. M ἐκμελεῖς ex ἐμμελεῖς Mc: ἐμμελεῖς V B S 17 βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. ὀξύτατος . . . βαρύτατος om. R 18 βαρύτερος B, sed in marg. βαρύτατος 20 κεῖσθαι om., et εἶναι post δίτονον add. H τὸ] τὸν V S δὲ om. S post καὶ add. ἐν τῇ συναφῇ in marg. Mc, τῇ συναφῇ R τὸ ante διὰ τεσσάρων add. H 21 post τὸ litt. ν eras. M : τὸν V S B)

Δύο δὲ δίτονα ἑξῆς οὐ τεθήσεται. Τιθέ| σθω γάρ· ἀκολουθήσει δὴ τῷ μὲν ὀξυτέρῳ διτόνῳ πυκνὸν ἐπὶ τὸ βαρύ, ὀξύτατος γὰρ ἦν πυκνοῦ ὁ ἐπὶ τὸ βαρὺ ὁρίζων τὸ δίτονον· τῷ δὲ βαρυτέρῳ δι| τόνῳ ἐπὶ τὸ ὀξὺ ἀκολουθήσει πυκνόν, βαρύτατος γὰρ ἦν πυκνοῦ ὁ ἐπὶ τὸ ὀξὺ ὁρίζων τὸ δίτονον. Τούτου δὲ συμβαίνοντος δύο πυκνὰ ἑξῆς τεθήσεται· τούτου δὲ ἐκμελοῦς ὄντος ἐκμελὲς ἔσται καὶ τὰ δύο δίτονα ἑξῆς τίθεσθαι.

Ἐν ἁρμονίᾳ δὲ καὶ χρώματι δύο τονιαῖα ἑξῆς οὐ τεθήσεται. Τιθέσθω γὰρ ἐπὶ τὸ ὀξὺ πρῶτον· ἀναγκαῖον δὴ εἴπερ ἐστὶν [*](1 ἐναλλὰξ] acc. add. et postea 2 litt. eras. Mc: ἐναλλάξαι V B S (sed ἐναλλὰξ in marg. B) 2 βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. 4 τοῦ ἐπὶ τὸ ὀξὺ κειμένου πυκνοῦ in marg. Mc: om. V S B 5 πυκνοῦ om. R βαρύτατος Marquard: βαρύτερος codd. οἱ] ὁ B 7 τοιοῦτον B ἃ Ma, sed ὧν suprascr. Mc: ων R περιέχοντες ex περισχόντες Mc 9 βαρύτερος Marquard : βαρύτατος codd. τὸν restituit Marquard τόνων R περιεχόντων om. R 10 τὸ supra lin. add. B : com. S βαρύτερον Marquard : βαρύτατον codd. τῶν τετραχόρδων] τῶν supra lin. add. Mx : om. V S 11 τὸν restituit Marquard (legit H) 12 τῶν τετ.] τῶν supra lin. add. Mx : om. Va S 14 δίτονα] post ι litt. α eras. M : διάτονα V B S 18 διορίζων R 20 ἐκμελέσθαι supra ε acc. eras., τ suprascr. et in marg. ἐκμελὲς ἔσται add. Mc: ἐκμελὲς ἔσται (ἐς ἔστ e corr.) Vb καὶ om. H διάτονα M V S 22 ἐναρμόνια S 23 δὴ] δὲ V S B)

ἁρμονίᾳ καὶ χρώματι οὐ τεθήσεται δύο τονιαῖα ἑξῆς. Ἐν διατόνῳ δὲ τρία τονιαῖα ἑξῆς τεθήσεται, πλείω δʼ οὔ· ὁ γὰρ τὸ τέταρτον τονιαῖον ὁρίζων φθόγγος οὔτε τῷ τετάρτῳ διὰ τεσσάρων οὔτε τῷ πέμπτῳ διὰ πέντε συμφωνήσει.

Ἐν τῷ αὐτῷ δὲ γένει τούτῳ δύο ἡμιτονιαῖα ἑξῆς οὐ τεθήσεται. Τιθέσθω γὰρ πρῶτον ἐπὶ τὸ βαρὺ τοῦ ὑπάρχοντος ἡμιτονίου τὸ προστεθὲν ἡμιτόνιον· συμβαίνει δὴ τὸν ὁρίζοντα φθόγγον τὸ προστεθὲν ἡμιτόνιον μήτε τῷ τετάρτῳ διὰ τεσσάρων συμφωνεῖν μήτε τῷ πέμ| πτῳ διὰ πέντε. οὕτω [*](1 ἐμμελὴς ex ἐκμελὴς Mc: ἐκμελὴς V S, B (sed in marg. ἐμμελὴς) 3 τῶν ante διὰ κέντε add. R μηδʼ ἑτέρω τοῦτο ex μηδʼ ἑτέρω τούτω M : μηδʼ ἑτέρῳ τούτῳ V S B δὲ restituit Marquard αὐτῶν ex αὐτῷ Mc αὐτῷ post συμβαίνοντος ponit H 6 ἐφέξει B (sed ἀφέξει in marg.) 10 ἀΛλ’ ἤτοι ex ἀλλα τοι deinde 2 litt. eras. Μc: ἀλλὰ τοιοῦτο V B S : ἀλλὰ τὸν in marg. B τέταρτον] δʼ S 11 δὲ in marg. Mc : om. V B S 13 ἐπὶ τὸ ὀξὺ ἐπὶ τὸ ὀξὺ (cum punctis sub ἐπὶ τὸ ὀξὺ altero) B δεύτερον τονιαῖον Ma, sed β supra δεύτερον et α supra τονιαῖον add. Mc 17 τὸ om. H 19 ἡμιτονιαῖα] τονιαῖα V S B et Ma, sed ἡμι supra lin. add Mc τίθεται in marg. B, R 21 ἡμιτονιαίου B δὴ H: δὲ rell. 22 τὸ supra lin. add. Mc: om. V B S 23 συμφωνεῖν post διὰ κέντα ponit H)

Πυκνὸν μὲν οὖν πρὸς διτόνῳ καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ ἐπὶ τὸ ὀξὺ τίθεται. Δέδεικται γὰρ ἐν τῇ συναφῇ ἐναλλὰξ τιθέμενα ταῦτα τὰ διαστήματα, ὥστε δῆλον ὅτι ἑκάτερον ἑκατέρου καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ καὶ | ἐπὶ τὸ ὀξὺ τεθήσεται.

Τόνος δὲ πρὸς διτόνῳ ἐπὶ τὸ ὀξὺ μόνον τίθεται. Τιθέσθω γὰρ ἐπὶ τὸ βαρύ· συμβήσεται δὴ πίπτειν ἐπὶ τὴν

αὐτὴν τάσιν ὀξύτα || τάν τε πυκνοῦ καὶ βαρύτατον, ὁ μὲν γὰρ τὸ δίτονον ἐπὶ τὸ βαρὺ ὁρίζων ὀξύτατος ἦν πυκνοῦ, ὁ δὲ τὸν τόνον ἐπὶ τὸ ὀξὺ βαρύτατος. τούτων δὲ πιπτόντων | ἐπὶ τὴν αὐτὴν τάσιν ἀναγκαῖον δύο πυκνὰ τίθεσθαι. τούτου δʼ ἐκμελοῦς ὄντος ἀναγκαῖον καὶ τόνον ἐπὶ τὸ βαρὺ διτονιαίου ἐκμελῆ εἶναι.

Τόνος δὲ πρὸς πυκνῷ ἐπὶ τὸ βαρὺ μόνον τίθεται. Τιθέσθω γὰρ ἐπὶ τοὐναντίον· συμβήσεται δὴ τὸ αὐτὸ πάλιν ἀδύνατον, ἐπὶ γὰρ τὴν αὐτὴν τάσιν ὀξύτατός τε πυκνοῦ πεσεῖται καὶ βαρύτατος, ὥστε δύο πυκνὰ τίθεσθαι ἑξῆς. τού|του δʼ ὄντος ἐκμελοῦς ἀναγκαῖον καὶ τὴν τόνου θέσιν τὴν ἐπὶ τὸ ὀξὺ τοῦ πυκνοῦ ἐκμελῆ εἶναι.

Ἐν διατόνῳ δὲ τόνου ἐφʼ ἑκάτερα ἡμιτόνιον οὐ μελῳδεῖται. Συμβήσεται γὰρ| μήτε τοὺς τετάρτους τῶν ἑξῆς διὰ τεσσάρων συμμφωνεῖν μήτε τοὺς πέμπτους διὰ πέντε. Δύο δὲ τόνων ἢ τριῶν ἡμιτόνιον ἐφʼ ἑκάτερα μελῳδεῖται· συμφωνήσουσι γὰρ ἢ οἱ τέταρτοι διὰ τεσσά| ρων ἢ οἱ πέμπτοι διὰ πέντε.

Ἀπὸ ἡμιτονίου μὲν ἐπὶ τὸ ὀξὺ δύο ὀδοὶ καὶ ἐπὶ τὸ βαρὺ δύο, ἀπὸ δὲ τοῦ διτόνου δύς μὲν ἐπὶ τὸ ὀξύ, μία δʼ ἐπὶ τὸ βαρύ. Δέδεικται γὰρ ἐπὶ μὲν τὸ ὀξὺ πυκνὸν τεθειμένον καὶ τόνος, πλείους δὲ τούτων οὐκ ἔσονται ὁδοὶ ἅπὸ τοῦ εἰρημένου διαστήματος ἐπὶ τὸ ὀξύ· ἐπὶ δὲ τὸ βαρὺ πυκνὸν μόνον, λείπεται μὲν γὰρ τῶν ἀσυνθέτων τὸ δίτονον μόνον· δύο δὲ δίτονα ἑξῆς οὐκέτι τίθεται. ὥστε δῆλον ὅτι δύο μόναι