Εἴ κά τι μέγεθος κουφότερον ἐὸν τοῦ ὑγροῦ ἀφεθῇ
ἐς τὸ ὑγρόν, τοῦτον ἕξει τὸν λόγον τῷ βάρει ποτὶ τὸ
ὑγρόν, ὃν ἔχει τὸ δεδυκὸς μέγεθος ποτὶ τὸ ὅλον μέγεθος.
Ἀφείσθω γάρ τι εἰς τὸ ὑγρὸν μέγεθος στερεὸν τὸ ΦΑ
κουφότερον τοῦ ὑγροῦ ἐόν, ἔστω δὲ τὸ μὲν δεδυκὸς
αὐτοῦ τὸ Α, τὸ δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τὸ Φ, Δεικτέον ὅτι
τὸ ΦΑ τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τὸ ἴσογκον τοῦτον ἔχει
τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ.
Λελάφθω γάρ τι τοῦ ὑγροῦ μέγεθος τὸ ΝΙ ἴσον ὄγκον
ἔχον τῷ ΦΑ, καὶ τῷ μὲν Φ ἴσον ἔστω τὸ Ν, τῷ δὲ Α τὸ Ι,
καὶ ἔτι τὸ μὲν τοῦ ΦΑ μεγέθεος βάρος ἔστω τὸ Β, τοῦ
δὲ ΝΙ τὸ ΡΟ, τοῦ δὲ Ι τὸ Ρ τὸ ΦΑ ἄρα ποτὶ τὸ ΝΙ τοῦτον
ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ Β ποτὶ τὸ ΡΟ, Ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ΦΑ
ὅλου τοῦ ΦΑ μεγέθεος, τὸ δὲ Ρ τοῦ l ὑγροῦ, ὃ τῷ μεγέθει
ἐγένετο ἴσον τῷ ἴσον ὄγκον ἔχοντι τῷ δεδυκότι μεγέθει
τῷ Α ἔχει ἄρα τὸ ΦΑ μέγεθος τῷ βάρει ποτὶ τὸ ΝΙ ὡς
τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ. Ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ Ρ ποτὶ τὸ ΡΟ, τοῦτον
ἔχει τὸν λόγον τὸ Ι ποτὶ τὸ ΙΝ καὶ τὸ Α ποτὶ τὸ ΦΑ
δέδεικται ἄρα τὸ προτεθέν.
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν
τὸν ἄξονα ἔχῃ μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ
ἄξονος, πάντα λόγον ἔχον ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει,
ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ
ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον οὐ μενεῖ κεκλιμένον,
ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν. Ὀρθὸν δὲ λέγω καθεστακέναι
τὸ τοιοῦτο τμᾶμα, ὁπόταν τὸ ἀποτετμακὸς αὐτὸ
ἐπίπεδον παρὰ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ.
Ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος, οἷον εἴρηται, καὶ κείσθω κεκλιμένον. Δεικτέον ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλʼ ἀποκαταστασεῖται ὀρθόν.
Τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ
ποτὶ τὸ
τᾷ ΙΣ · ὥστε οὐ ποιήσει ὀρθὰν γωνίαν ἁ ΝΟ ποτὶ τὰν ΙΣ.
Ἄχθω οὖν παράλληλος ἁ ἐφαπτομένα ἁ ΚΩ τᾶς τοῦ
κώνου τομᾶς κατὰ τὸ Π, καὶ ἀπὸ τοῦ Π παρὰ τὰν ΝΟ
ἀχθῶ ἁ ΠΦ τέμνει δὴ ἁ ΠΦ δίχα τὰν ΙΣ δέδεικται γὰρ
ἐν τοῖς κωνικοῖς. Τετμάσθω ἁ ΠΦ, ὥστε εἶμεν διπλασίαν
τὰν ΠΒ τᾶς ΒΦ, καὶ ἁ ΝΟ κατὰ τὸ Ρ τετμάσθω, ὥστε καὶ
τὰν ΟΡ τᾶς ΡΝ διπλασίαν εἶμεν ἐσσεῖται δὴ τοῦ μείζονος
ἀποτμάματος τοῦ στερεοῦ κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ
δὲ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ τὸ Β δέδεικται γὰρ ἐν ταῖς Ἰσορροπίαις,
ὅτι παντὸς ὀρθογωνίου κωνοειδέος τμάματος τὸ κέντρον
τοῦ βάρεός ἐστιν ἐπὶ τοῦ ἄξονος διῃρημένου οὕτως,
ὥστε τὸ ποτὶ τᾷ κορυφᾷ τοῦ ἄξονος τμᾶμα διπλάσιον
εἶμεν τοῦ λοιποῦ. Ἀφαιρεθέντος δὴ τοῦ κατὰ τὰν ΙΠΟΣ
τμάματος στερεοῦ ἀπὸ τοῦ ὅλου τοῦ λοιποῦ
τοῦτο ἐν τοῖς Στοιχείοις τῶν μηχα
τοῦ λοιποῦ μεγέθεος. Ἐπεὶ οὖν ἁ ΝΟ τᾶς μὲν ΟΡ ἡμιολία,
τᾶς δὲ μέχρι τοῦ ἄξονος οὐ μείζων ἢ ἡμιολία, δῆλον
ὅτι ἁ ΡΟ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος οὐκ ἐστὶ μείζων ἁ ΠΡ
ἄρα ποτὶ τὰν ΚΩ γωνίας ἀνίσους ποιεῖ, καὶ ἁ ὑπὸ τῶν
ΡΠΩ γίνεται ὀξεῖα · ἁ ἀπὸ τοῦ Ρ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὰν
ΠΩ ἀγομένα μεταξὺ πεσεῖται τῶν Π, Ω. Πιπτέτω ὡς ἁ
ΡΘ ἁ ΡΘ ἄρα ὀρθά ἐστιν ποτὶ τὸ
τὰν διὰ τοῦ Γ ἀγομέναν κάθετον · ὑπόκειται γὰρ ἕκαστον
τῶν βαρέων εἰς τὸ κάτω φέρεσθαι κατὰ τὰν κάθετον τὰν
διὰ τοῦ κέντρου ἀγομέναν τὸ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ μέγεθος,
ἐπεὶ κουφότερον γίνεται τοῦ ὑγροῦ, ἐνεχθήσεται εἰς τὸ
ἄνω κατὰ τὰν κάθετον τὰν διὰ τοῦ Β ἀγομέναν. Ἐπεὶ
δὲ οὐ κατὰ τὰν αὐτὰν κάθετον ἀλλάλοις ἀντιθλίβονται,
Ὀρθὸν τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν τὸν ἄξονα
ἔχῃ μὴ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, πάντα
εἶμεν.
Ἀφείσθω γάρ τι τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρόν, οἷον εἴρηται,
καὶ ἔστω αὐτοῦ ἁ βάσις ἐν τῷ ὑγρῷ, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ
ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ
ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά,
ἄξων δὲ τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ ΠΦ,
τᾶς δὲ ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἁ ΙΣ. Ἐπειδὴ οὖν
κεκλιμένον κεῖται τὸ τμᾶμα, οὐκ ἐσσεῖται κατὰ κάθετον
ὁ ἄξων οὐκ ἄρα ποιήσει ἁ ΠΦ ἴσας γωνίας ποτὶ τὰν
ΙΣ. Ἄχθω δή τις
τὸ Ο τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς, καὶ τοῦ μὲν ΑΠΟΛ στερεοῦ κέντρον
ἔστω τοῦ βάρεος τὸ Ρ, τοῦ δὲ ΙΠΟΣ στερεοῦ τὸ Β, καὶ
ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΒΡ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ
βάρεος τὸ Γ τοῦ ΙΣΛΑ. Ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ μὲν
ὑπὸ τᾶν ΡΟ, ΟΚ γωνία ὀξεῖα, ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ κάθετος
διὰ τοῦ Β ἀγομέναν κάτω, καὶ οὐ μενεῖ τὸ ΑΠΟΛ στερεὸν
οὕτως ἔχον ἐν τῷ ὑγρῷ, ἀλλὰ τὸ μὲν κατὰ τὸ Α ἄνω
τὰν φορὰν ἕξει, τὸ δὲ κατὰ τὸ Λ κάτω, ἕως ἂν γένηται
ἁ ΠΦ κατὰ κάθετον.
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὁπόταν
κουφότερον ᾗ τοῦ ὑγροῦ καὶ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ
ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ὅταν τῷ βάρει ποτὶ τὸ
ἴσογκον ὑγρὸν μὴ ἐλάσ
ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε
τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, τεθὲν κεκλιμένον
οὐ μενεῖ κεκλιμένον, ἀλλὰ ἀποκαταστασεῖται εἰς ὀρθόν.
Ἔστω τμᾶμα ὀρθογωνίου κωνοειδέος, οἷον εἴρηται,
καὶ ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρόν, εἰ δυνατόν, ἔστω μὴ ὀρθόν, ἀλλὰ
κεκλιμένον, τμαθέντος δὲ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος
ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τοῦ μὲν τμάματος
τομὰ
ad IS angulos aequa es.
Ducatur autem quae ΚΩ contingens sectionem
rectanguli coni penes P, aequedistans autem ipsi IS,
a P autem aequedistanter ipsi ON ducatur quae PF,
et accipiantur centra grauitatum, et erit solidi
quidem APOL centrum R, eius autem, quod intra
humidum, centrum B, et copuletur quae BR et
educatur ad G, et sit solidi, quod supra humidum,
centrum grauitatis G. Et quoniam quae NO ipsius
quidem RO est emiol ia, eius autem, quae usque ad
axem, est maior quam emiolia, palam quod quae RO
est maior quam quae usque ad axem. Sit igitur
quae RM aequalis ei, quae usque ad axem, quae
autem OM dupla ipsius HM. Quoniam igitur fit
quae quidem NO ipsius RO emiolia, quae autem ΗO
ipsius OM, et reliqua quae NΗ reliquae, scilicet RM,
emiolia est ; ipsi ΗO igitur maior quam emiolius
est axis eius, quae usque ad axem, scilicet RM.
Et quoniam supponebatur portio ad humidum in
minorem proportionem habet portio ad humidum
in grauitate illa proportione, quam habet tetragonum
quod ab HO ad id quod ab NO, quam autem
proportionem habet portio ad humidum in grauitate,
hanc habet demersa ipsius portio ad totam solidam
portionem ; demonstratum est enim hoc ; sed quam
habet proportionem demersa portio ad totam, hanc
habet tetragonum quod a ΡF ad tetragonum quod
ab NO ; demonstratum est enim in his, quae de
conoidalibus, quod, si a rectangul o conoidali duae
portiones qualitercumque productis planis abscindantur,
portiones adinuicem eandem habebunt
proportionem quam tetragona quae ab axibus
ipsorum. Non minorem ergo proportionem habet
tetragonum quod a PF ad tetragonum quod ab NO
quam tetragonum quod ab HO ad tetragonum quod
ab NO ; quare quae PF non est minor quam HO,
neque quae BP quam MO ; si igitur ab M ipsi NO
recta ducatur, cadet inter B et P. Quoniam igitur
quae quidem ΡF est aequidistanter diametro, quae
autem MT est perpendicularis ad diametrum, et
quae RM aequalis ei quae usque ad axem, ab R
ad Τ copulata et educta faciet angulos rectos ad
contingentem secundum P ; quare et ad ΙS et ad
eam quae per IS superficiem humidi faciet aequales
quae per B aequedistantem ipsi RT, quod autem
extra humidum absumptum deorsum feretur in
humidum secundum productam per G aequedistantem
ipsi RT, et per totum idem erit, donec utique
conoidale rectum restituatur.
Recta portio rectanguli conoidalis, quando leuior
existens humido habuerit axem maiorem quam
emiolium eius quae usque ad axem, si ad humidum
in grauitate non maiorem proportionem habeat illa,
quam habet excessus, quo maius est tetragonum
quod ab axe tetragono quod ab excessu, quo axis
est maior quam emiolius eius quae usque ad axem,
ad tetragonum quod ab axe, dimissa in humidum
ita, ut basis ipsius tota sit in humido, posita inclinata
non manet inclinata, sed restituetur ita, ut axis
ipsius secundum perpendicularem sit.
Dimittatur enim in humidum aliqua portio, qualis
dicta est, et sit basis ipsius tota in humido, secta
autem ipsa plano per axem recto ad superficiem
humidi erit sectio rectanguli coni sectio, et sit quae
APOL, axis autem
P aequedistans ipsi IS et per P ipsi NO aequedistans
quae ΡF, et accipiantur centra grauitatum, et sit
ipsius quidem AΡOL centrum R, eius autem quod
extra humidum B, et copulata quae BR educatur
ad G, et st G centrum grauitatis solidi absumpti
in humido, et accipiatur quae RM aequalis ei quae
usque ad axem, quae autem OM dupla ipsius HM,
et alia fiant consimiliter superiori. Quoniam igitur
supponitur portio ad humidum in grauitate non
maiorem proportionem habens proportione, quam
habet excessus, quo maius est tetragonum quod
ab NO tetragono quod ab HO, ad tetragonum quod
ab NO, sed quam proportionem habet in grauitate
portio ad humidum aequalis molis, hanc proportionem
habet demersa ipsius portio ad totum solidum
(demonstratum est enim hoc in primo theoremate],
non maiorem ergo proportionem habet demersa
magnitudo portionis ad totam portionem, quam sit
dicta proportio ; quare non maiorem proportionem
habet tota portio ad eam quae extra humidum
portionem, quam habet tetragonum quod ab NO
quod ab NO ad id quod a PF, quam quod ab NO ad
id quod ab HO. Non minor ergo fit quae PF quam
quae OH ; quare nec quae PB quam MO. Quae ergo
ab M producitur ipsi RO ad rectos angulos, concidet
ipsi BP inter P et B ; concidat secundum Τ. Et quoniam
in rectanguli coni sectione quae PF est aequedistanter
dametro RO, quae autem MT perpendicularis super
diametrum, quae autem RM aequalis ei quae usque
ad axem, palam quod quae RT educta facit angulos
rectos ad ΚΡΩ ; quare et ad IS. Quae ergo RT est
perpendicularis ad superficiem humidi, et per signa B,
G aequedistanter ipsi RT productae erunt perpendiculares
ad superficiem humidi ; quae quidem
igitur extra humidum portio deorsum feretur in
humidum secundum productam per B perpendicularem,
quae autem intra humidum sursum feretur
secundum perpendicularem quae per G, et non
manet solida portio APOL, sed intra humidum erit
motum, donec utique quae NO fiat secundum
perpendicularem.
Recta portio rectanguli conoidalis, quando humido
leuior existens axem habuerit maiorem quidem
quam hemiolium, minorem autem quam ut hanc
unum signum contingat humidum.
Sit portio, qualis dicta est, et dimissa in humidum
consistat, sicut ostensum est, ita ut basis ipsius
secundum unum signum contingat humidum, secta
autem ipsa per axem plano recto ad superficiem
humidi sectio superficiei portionis sit quae AΡOL
rectanguli coni sectio, superficiei autem humidi quae
AS, axis autem portionis et diameter
ita, ut quae NO ad FΩ habeat proportionem, quam
quindecim ad quattuor, et ipsi NO adducatur quae
ΩΚ. Quae autem NO maiorem proportionem habet
ad FΩ quam ad eam quae usque ad axem. Sit quae
FB aequalis ei quae usque ad axem, et ducatur
quae quidem ΡC aequedistanter ipsi AS contingens
sectionem APOL secundum P, quae autem Pl aequedistanter
diametro secta ipsa ΚΩ, quae autem AS aequedistanter
contingenti secundum P, necessarium est
ipsam Pl aut eandem proportionem habere ad ΡΗ,
quam habet quae NΩ ad ΩΟ, aut maiorem proportionem;
demonstratum est enim hoc per sumpta.
Quae autem ΩN est emiolia psius ΩΟ ; et quae ΙΡ
ergo aut emiolia est ipsius ΗΡ aut maior quam
emiolia ; quae ergo PH ipsius HI aut dupla est aut
minor quam dupla. Sit autem quae PT ipsius TI
dup a ; centrum ergo grauitatis eius quod in humido
est signum T. Et copulata quae TF educatur, et sit
centrum grauitatis eius quod extra humidum G,
et a B ipsi NO recta quae BR. Quoniam igitur est
quae quidem Pl aequedistanter diametro NO, quae
autem BR perpendicularis super diametrum, quae
autem FB aequalis ei quae usque ad axem, palam
quod quae FR educta aequales facit angulos ad
contingentem sectionem APOL secundum P ; quare
et ad AS et ad superficiem aquae. Ductis autem
per T, G aequedstanter ipsi FR erunt et ipsae
perpendiculares ad superficiem aquae, et magnitudo
quidem intra humidum absumpta ex solido APOL
sursum feretur secundum eam quae per T perpendicularem,
quae autem extra humidum deorsum
feretur in humidum secundum eam quae per G
perpendicularem. Reuoluetur ergo solidum APOL,
Si autem quae PI non secuerit lineam ΚΩ, sicut
in secunda figura descriptum est, manifestum quod
signum T, quod est centrum grauitatis demersae
portionis, cadet inter P et l, et reliqua similiter
demonstrabuntur.
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν
τοῦ ὑγροῦ κουφότερον ᾖ καὶ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα
μὲν ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ
ὥστε λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος, ὃν τὰ ιε
ποτὶ δ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως ὥστε τὰν βάσιν ὅλαν
εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, οὐδέποτε καταστασεῖται οὕτως, ὥστε τὰν
Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν
καθάπερ ἐρρέθη καθεστακέτω οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν
αὐτοῦ ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας. Δεικτέον
ὅτι οὐ μενεῖ, ἀλλὰ ἀνακλιθήσεται οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν
αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.
Τμαθέντος γὰρ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν τοῦ
ὑγροῦ ἐπιφάνειαν τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου
τομά, ἔστω δὲ καὶ τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας τομὰ ἁ ΣΛ,
ἄξων δὲ ἔστω τοῦ τμάματος καὶ διάμετρος ἁ ΠΦ, πάλιν
δὲ τεμνέσθω ἁ ΠΦ κατὰ μὲν τὸ Ρ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν
τὰν ΡΠ τᾶς ΡΦ, κατὰ δὲ τὸ Ω, ὥστε τὰν ΠΦ ποτὶ τὰν ΡΩ
λόγον ἔχειν ὃν τὰ τε ποτὶ τὰ δ, καὶ ἁ ΩΚ ὀρθὰ ἄχθω τᾷ
ΠΦ ἐσσεῖται δὴ ἐλάσσων ἁ ΡΩ τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος.
Ἀπολελάφθω οὖν τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος ἴσα ἁ ΡΗ, καὶ
ἁ μὲν ΤΟ ἄχθω ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Ο παράλληλος
ἐοῦσα τᾷ ΣΛ, ἁ δὲ ΝΟ τᾷ ΠΦ, τεμνέτω δὲ ἁ ΝΟ
αὐτά ὁμοίως δὴ δειχθήσεται ἁ ΡΘ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσα
ποτὶ τὰν TΟ καὶ ποτὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, καὶ ἀπὸ
τῶν Β, Γ ἀχθεῖσαι παρὰ τὰν ΡΘ κάθετοι ἐσσοῦνται ἐπὶ
τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν. Κατενεχθήσεται οὖν τὸ μὲν
ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ τμᾶμα εἰς τὸ ὑγρὸν κατὰ τὰν διὰ τοῦ Β
κάθετον, τὸ δʼ ἐν τῷ ὑγρῷ ἀνενεχθήσεται κατὰ τὰν διὰ
τοῦ Γ · φανερὸν οὖν ὅτι ἐπικλιθήσεται τὸ στερεόν, ὥστε
τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ
ἐπιφανείας, ἐπειδὴ νῦν καθʼ ἓν σαμεῖον
Φανερὸν δὲ ὅτι, κἂν ἁ ΟΝ μὴ τέμνῃ τὰν ΩΚ, ταὐτὰ δειχθήσεται.
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν
τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος,
ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦτον
ἔχειν τὸν λόγον ὃν ἔχει τὰ ιε ποτὶ τὰ δ, ὅταν τὸ βάρος
ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾆ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ
ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ
ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν
μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὔτʼ ἐς ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται
οὔτε μενεῖ κεκλιμένον, πλὴν ὁπόταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ
τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ποιῇ γωνίαν ἴσαν τᾷ μελλούσᾳ
λέγεσθαι.
Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ ἁ Β△ ἴσα τῷ ἄξονι,
καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς Κ△ διπλασία, ἁ δὲ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι
τοῦ ἄξονος, ἔστω δὲ καὶ ἁ μὲν ΤΒ ἡμιολία τᾶς ΒΡ, ἁ δὲ
Τ△ τᾶς ΚΡ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ
μείζων ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄξων τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος ἐλάσσων
ἄρα ἁ ΦΧ τᾶς ΒΤ ὥστε καὶ ἁ Φ τᾶς ΒΡ. Ἔστω δὴ τᾷ
Φ ἴσα ἁ ΡΨ, καὶ τᾷ Β△ ὀρθὰ ἄχθω ἁ ΨΕ δυναμένα τὸ
ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΚΡ, ΒΨ, καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΒΕ. Δεικτέον
ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὡς εἴρηται καταστασεῖται
κεκλιμένον, ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ
ὑγροῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾷ ΕΒΨ.
Ἀφείσθω γάρ τι ἐς τὸ ὑγρὸν τμᾶμα, καὶ ἁ βάσις αὐτοῦ
μὴ ἁπτέσθω τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καί, εἰ δυνατόν,
μὴ ποιείσθω ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ
ὑγροῦ ἴσαν τᾷ Β, ἀλλὰ μείζω πρῶτον.
Τμαθέντος δὴ τοῦ τμάματος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος
ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἁ ΑΠΟΛ
ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείᾳ
ἁ ΞΣ, ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τοῦ τμήματος ἁ ΝΟ, Ἄχθω
δὴ καὶ ἁ μὲν ΠΥ παρὰ τὰν ΞΣ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ
τομᾶς κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΜ παρὰ τὰν ΝΟ, ἁ δὲ ΠΙ κάθετος
ἐπὶ τὰν ΝΟ, καὶ τᾷ ΒΡ ἔστω ἴσα ἁ ΟΩ, τᾷ δὲ ΡΚ ἁ ΩΘ,
καὶ ὀρθὰ ἁ ΩΗ τῷ ἄξονι. Ἐπεὶ οὖν ὑπόκειται ὁ ἄξων τοῦ
τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν
μείζονα τᾶς Β, δῆλον ὅτι τοῦ ΠΙΥ τριγώνου ἁ ποτὶ τῷ
ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ, τοῦτον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ ΥΙ, ὃν δὲ λόγον
ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ, τοῦτον ἔχει ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν
ΨΒ μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΚΡ ποτὶ τὰν ΥΙ ἤπερ ἁ
ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν ΨΒ ἐλάσσων ἄρα ἢ διπλασία
ἁ ΥΙ τᾶς ΨΒ. Τᾶς δὲ ΟΙ διπλασία ἁ ΙΥ ἐλάσσων ἄρα ἁ
ΟΙ τᾶς ΨΒ. ὥστε ἁ ΙΩ μείζων ἐστὶ τᾶς ΨΡ. Ἁ δὲ ΨΡ
ἴσα ἐστὶ τᾷ Φ μείζων ἄρα ἐστὶν ἁ ΙΩ τᾶς Φ. Καὶ ἐπεὶ
ὑπόκειται τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἔχειν λόγον,
ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει
ποτὶ τὸ ὑγρὸν, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ
ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα, ὃν δὲ τὸ δεδυκὸς ποτὶ τὸ ὅλον,
τοῦτον ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΜ ποτὶ τὸ
τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ, ὃν ἄρα λόγον ἔχει τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△,
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΜΠ
ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΟΝ ἴσα ἄρα ἐστὶν ἁ
ΦΧ τᾷ ΠΜ. Ἁ δὲ ΠΗ ἐδείχθη μείζων ἐοῦσα τᾶς Φ δῆλον
οὖν ὅτι ἁ ΠΜ ἐλάσσων ἢ ἡμιολία ἐστὶν τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ ΠΗ
τᾶς ΗΜ μείζων ἢ διπλασίων. Ἔστω οὖν ἁ ΠΖ διπλασίων
τᾶς ΖΜ · ἐσσεῖται δὴ τὸ μὲν Θ κέντρον τοῦ βάρεος τοῦ
στερεοῦ, τοῦ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Ζ τοῦ δὴ λοιποῦ μεγέθεος
τὸ κέντρον τοῦ βάρεος ἐσσεῖται ἐπὶ τᾶς ΖΘ εὐθείας
Ζ ἀγμέναν κάθετον ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, τὸ
δὲ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ ἐνεχθήσεται εἰς τὸ ἐντὸς κατὰ τὰν
διὰ τοῦ Γ · οὐ μενεῖ δὴ τὸ τμᾶμα κατὰ τὰν ὑποκειμέναν
κλίσιν.
Οὐδὲ μὴν εἰς τὸ ὀρθὸν ἀποκαταστασεῖται. Δῆλον
δὲ διὰ τούτων · ἐπειδὴ τῶν ἀγμένων διὰ τῶν Ζ, Γ καθέτων
ἁ μὲν διὰ τοῦ Ζ ἀγμένα τᾶς ΓΖ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρεα πίπτει,
ἐφʼ ἅ ἐστι τὸ Λ, ἁ δὲ διὰ τοῦ Γ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α, δῆλον
ὅτι διὰ τὰ προειρημένα τὸ μὲν Ζ κέντρον ἄνω οἰσθήσεται,
τὸ δὲ Γ κάτω · ὥστε τοῦ ὅλου μεγέθεος τὰ μέρεα τὰ ἀπὸ
τοῦ Α κάτω οἰσθήσεται.
Τοῦτο δʼ ἦν εὔχρηστον ποτὶ τὸ δεῖξαι.
Ὑποκείσθω πάλιν τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά, ὁ δὲ ἄξων τοῦ
τμάματος ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ποιεί
τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΙ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΙΥ ἢ τὸ ἀπὸ
τᾶς ΕΨ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΨΒ καὶ ἁ ΚΡ ἄρα ποτὶ τὰν
ΥΙ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἁ ἡμίσεια τᾶς ΚΡ ποτὶ τὰν
ΨΒ. Μείζων ἄρα ἐσσεῖται ἢ διπλασίων ἁ ΙΥ τᾶς ΨΒ ἁ
ἄρα ΩΙ ἐλάσσων τᾶς ΨΡ. Ἐσσεῖται οὖν καὶ ἁ ΠΗ ἐλάσσων
τᾶς Φ. Ἁ δὲ ΜΓ τᾷ ΦΧ ἴσα · δῆλον οὖν ὅτι μείζων ἢ
ἡμιολία ἁ ΠΜ τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ ΠΗ ἐλάσσων ἢ διπλασίων
ὑγροῦ ἐπὶ τᾶς ἐκβληθείσας. Ἔστω τὸ Γ, καὶ ἄχθωσαν
κά
Ἐπεὶ οὖν οὔτε γωνίαν μείζονα τᾶς Β ποιοῦντος τοῦ
ἄξονος ποτὶ τὸ ὑγρὸν σταθήσεται τὸ τμᾶμα οὔτʼ ἐλάσσονα,
φανερὸν ὅτι ταλικαύταν ποιοῦντος γωνίαν σταθήσεται
οὕτως γὰρ ἁ ΙΟ ἐσσεῖται ἴσα τᾷ ΨΒ καὶ ἁ Ωl τᾷ ΨΡ καὶ
τᾷ Φ ἁ ΠΗ· ἡμιολία ἄρα ἐσσεῖται ἁ ΜΠ τᾶς ΠΗ, ἁ δὲ
ΠΗ τᾶς ΗΜ διπλασία. Τὸ Η ἄρα τοῦ ἐν τῷ ὑγρῷ βάρεος
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν
τὸν ἄξονα ἔχη μείζονα μὲν ἢ ἡμιόλιον τᾶς μέχρι τοῦ
ἄξονος, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον,
ὃν ἔχει τὰ ιε ποτὶ δ, καὶ τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μείζονα
λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει ἁ ὑπεροχά, ᾆ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ
τοῦ ἄξονος τετράγωνον τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς
ὑπεροχᾶς, ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι
τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος,
ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ ὅλαν
εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, τεθὲν κεκλιμένον οὔτε κατασταθήσεται,
ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ κατὰ κάθετον εἶμεν, οὔτε μενεῖ
κεκλιμένον, πλὴν ὅταν ὁ ἄξων αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν
τοῦ ὑγροῦ ποιῇ γωνίαν ἴσαν τᾷ λαφθείσᾳ ὁμοίως ᾇ
πρότερον.
Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ κείσθω ἁ △Β ἴσα τῷ
ἄξονι τοῦ τμάματος, καὶ ἁ μὲν ΒΚ τᾶς Κ△ διπλασία ἔστω,
ἁ δὲ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος, ἁ δὲ ΤΒ ἡμιολία τᾶς
ΒΡ, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν,
τοῦτον ἐχέτω ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ
ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ
τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἔστω δὲ ἁ Φ διπλασία τᾶς Χ.
Δῆλον οὖν ὅτι ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει τὸ τετράγωνον τὸ
ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΒΤ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ
τᾶς Β△ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει
τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ
τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ ἔστι γὰρ ἁ
ΒΤ ἁ ὑπεροχά, ᾇ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιόλιος ὁ ἄξων τοῦ
τμάματος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος. Μείζονι ἄρα ὑπερέχει
τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ ἢ τὸ
τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς
ΒΤ ὥστε ἁ ΦΧ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΤ · καὶ ἁ Φ ἄρα τᾶς
ΒΡ.
Ἔστω οὖν τᾷ Φ ἴσα ἁ ΡΨ, καὶ ἁ ΨΕ ὀρθὰ ἄχθω τᾷ Β△
δυναμένα τὸ ἥμισυ τοῦ περιεχομένου ὑπὸ τᾶν ΚΡ, ΨΒ.
Φαμὶ ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν
αὐτοῦ ὅλαν εἶμεν ἐν τῷ ὑγρῷ, καταστασεῖται οὕτως,
ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ
γωνίαν ποιεῖν ἴσαν τᾷ Β.
Ἀφείσθω μὲν γὰρ τὸ τμᾶμα, ὡς εἴρηται, ἐς τὸ ὑγρόν,
καὶ μὴ ποιείτω ὁ ἄξων ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ
γωνίαν ἴσαν τᾷ Β, ἀλλὰ μείζονα πρότερον.
Τμαθέντος δὴ αὐτοῦ ἐπιπέδῳ ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν
τοῦ ὑγροῦ ἔστω τοῦ τμάματος τομὰ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου
τῆς τομῆς καὶ διάμετρος ἁ ΝΟ, καὶ τετμάσθω κατὰ τὰ
Ω, Θ, ὡς καὶ πρότερον, ἄχθω δὲ καὶ ἁ μὲν ΥΠ παρὰ τὰν
ΤΙ ἐφαπτομένα τᾶς τομᾶς κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΜ
aequedistanter ipsi NO, quae vero PS perpendicularis
super axem. Quoniam igitur axis portionis ad
superficiem humidi facit angulum maiorem angulo Β,
erit utique et angulus qui sub SYP maior angulo Β ;
tetragonum ergo quod a PS ad tetragonum quod
ab SΥ habet proportionem maiorem quam tetragonum
quod a ΨE ad tetragonum quod a ΨΒ. Ergo
et quae ΚR ad SΥ habet proportionem maiorem
quam medietas ipsius ΚR ad ΨB; minor ergo quae
SΥ quam dupla ipsius ΨB. Et quae SΟ quam ΨΒ
minor;
μείζων ἄρα ἁ ΣΩ τᾶς ΡΨ καὶ ἁ ΠΗ τᾶς Φ. Καὶ ἐπεὶ τὸ
τμᾶμα βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν ἁ ὑπεροχά,
ᾇ μεῖζόν ἐστιν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου
τοῦ ἀπὸ τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς
Β△, ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν,
τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ τμᾶμα ποτὶ τὸ
ὅλον, δῆλον ὅτι τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον τὸ δεδυκὸς αὐτοῦ
μέρος ποτὶ τὸ ὅλον τμᾶμα, ὃν ἁ ὑπεροχά, ᾇ ὑπερέχει
τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ
τᾶς ΦΧ, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ Β△ ἕξει οὖν καὶ τὸ
ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ λόγον, ὃν τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς ΦΧ. Ὃν δὲ λόγον
ἔχει τὸ ὅλον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ, τοῦτον
ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΝΟ ποτὶ τὸ ἀπὸ ΠΜ· ἴσα ἄρα ἁ ΜΠ τᾷ
τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Θ, τοῦ δὲ ἐκτὸς
τοῦ ὑγροῦ. Κατενεχθήσεται ἄρα τὸ μὲν ἐκτὸς τοῦ ὑγροῦ
τμᾶμα ἐς τὸ κάτω κατὰ τὰν διὰ τοῦ Ζ, τὸ δὲ ἐντὸς κατὰ
τὰν διὰ τοῦ Γ ἀνενεχθήσεται οὐ μενεῖ οὖν τὸ ὅλον τμᾶμα
ἀκλινές. Οὐδὲ μὴν καταστραφήσεται, ὥστε κατὰ κάθετον
εἶμεν τὸν ἄξονα ἐπὶ τὰν τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν, ἐπειδὴ
τὰ ἐπὶ
Ἐὰν δὲ ὁ ἄξων ποτὶ τὸ ὑγρὸν ποιῇ γωνίαν ἐλάσσονα
τᾶς Β, ὁμοίως τοῖς πρότερον δειχθήσεται ὅτι οὐ μενεῖ
τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ κλιθήσεται, ἕως ἂν ὁ ἄξων ποιῇ γωνίαν
ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ ἴσαν τᾷ Β.
Τὸ ὀρθὸν τμᾶμα τοῦ ὀρθογωνίου κωνοειδέος, ὅταν
κουφότερον ὄν τοῦ ὑγροῦ τὸν ἄξονα ἔχῃ μείζονα ἢ ὥστε
λόγον ἔχειν ποτὶ τὰν μέχρι τοῦ ἄξονος τοῦ ὃν ἔχει τὰ
ιε ποτὶ τὰ δ, ἀφεθὲν εἰς τὸ ὑγρὸν ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ
μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, ὁτὲ μὲν ὀρθὸν καταστασεῖται,
ὁτὲ δὲ κεκλιμένον, καὶ ποτὲ μὲν οὕτω κεκλιμένον, ὥστε
τὰν βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ
ἐπιφανείας, καὶ τοῦτο ἐν δισσοῖς κλιμάτεσσι ποιήσει,
ποτὲ δὲ οὕτως κεκλιμένον καταστασεῖται, ὥστε τὰν
βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον βρέχεσθαι, ποτὲ δὲ
οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μηδὲ καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς
τοῦ ὑγροῦ ἐπιφα
Ἔστω τμᾶμα οἷον εἴρηται, καὶ τμαθέντος αὐτοῦ ἐπιπέδῳ
ὀρθῷ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ τομὰ ἔστω ἐν τᾷ
ἐπιφανείᾳ ἁ ΑΠΟΛ ὀρθογωνίου κώνου τομά, ἄξων δὲ
ἔστω καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ Β△, τετμάσθω δὲ ἁ Β△
κατὰ τὸ Κ, ὥστε διπλασίαν εἶμεν τὰν ΒΚ τᾶς Κ△, κατὰ
δὲ τὸ Τ, ὥστε τὰν △Β ποτὶ τὰν ΚΤ λόγον ἔχειν ὡς τὰ ιε
ποτὶ δ δῆλον οὖν ὅτι ἁ ΚΤ μείζων ἐστὶ τᾶς μέχρι τοῦ
ἄξονος. Ἔστω οὖν ἁ ΚΡ ἴσα τᾷ μέχρι τοῦ ἄξονος, τᾶς
δὲ ΒΡ ἡμίσεια ἔστω ἁ ΡΣ ἔστι δὴ καὶ ἁ ΣΒ ἡμιολία τᾶς
ΒΡ. Ἐπιζευχθείσας δὲ τᾶς ΑΒ καὶ τᾶς ΤΕ ὀρθᾶς ἀχθείσας
ἀχθῶ ἁ ΕΖ παρὰ τὰν Β△, καὶ πάλιν τᾶς ΑΒ δίχα τμαθείσας
κατὰ τὸ Θ ἄχθω παρὰ τὰν Β△ ἁ ΘΗ, καὶ λελάφθω ὀρθογωνίου
κώνου τομὰ ἁ ΑΕΙ περὶ διάμετρον τὰν ΕΖ καὶ ἁ ΑΘ△
περὶ διάμετρον τὰν ΘΗ, ὥστε ὅμοια εἶμεν τὰ ΑΕΙ, ΑΘ△
τμάματα τῷ ΑΒΛ τμάματι· γραφήσεται δὴ ἁ ΑΕΙ κώνου
τομὰ διὰ τοῦ Κ, ἁ δὲ ἀπὸ τοῦ Ρ ὀρθὰ ἀχθεῖσα τᾷ Β△
τεμεῖ τὰν ΑΕΙ. Τεμνέτω κατὰ τὰ Υ, Γ, καὶ διὰ τῶν Υ, Γ
ἄχθωσαν παρὰ τὰν Β△ αἱ ΥΧ, ΓΝ, τεμνέτωσαν δὲ αὗται
τὰν ΑΘ△ τομὰν κατὰ τὰ Ξ, Φ, ἄχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΠΨ,
Ο(??) ἐφαπτόμεναι τᾶς ΑΠΟΛ τομᾶς κατὰ τὰ Ο, Π, Δεδομένα
δὴ τρία τινὰ τμάματα τὰ ΑΠΟΛ, ΑΕΙ, ΑΘ△ περιεχόμενα
ὑπὸ τᾶν εὐθειᾶν καὶ τᾶν ὀρθογωνίων κώνων τομᾶν ὀρθὰ
καὶ ὅμοια, ἄνισα δέ, καὶ ἀπολέλαπται ἀφʼ ἑκάστας βάσιος,
ἀπὸ δὲ τοῦ Ν ἀναγμέναι αἱ ΝΞ, ΝΓ, ΝΟ ἁ ΟΓ ἄρα ποτὶ
τὰν ΓΞ τὸν συγκείμενον λόγον ἕξει ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἁ
πρὸς ᾱ, ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ
τὰ ε καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὰ πέντε ποτὶ τὸ ἓν ὁ αὐτός ἐστι
τῷ ὃν ἔχει τὰ δύο ποτὶ τὸ ᾱ διπλασία ἄρα ἐστὶν ἁ ΟΓ
τᾶς ΓΞ. Διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἁ ΠΥ τᾶς ΥΦ. Ἐπεὶ δέ ἐστιν
ἁ △Σ ἡμιολία τᾶς ΚΡ, δῆλον ὅτι ἁ ΒΣ ἁ ὑπεροχά ἐστιν,
ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος.
Εἰ μὲν οὖν τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον
ἔχει τὸν λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς ΒΣ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△,
ἢ μείζονα τούτου τοῦ λόγου, ἀφεθὲν τὸ τμᾶμα εἰς τὸ
ὑγρὸν οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ
ὑγροῦ, ὀρθὸν καταστασεῖται· δέδεικται γὰρ πρότερον
ὅτι ἐὰν τμᾶμα μείζονα ἔχον τὸν ἄξονα ἢ ἡμιόλιον τᾶς
μέχρι τοῦ ἄξονος, ἐὰν τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν μὴ ἐλάσσονα
λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς,
ᾇ μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος,
ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τοῦ ἄξονος, ἀφεθὲν ἐς τὸ
ὑγρὸν οὕτως ὡς εἴρηται, ὀρθὸν καταστασεῖται.
Ἐπὴν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα
μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΣΒ ποτὶ τὸ τετράγωνον
τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, μείζονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς
ΟΞ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν
ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ μείζονα τᾶς (??).
Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον
ἔχῃ τὸν λόγον, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ ποτὶ τὸ
τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν κεκλιμένον
οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ,
καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ
ἅπτεσθαι καθʼ ἓν τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καὶ τὸν
ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν
ποιεῖν ἴσαν τᾷ (??).
Ἔὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα
μὲν λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς
ΞΟ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, μείζονα δὲ τοῦ
ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἀφεθὲν ἐς
τὸ ὑγρὸν καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν
αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον
οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα τόπον τέμνεσθαι
ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ.
Εἰ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν τοῦτον ἔχει
τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ ποτὶ
τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν καὶ
τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ ἅπτεσθαι
τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν
βάσιν αὐτοῦ καθʼ ἓν σαμεῖον ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ
ἐπιφανείας, καὶ τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποιεῖν γωνίαν ἴσαν τᾷ Ψ.
Ἐὰν δὲ τὸ τμᾶμα τῷ βάρει πρὸς τὸ ὑγρὸν ἐλάσσονα
λόγον ἔχῃ τοῦ ὃν ἔχει τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΦ
ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρὸν
καὶ τεθὲν κεκλιμένον οὕτως, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ μὴ
ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, καταστασεῖται κεκλιμένον οὕτως,
ὥστε τὸν μὲν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ
γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Ψ, τὰν δὲ βάσιν αὐτοῦ μηδὲ
καθʼ ἓν ἅπτεσθαι τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας.
Δειχθήσεται δὲ ταῦτα ἑξῆς.
Ἐχέτω δὴ πρῶτον τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρὸν
μείζονα μὲν λόγον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον
ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς
ὑπεροχᾶς τετράγωνον, μείζων ἐστὶν ὁ ἄξων ἢ ἡμιόλιος
τᾶς μέχρι τοῦ ἄξονος, ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△ τετράγωνον,
καὶ ὑποκείσθω τὸ πρότερον κατεσκευασμένον σχῆμα,
ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον
ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△
ἔστι δὴ ἁ Ψ τᾶς μὲν ΞΟ μείζων, ἐλάσσων δὲ τᾶς ὑπεροχᾶς,
penes B΄; demonstrabitur autem quae OϠ dupla
ipsius ϠN, sicut demonstrata est quae Μ(??) ipsius
(??)Χ dupla, ab O autem ducatur quae O(??) contingens
sectionem APOL. quae autem OC perpendicularis
super BD, et ab A ad N copuletur ; erunt autem
quae AN, QN aequales inuicem. Quoniam enim in
similibus portionibus AΡOL, AXD productae sunt a
basibus ad portiones quae AN, AQ aequales angulos
facientes ad bases, eandem proportionem habebunt
quae QA, AN cum ipsis LA, AD propter secundam
figuram praescriptarum ; aequalis ergo quae AN
ipsi QΝ, et aequedistans ipsi O(??). Demonstrandum,
quod dimissa in humidum ita, ut basis ipsius non
secundum unum tangat
humidi tangat, et
Dimittatur enim et consistat ita, ut basis ipsius
tangat secundum unum signum superficiem humidi,
secta autem portione per axem plano recto ad superficiem
humidi superficiei quidem portionis sectio sit
quae APOL rectanguli coni sectio, superficiei autem
humidi quae OA, axis autem sectionis et diameter
autem PS perpendicularis super BD, quoniam igitur
portio ad humidum in grauitate proportionem habet
quam tetragonum quod a Ψ ad id quod a BD, quam
autem proportionem habet portio ad humidum,
hanc habet demersa ipsius portio ad totam, quam
autem demersa ad totam, tetragonum quod a TP
ad id quod a DB, erit quae Ψ ipsi TP aequalis.
Et quae NO ergo ipsi TP aequalis est quare et
portiones APQ, APO inuicem sunt aequales. Quoniam
autem in portionibus aequalibus et similibus APOL,
AMQL ab extremitatibus basium productae sunt
quae OA, AQ, et portiones ablatae faciunt ad
diametros angulos aequales propter tertiam figuram
praescriptarum, quare anguli qui apud (??), G sunt
aequales, et quae (??)B, GB, ergo aequales sunt ; quare
et copulata quae ΚΩ educatur ad E ; totius quidem
igitur centrum grauitatis erit K, eius autem portionis
quae intra humidum centrum Ω, eius autem quae
extra in linea ΚΕ ; et sit E. Quae autem ΚΖ perpendicularis
erit super superficiem humidi ; quare et
quae per signa Ε, Ω aequidistanter ipsi ΚΖ. Non
ergo manet portio, sed reclinabitur, ut basis ipsius
nec secundum unum tangat superficiem humidi,
quoniam nunc secundum unum tacta ipsa reclinatur ;
manifestum igtur quod portio consistet ita, ut axis
ad superficiem humidi faciat angulum maiorem
angulo (??).
Ηabeat autem portio ad humidum in grauitate
hanc proportionem, quam habet tetragonum quod
humidi quae OI, axis autem portionis et diameter
sectionis quae BD, et secetur quae BD ut prius, et
ducatur quae quidem PN aequedistanter ipsi IO
contingens sectionem secundum P, quae autem ΡΓ
aequedistanter ipsi BD, quae autem PS perpendicularis
super BD. Demonstrandum quod portio non
manet inclinata sic, sed inclinatur, donec utique basis
secundum unum signum tangat superficiem humidi.
Praeiaceant autem et quae insuperiori figura prius
disposita sunt, et quae CO perpendicularis ducatur
super BD, et quae AX copulata educatur ad Q ;
erit autem quae AX ipsi XQ aequalis ; et ducatur
ipsi AQ quae O(??) aequedistans. Et quoniam supponitur
portio ad humidum in grauitate hanc habere proportionem,
quam habet tetragonum quod ab XO ad
id quod a BD, habet autem hanc proportionem et
portionibus aequali bus et similibus AΡOL, AOQL
productae sunt AQ, IO aequales portiones auferentes,
hoc quidem ab extremitate basis, hoc autem non
ab extremitate, palam quod minorem facit acutum
angulum ad diametrum totius portionis, quae ab
extremitate basis producta est. Et quoniam angulus
qui apud (??) est minor quam qui apud Ν, maior est
quae BC quam BS, quae autem CR minor quam RS ;
quare et quae O(??) minor quam ΡϠ,
est ipsius (??)X, palam quod quae PϠ maior est quam
dupla psius ϠT. Sit igitur quae PH dupla ipsius HT.
Καὶ ἐπεζεύχθω ἁ ΗΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ω. Ἐσσεῖται
δὴ τοῦ μὲν ὅλου τμάματος κέντρον τοῦ βάρεος τὸ Κ,
τοῦ δὲ ἐν τῷ ὑγρῷ τὸ Η, τοῦ δʼ ἐκτὸς ἐπὶ τᾶς ΚΩ· ἔστω
τὸ Ω. Δειχθήσεται δὴ ὁμοίως ἅ τε ΚϠ κάθετος ἐπὶ τὰν
τοῦ ὑγροῦ ἐπιφάνειαν καὶ αἱ διὰ τῶν Η, Ω σαμείων παρὰ
τὰν ΚϠ. Δῆλον οὖν ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλʼ ἐπικλιθήσεται,
ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ ἅπτηται καθʼ ἓν
σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας, καθάπερ demonstrabitur
in tertia figura, quomodo se habet in tertio
theoremate, et manebit portio ita consistens.
In portionibus enim aequalibus AΡOL, AOQL
productae erunt ab extremitatibus basium quae AQ,
AO aequales
aequales igitur facient acutos angulos quae AO, AQ
ad diametros portionum, quoniam aequales sunt
qui apud Ν, (??) anguli. Et
ϠT copulata autem ipsa ϠΚ et educta ad Ω erit
totius quidem portionis centrum grauitatis Κ, eius
autem quae intra humidum Ϡ, eius autem quae
extra in linea ΚΩ ; et sit Ω. Et quae ΚϠ
καὶ
Ηabeat etiam rursum portio ad humidum in
grauitate proportionem minorem ea, quam habet
tetragonum quod ab NT ad id quod a BD, quam
autem proportionem habet portio ad humidum in
grauitate, hanc habeat tetragonum quod a Ψ
portionum AMD, APOL quae Pl aequedistanter
ipsi BD producta aequalis ipsi Ψ, secet autem ipsa
intermediam coni sectionem penes Y, ipsam autemΧR
εὐθεῖαν κατὰ τὸ Η. Δειχθήσεται δὴ ἁ ΠΥ διπλασία τᾶς
ΥΙ, καθάπερ ἐδείχθη καὶ ἁ ΓΟ τᾶς ΓΧ. Ἀχθω δὲ καὶ ἁ
μὲν ΠΩ ἐφαπτομένα τᾶς ΑΠΟΛ κατὰ τὸ Π, ἁ δὲ ΠΕ
κάθετος ἐπὶ τὰν Β△, καὶ ἁ ΙΑ ἐπιζευχθεῖσα
ἅπτεσθαι τοῦ ὑγροῦ, οὕτως καταστασεῖται κεκλιμένον,
ὥστε τὸν ἄξονα ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν τοῦ ὑγροῦ γωνίαν
ποιεῖν
Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρὸν καὶ καθεστακέτω οὕτως,
ὥστε τὰν
τομὰ ἔστω τᾶς μὲν τοῦ τμάματος ἐπιφανείας ἁ ΑΗΒΛ
ὀρθογωνίου κώνου τομά, τᾶς δὲ τοῦ ὑγροῦ ἐπιφανείας
ἁ ΑΖ, ἄξων δὲ καὶ διάμετρος τᾶς τομᾶς ἁ △Β, καὶ τετμάσθω
ἁ Β△ κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως
ad humidum in grauitate hanc habet proportionem,
quam habet tetragonum quod a Ψ ad id quod a
BD, quam autem proportionem habet portio ad
humidum in grauitate, hanc habet tetragonum quod
ab HT ad id quod a BD propter eadem prioribus,
palam quod quae HT est aequalis ipsi Ψ ; quare
et portiones AHZ, APQ sunt aequales. Et quoniam
in portionibus aequalibus et similibus AΡOL, AHZL
ab extremitatibus basium sunt productae quae AQ,
AZ aequales portiones auferentes, palam quod
aequales faci unt angulos ad diametros portionum.
Adhuc autem et trigonorum ΗIS, PΩE aequales sunt
anguli qui apud I, Ω ; erunt
quae PY ipsius YI, manifestum quod minor est quam
dupla quae H Ϡ ipsius ϠT. St igitur quae HY dupla
ipsius YT, et copulata protrahatur quae YKC ; sunt
autem centra grauitatum totius quidem K, eius
autem quod intra humidum Y, eius autem quod
extra in linea ΚC ; et sit C. Erit autem propter
praecedens theorema hoc manifestum quod non
manet portio, sed inclinabitur ita, ut basis ipsius
nec secundum unum tangat superficiem humidi.
Quod autem consistet ita, ut axis ipsius ad superficiem
humidi faciat angulum minorem angulo Φ
δειχθήσεται ἁ ΘΗ ἴσα τᾷ Ψ· ὥστε καὶ τᾷ ΙΠ ἴσα. Ἐπεὶ
οὖν ἁ Λ γωνία οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς Φ, οὐκ ἄρα μείζων
ἐστὶν ἁ ΓΒ τᾶς ΣΒ, οὐδὲ ἁ ΓΡ ἐλάσσων τᾶς ΣΡ οὐδὲ ἁ
ΗϠ τᾶς Θ(??). Καὶ ἐπειδὴ ἁ ΙΠ ἡμιολία ἐστὶ τᾶς ΠΥ, ἐλάσσων
δὲ ἁ ΠΥ τᾶς Θ(??), καὶ ἁ μὲν ΗΘ ἴσα τᾷ ΠΙ, ἁ δὲ ΗϠ οὐκ
ἐλάσσων τᾶς Θ(??), μείζων ἔσται ἁ ϠΗ τᾶς ΠΥ ἁ ἄρα ΗϠ
μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ. Ἔστω δὴ ἁ ΗΥ διπλασία
τᾶς ΥΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἁ ΥΚ ἐκβεβλήσθω δῆλον δὴ
ὁμοίως τοῖς πρότερον ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ κλιθήσεται,
ὥστε τὸν ἄξονα αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐπιφάνειαν
ὑγροῦ γωνίαν ποιεῖν ἐλάσσονα τᾶς Φ
Similiter autem demonstrabitur
tangat superficiem humidi, consistet inclinata ita,
ut basis ipsius secundum unum signum tangat
superficiem humidi, et axis ipsius ad superficiem
humidi faciat angulum aequa em angulo qui apud Φ.
Ἔστω δὴ πάλιν τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸ ὑγρὸν τῷ βάρει
μείζονα μὲν λόγον ἔχον τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΖΠ
τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, ἐλάσσονα δὲ τοῦ ὃν
ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΞΟ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△,
ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τμᾶμα τῷ βάρει ποτὶ τὸ ὑγρόν, τοῦτον
ἐχέτω τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△
δῆλον οὖν ὅτι ἁ Ψ, τᾶς μὲν ΖΠ μείζων ἐστίν, τᾶς δὲ ΞΟ
ἐλάσσων. Ἐναρμόσθω δὴ εἰς τὸ μεταξὺ τᾶν ΑΞ△, ΑΠΟΛ
τμημάτων ἴσα τᾷ Ψ, παράλληλος δὲ τᾷ Β△ ἁ ΦΙ τέμνουσα
τὰν μεταξὺ τοῦ κώνου τομὰν κατὰ τὸ Υ · πάλιν δὴ ἁ
ΦΥ διπλασία τᾶς ΥΙ δειχθήσεται, καθάπερ ἁ ΟΓ τᾶς
ΞΓ. Ἄχθω δὲ ἀπὸ τοῦ Φ τοῦ ΑΠΟΛ ἐφαπτομένα κατὰ τὸ
Φ ἁ ΦΩ ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται ἁ μὲν
ΑΙ τᾷ ΧΙ ἴσα, ἁ δὲ ΑΧ τᾷ ΦΩ παράλληλος. Δεικτέον δὲ
ὅτι τὸ τμᾶμα ἀφεθὲν ἐς τὸ ὑγρόν, ὥστε τὰν βάσιν μὴ
ἅπτεσθαι τᾶς ἐπιφανείας τοῦ ὑγροῦ, καὶ τεθὲν κεκλιμένον
οὕτως κλιθήσεται, ὥστε τὰν βάσιν αὐτοῦ κατὰ πλείονα
τόπον τέμνεσθαι ὑπὸ τοῦ ὑγροῦ.
Ἀφείσθω γὰρ εἰς τὸ ὑγρόν ὡς εἴρηται, καὶ κείσθω τὸ
πρῶτον καὶ οὕτως κεκλιμένον,
ὑγροῦ ἐπιφάνειαν ἐν μὲν τᾷ τοῦ τμάματος ἐπιφανείᾳ
γίνεται τομὰ ἁ ΑΒΓ, ἐν δὲ τᾷ τοῦ ὑγροῦ ἁ ΕΖ, ἄξων δὲ
ἔστω τῆς τομῆς καὶ διάμετρος τοῦ τμήματος ἁ Β△,
καὶ τετμάσθω ἁ Β△ κατὰ τὰ Κ, Ρ ὁμοίως τοῖς πρότερον,
ἀχθῶ δὲ καὶ ἁ μὲν ΗΛ παρὰ τὰν ΕΖ ἐφαπτομένα τᾶς
ἀπὸ τῆς ΑΒΓ τομᾶς κατὰ τὸ Η, ἁ δὲ ΗΘ παρὰ τὰν
Β△, ἁ δὲ ΗΣ κάθετος ἐπὶ τὰν Β△. Ἐπεὶ δὲ τὸ τμᾶμα τῷ
βάρει λόγον ἔχει ποτὶ τὸ ὑγρόν, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς Ψ τετράγωνον
ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς Β△, δῆλον ὅτι ἁ Ψ ἴσα ἐστὶν τᾷ
ΗΘ δειχθήσεται γὰρ ὁμοίως τοῖς πρότερον ὥστε καὶ
ἁ ΗΘ ἴσα ἐστὶν τᾷ ΦΙ καὶ τὰ τμάματα ἄρα τὰ ΑΦΧ,
ΕΒΖ ἴσα ἐστὶν ἀλλάλοις. Ἐπεὶ δʼ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις
τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ, ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ, ΕΖ
Ω γωνίας τοῦ ΦΤΩ τριγώνου, δῆλον ὅτι ἐλάσσων ἐστὶν
ἁ Βς΄ τᾶς ΒΤ, ἁ δὲ ς΄Ρ τᾶς ΡΤ μείζων, καὶ ἁ ΗϠ μείζων τᾶς
ΦΗ ἁ ϠΘ ἄρα ἐλάσσων τᾶς ΗΙ. Καὶ ἐπεὶ διπλασία ἐστὶν
ἁ ΦΥ τᾶς ΥΙ, δῆλον ὅτι ἁ ΗϠ, μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία
τᾶς
δὴ ἐκ τούτων ὅτι οὐ μενεῖ τὸ τμᾶμα, ἀλλὰ ἐπικλιθήσεται,
ἕως ἂν ἁ βάσις αὐτοῦ θίγῃ καθʼ ἓν σαμεῖον τᾶς τοῦ ὑγροῦ
ἐπιφανείας.
Ἁπτέσθω δὴ καθʼ ἓν σαμεῖον, ὡς ἐν τῷ τρίτῳ σχήματι
ἐγράφθη, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω δειχθήσεται
δὴ πάλιν ἅ τε ΘΗ ἴσα ἐοῦσα τᾷ ΦΙ καὶ τὰ ΑΦΧ, ΑΒΖ
τμάματα ἴσα ἀλλάλοις. Καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις καὶ ὁμοίοις
τμαμάτεσσι τοῖς ΑΠΟΛ, ΑΒΓ ἀγμέναι ἐντὶ αἱ ΑΧ, ΑΖ
ἴσα τμάματα ἀφαιροῦσαι, ἴσας ποιοῦσι γωνίας ποτὶ
μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία τᾶς ϠΘ. Ἔστω οὖν ἁ Η(??) τᾶς
(??) Θ διπλασίων πάλιν δὴ ἐκ τούτων δῆλον ὡς οὐ μενεῖ
τὸ τμᾶμα, ἀλλʼ ἐπικλιθήσεται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Α. Ἐπεὶ
δὴ καθʼ ἓν σαμεῖον ὑπετέθη τὸ τμᾶμα ἅπτεσθαι τοῦ
ὑγροῦ, δῆλον ὅτι κατὰ πλείονα τόπον ἁ βάσις ὑπὸ τοῦ
ὑγροῦ καταλαφθήσεται.