21. Κατὰ τὸ σχόλιον τὸ ἐν τῷ αʹ 8.

22. φθήσεται ἄρα ἐπʼ εὐθείας p. 314, 5 ἐπειδὴ τὸ Α αὐτὸ οὐχ ὁρᾶται ἐν τῷ ἐσόπτρῳ, ἀλλὰ τὸ εἴδωλον αὐτοῦ, ὃ ἔσω που τῇ νοήσει τοῦ ἐσόπτρου ὁρώμενον κατὰ τὴν σύμπτωσιν ὁρᾶται κατὰ τὸ Ε, ἐπειδή, εἰ ἐπʼ εὐθείας εἰσὶν αἱ ὁράσεις, τὸ Β ἔσω που τοῦ ἐνόπτρου ὄψεται, εἰ δὲ ἔσω, ἀνάγκη ἀπὸ τοῦ ὁρωμένου ἀχθεῖσαν εἰς σύμπτωσιν αὐτῆς φθάσαι, ὡς ἔσται τόπος τοῦ ἔσω δοκοῦντος ἐν τῷ ἐνόπτρῳ φαίνεσθαι.

23. Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστίν p. 316, 9 διὰ τὸ τὰς μὲν ἀνακλωμένας ἴσας εἶναι, ἐκβληθείσης δὲ τῆς ΘΓ τὰς κατὰ κορυφὴν ἴσας εἶναι.

24. Καὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον p. 316, 14 ἐὰν ἐπιζεύζωμεν ἀπὸ τοῦ Κ καὶ Ε ἐπὶ τὸ Θ, δύο αἱ ΚΖΘ δυσὶν ταῖς ΕΖΘ ἴσαι, καὶ γωνία καὶ γωνίᾳ, ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΘΖ ἴση. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ ὑπὸ ΛΘΖ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ∠ΘΖ ἴση· ὀρθὴ γὰρ ἐκατέρα· ἐξ ὧν αἱ προρηθεῖσαι ἴσαι, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΘ∠ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΘΛ ἴση. ἐπεὶ οὖν δύο αἱ ΚΘΛ δυσὶν ταῖς ΕΘΛ ἴσαι, καὶ γωνία γωνίᾳ, καὶ βάσις ἡ ΛΚ βάσει τῇ ∠Ε ἴση.

21. V q1; ad p. 312, 2. 22. V (q). 23. V (q1). 24. V(q).9. ἔσω] ἔσο V. 18. καί (sec)] ς` V; fort. ἴση. 19. ΚΘΖ] scr. ΚΘΖ τῇ ὑπὸ ΕΘΖ. 20. ∠ΘΖ] ∠ supra scr. m. 1 V.23. ἴσαι) ἴση V.

25. Δίχα ἄν εἴη τετμημένη p. 318, 10 ἐπεὶ οὖν αἱ διὰ τὴν ἀνάκλασιν ἴσαι, ἐξ ὧν αἱ ἀπολαμβανόμεναι πρὸς τῇ περιφερείᾳ ὑπὸ τῆς ΚΡ ἴσαι διὰ τὸ σχόλιον τὸ ἐν τῷ αʹ 8, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΑΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΚΑΟ ἴση. ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΡΑΒ τῇ ὑπὸ ΖΑΚ ἴση ἐστίν· κατὰ κορυφὴν γάρ· καὶ ἡ ὑπὸ ΟΑΚ ἄρα ἴση τῇ ὑπὸ ΚΑΖ.

26. Μείζων ἄρα ἡ ΕΚ p. 318, 11 ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΖΕ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ Α γωνία τῇ ΑΚ, καὶ ἔστω ἀμβλεῖα ἡ ὑπὸ ΑΚΕ. λέγω, ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ. ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Α Λ, καὶ περὶ τὸ τρίγωνον τὸ Α Ζ Ε κύκλος περιγεγράφθω, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἡ Α Λ καὶ ἡ ΑΚ. εἴτε δὲ ὀξεῖα εἴη ἡ Ζ εἴτε ὀρθὴ εἴτε ἀμβλεῖα, προβαίνει. ἡ ἀπόδειξις. εἰ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΑΕ τῇ ὑπὸ ΚΑΖ, ἴση καὶ ἡ ΕΝ περιφέρεια· μείζων ἄρα ἡ ΕΜ τῆς ΜΖ. μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΕ τοῦ ἀπὸ ΜΖ, τουτέστι τὰ ἀπὸ Μ Λ, ΛΕ τῶν ἀπὸ Μ Λ, Λ Ζ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ Μ Λ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΛ τοῦ ἀπὸ ΛΖ μεῖζόν ἐστιν. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΛΑ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΕΛ, ΛΑ, 25. V (q). 26. V (q). 2. ἴσαι] καί V. ἀπολαμβανόμεναι] ἀπολαμβανομένων αἱ V. 4.Post τό ras. 1 litt. V. 6. κορυφήν] κορυφ V. 7. Κ ΑΖ] e corr. q, ΚΛΖ V. 9. τετμήσθω] τεαχθησθω V. 18 εἰ] scr. ἐπεί? 20. ἡ ΕΝ] ΕΝ V. Post περιφέρεια ad. dendum τῇ ΜΖ περιφερείᾳ τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΕ, μείζονα τῶν ἀπὸ Λ, ΛΑ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΑ. μείζων ἄρα ἡ ΑΕ εὐθεῖα τῆς ΖΑ εὐθείας. καὶ τέτμηται ἡ Α δίχα τῇ ΑΚ ἐὰν δὲ τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῇ, τὰ τῆς βάσεως τμήματα τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον ταῖς τοῦ τριγώνου πλευραῖς· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ. ἐὰν δὲ καὶ ὀρθὴ ἢ ἀμβλεῖα εἴη ἡ Ζ, αὐτόθεν ἡ ἀπόδειξις· ἐν τριγώνῳ γὰρ τῷ ΑΖΕ ὀρθὴν ἢ ἀμβλεῖαν ἔχοντι τὴν μείζων ἔσται ἡ ΑΕ τῆς ΑΖ. καὶ τέτμηται ἡ Α δίχα τῇ ΑΚ, ἐὰν δὲ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ καὶ τὰ ἑξῆς· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΚ τῆς ΚΖ.

27. Καὶ ἀμβλεῖά ἐστιν p. 318, 11 ἐπειδὴ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζευγνυμένη ὀρθὴν ποιεῖ τὴν ὑπὸ ΘΑΚ, ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΚ Α ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΚΕ.

28. Οὐκοῦν ἀπὸ τοῦ κυρτοῦ p. 318, 19 ἐὰν γὰρ τὸ κέντρον λαβόντες τῆς σφαίρας ἀπʼ αὐτοῦ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ ὁρώμενον καὶ ἐκβάλωμεν ὡς ἐν τοῖς πρὸ αὐτοῦ, θεωρηθήσεται τὸ Ε∠ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ, ὥσπερ καὶ ἐν τοῖς προλαβοῦσιν· τὰ γὰρ ὁρώμενα πάντα ἐν γωνίᾳ ὁρᾶται.

29. περ ἀδύνατον p. 320, 10 ἐπεὶ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Γ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΧΑΕ διὰ τὴν ἀνάκλασιν, ἡ πρὸς τῷ Μ ἄρα ἐλάσσων ἐστὶν τῆς πρὸς τῷ Ι· πολλῷ πλέον ἄρα τῆς ὑπὸ ΓΑΒ.

27. V (q). 28. V (q). 29. V (q.) euan.).1. τό] τά V. 15. ΑΚΕ] V, ΚΑΕ p. 23. Ι] e corr. V. ΧΑΕ] Χ ponendum in parte sinistra speculi.

30. Ὁ συλλογισμὸς οὕτω· τόδε τοῦδε ἔλασσον· τόδε τῷδε ἴσον· τόδε ἄρα τοῦδε ἔλασσον.

31. Δίχα δὴ τεμεῖ p. 322, 13 ἐὰν γὰρ ἐφαπτομένην ἀγάγωμεν διὰ τοῦ Γ, αἱ μὲν ὑπὸ τῆς ἐφαπτομένης καὶ τῆς ΘΚ γινόμεναι ἴσαι· ὀρθὴ γὰρ ἐκατέρα· ἐξ ὧν αἱ ἀπολαμβανόμεναι ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων καὶ τῶν ἀνακλωμένων ἴσαι διὰ τὸ τὰς ἀνακλωμένας ἴσας εἶναι, ἐξ ὧν τὰς κερατοειδεῖς ἴσας διὰ τὸ σχόλιον τὸ ἐν τῷ αʹ 8. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΕ∠1) δίχα τέμνεται.

32. Ἔστι δὲ καὶ ἐλάσσων p. 322, 20 ἐπειδὴ ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΚ ἴση τῇ ὑπὸ ΘΓΕ κατὰ κορυφὴν γάρ· ἡ δὲ ὑπὸ ΘΓΕ ἐλάσσων τῆς ἐκτὸς τριγώνου τοῦ ΘΓΕ.

33. αὐτή p. 324, 12 τουτέστιν ἡ ἀπὸ τῆς μείζονος σφαίρας· δυνατὸν γὰρ καὶ κατὰ πλείονας ἀκτῖνας ὁρᾶν.

34. Τοῦτο δὲ ἐπάνω p. 324, 15 ἐν αὐτῷ ἄρα τῷ θεωρήματι ἀπὸ τῶν διχοτομιῶν τῶν γωνιῶν.

35. Οὐκοῦν τῶν ὄψεων μέγισται p. 326, 3 διὰ τὸ τοῦ γʹ βιβλίου τῆς ἐπιπέδου 8· ἡ ἐλαχίστη γὰρ ἡ μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου, τῶν δὲ πρὸς τὴν κυρτὴν περιφέρειαν ἀεὶ ἡ ἔγγιον τῆς μεταξὺ τοῦ τε σημείου καὶ τῆς διαμέτρου τῆς ἀπώτερον ἐλάττων.

1) Debuit dici ΒΓ∠; sed in Β Ε∠ similiter ratiocinandum est, et fortasse huius rei mentio excidit.30. V q (ad p. 320, 11 sq.). 31. V (q). 32. V (q1) 33. Vq1. 34. Vq1. 35. V (q1).11. ΘΓΕ] Ε e corr. V. κορυφήν] κορυφ V. A p. 324, 20 in V adscrbitur: ὡς κατὰ τὴν καταγραφὴν τὴν ὑπο κειμένην. 19. τό] om. q. βιβλίου] om. q. Post ἐπιπέδο supra scr. Εὐκλείδου m. rec. V, m. 1 q.

36. Οὐκοῦν ἴση ἡ Ε p. 326, 12 πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἴσας ποιοῦσι γωνίας κατὰ τὴν ἐφαρμογὴν τῶν ἡμικυκλίων.

37. Οὐκοῦν μείζων ἐστίν p. 326, 22 ὡς μείζονος τμήματος οὖσα κατὰ τὸ λγʹ τοῦ γʹ βιβλίου τῆς ἐπιπέδου.

38. Ἀνακλώμεναι αἱ ὄψεις p. 328, 21 ἐὰν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ κέντρον, τουτέστι τὸ Ζ, ἔσονται αἱ τῶν ἡμικυκλίων ἴσαι κατὰ τὴν ἐφαρμογὴν ἡ ὑπὸ ∠ΚΖ τῇ ὑπὸ ΖΚΑ. ὥστε ἡ ὑπὸ ∠ΚΘ ἐλάττων τῆς ὑπὸ ΖΚΑ, πολλῷ πλέον τῆς ὑπὸ ΘΚ Α. ὁμοίως καὶ ἐὰν ἀπὸ τοῦ Ν ἐπιζεύξωμεν ἐπὶ τὸ Ζ. ὥστε ἀνακλώμεναι αἱ ψεῖς αἱ ΘΚ, ΜΝ ἥξουσιν ὡς αἱ ΚΛ, ΝΞ διὰ τὸ ε΄.

39. Ἀνακλωμένη ἥξει p. 330, 10 ἐπεὶ γὰρ δύο αἱ ΒΖΓ δυσὶν ταῖς ΕΖΓ ἴσαι καὶ γωνία γωνίᾳ, καὶ πάντα πᾶσιν· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΖΓΕ. ἐπεὶ οὖν ὅλη ἡ τοῦ ἡμικυκλίου ὑπὸ ΑΓΖ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΓ∠ ἴση, ἐξ ὧν ἡ ὑπὸ ΒΓΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΖΓΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΓ∠ ἴση. ἥξει ἄρα ἡ ΒΓ ὄψις ἐπὶ τὸ Ε.

40. Δίχα ἄρα τμηθήσεται p. 330, 13 ἐπεὶ γὰρ ἴση ἡ τοῦ ἡμικυκλίου τῇ τοῦ ἡμικυκλίου, ἐξ ὧν αἱ ὑπὸ ΒΘΑ, ∠ΘΕ ἴσαι διὰ τὸ πρῶτον, δίχα ἄρα τέτμηται.