41. Καὶ ἐπεὶ ἑκάστη κτλ. p. 182, 5 ἑκάστην τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθὴν συνάξουσιν εἶναι ἄλλοι μὲν ἴσως ἄλλως, ἐγὼ δὲ τοῦτον τὸν τρόπον. ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ΚΖΒ, ΚΛΒ ἡμικύκλιόν ἐστιν, ἡ ΚΖΒ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΚΛΒ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΚΖ ἴση τῇ ΚΛ· ἴσαι γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι τοῦ ΖΓ∠ κύκλου ὑποτείνουσιν αὐτάς· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια τῇ ΛΒ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ εὐθεῖα ἡ ΖΒ τῇ ΒΛ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΚΖΒ, ΚΛΒ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΒ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΒ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΒ τῇ βάσει τῇ ΛΒ ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΖΚΒ τῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΚΒ ἴσην ἕξει. πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΖΚΘ, ΛΚΘ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΘ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΘ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ, καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΘ βάσει τῇ ΘΛ ἴσην ἕξει. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΚΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν Ζ Λ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ.

39. V Vat. u. 40. V Vat. RF. 41. MR(Vat. m. 2, Frs).5. αἱ ἀκτῖνες] om. R. 8. τόν] RF. om. M Vat. 9. ΚΛΒ] ΚΖΛ MR. 10 ἴση — περιφερείᾳ] R, om. V. 17. καί ( pr.)] μίν M. 23 κέντρου] K RF. 24. κέντρου] κ S ΖΛ] ΛΖ s. 25. τέμνῃ r.

42. Διὰ τὸ παράλληλον p. 182, 6 παράλληλος διὰ τοῦ κηʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων.

43. Ἅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς ἐπὶ τῶν ὁρωμένων γίνεται, ταῦτα καὶ διʼ ἀποδείξεων πιστώσασθαι βουλόμενος ὁ γεωμέτρης τῶν θεωρημάτων παραμυθίας ἀπὸ τῶν γραμμῶν κομίζει κύκλους ἀναγράφων ἐν ταῖς ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἀποπεμπομέναις ἀκτῖσιν καὶ ἐπίπεδα διὰ τῶν ὄψεων ἐκβάλλων καὶ ἕτερα τοιαῦτα ποιῶν, οὐχ ὅτι, ταῦτα μὲν ἐὰν γένηται, ἔσται ἀληθὴς ἡ τοιάδε αὐτοῦ πρότασις, καὶ καθʼ ὄν αὐτός φησι τρόπον θεωρήσουσι τὸ τοιόνδε σχῆμα αἱ ὄψεις, ἐὰν δὲ μὴ γένηται, ψευδής· ἡ γὰρ ἄν, εἰ τοῦτο οὕτως εἶχεν, ἐν τῇ πιθανότητι τῶν ἀποδείξεων ἔκειτο ἂν ἡ τούτων εὕρεσις μόνον, ἀλλʼ οὐκ ἐν τῇ φύσει τῶν ὁρωμένων, καὶ γραφομένων μὲν τῶν κύκλων ἢ τῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων ἑωρᾶτο ἂν τὸ ὁρώμενον, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, μὴ γινομένων δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐθεωρεῖτο τοιοῦτον, ὡς εἶναι μᾶλλον αὐτὸ διὰ τὴν ἀπόδειξιν οὕτως ἔχον ἢ διὰ τὴν φύσιν. τὸ δὲ οὐχ οὕτως ἔχει, ἀλλὰ ὅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς συμβαίνει πάσχειν ταῖς ὄψεσι προσβαλλούσαις τῷ τοιῷδε σχήματι οἷον κυλινδροειδεῖ ἢ κωνοειδεῖ ἢ σφαιροειδεῖ ἐπὶ πλέον ἀφισταμέναις ἢ προσεγγιζούσαις αὐτῷ, τοῦτο δὴ βουλόμενος ἀποδεικνύειν ὁ γεωμέτρης παραμυθεῖται τὴν ἀπόδειξιν διὰ 42. F Vat. 43. V2 ad prop. 24, p in textu inter propp 23 et 24. 1. παράλληλος ] om. F. 2. κηʹ — Στοιχείων] καʹ τῶν Εὐκλείδου F. 4. γίνωνται p. βουλόμενος] βούλεται p 5. τῶν θεωρημάτων] supra scr. V. 6. κομίζων p 7. ἀκτῖσι p. 13. τούτων] τῶν τοιούτων p. 20. προσβαλούσαις p. ἐπιπέδων τε καὶ κύκλων καὶ τοιούτων τινῶν, ἵνα κατὰ πάντα σύμφωνον αὐτὴν ποιήσῃ τοῖς ἐν τῇ γεωμετρίᾳ στοιχείοις καὶ παρασκευάσῃ τὸν ἀκροατὴν μετὰ πολλῆς ὅτι μάλιστα ἡδονῆς ἐγκύπτειν τοῖς θεωρήμασιν, ὥσπερ ἀμέλει καὶ ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς ἔστιν ἰδεῖν αὐτὸν ποιοῦντα καὶ γεωμετρίας καὶ τῶν ἄλλων μαθημάτων. ὅτι μὲν γὰρ δύο τετραγώνων ἀριθμῶν εἷς μέσον ἀνάλογόν ἐστιν ἀριθμός, τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ἀλλʼ οὐ δεῖ τοῦτο μόνον ἀπʼ αὐτῆς εἰδέναι τῆς αἰσθήσεως, ἵνʼ οὕτως εἴπω, ἀλλὰ καὶ διʼ ἀποδείξεως ἀσφαλεστέραν ἔχειν τὴν περὶ αὐτοῦ γνῶσιν. ὁμοίως δὲ καὶ τοῦτο ἀληθές ἐστιν, ὅτι, ἐὰν δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας, τὰς κατὰ κορυφὴν γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιήσουσιν, καὶ φανερὸν ἀπὸ τῆς αἰσθήσεως, ἀλλʼ οὐκ ἀπόχρη πρὸς ἐπιστήμην τὸ οὕτως εἰδέναι μόνον, ἀλλʼ ἔχειν τοῦτο ὁμολογούμενον ἔκ τινων προτέρων καὶ γνωριμωτέρων· τοῦτο δέ ἐστιν ἡ ἀπόδειξις. ὁ αὐτὸς τοίνυν λόγος ἐστὶ καὶ ἐπὶ τούτων, ὅτι φυσικῶς ἔχει ἡ ὅρασις οὕτως ὁρᾶν τὰ ὁρώμενα, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, ἵνα δὲ καὶ ἐπιστήμην αὐτῶν ἔχωμεν, πρὸς κατάληψιν ἀκριβεστέραν παραλαμβάνονται ἐν ταῖς ἀποδείξεσιν αὐτῶν κύκλοι καὶ ἐπίπεδα καὶ ἄλλα τοιαῦτα.

χρὴ δὲ εἰδέναι, ὡς τοὺς κύκλους καὶ τὰ ἐπίπεδα, ὅταν μὲν ὁρῶμεν αὐτὰ τὰ σώματα οἷον σφαῖραν ἢ κύλινδρον, νοητῶς δεῖ ἀναγράφειν ἢ ἐκβάλλειν, ὅταν δὲ ἐν ἐπιπέδῳ, αἰσθητῶς ὡς ἐνταῦθα.

4. ἐγγύπτειν V. 6. μαθηματικῶν p. 7. μέσον] sic Vp. 10 διʼ] διά p. 13. ποιήσουσι p. 15. ἀλλʼ] ἀλλά p.24. οἷον — 25 κύλινδρον] ins. ead. man. V.

Ad prop. XXIV.

44. Αἱ ΡΖ, ΡΣ καθʼ ἓν ἐφάπτονται p. 184, 5 ἐφάπτονται ἄρα διὰ τὸ ἐν τῷ ιϚʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων πόρισμα.

Ad prop. XXVI.

45. Ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ p. 186, 7 χρὴ δὲ νοεῖν, ὅτι ἡ διάστασις τῶν ὀμμάτων παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου.

46. Τουτέστιν ἐπιζευχθεισῶν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα εὐθειῶν.

47. Ἔλασσον ἂν εἴη p. 186, 16 εἰ γὰρ τεθείη τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ, διὰ τὸ κγʹ τῶν Ὀπτικῶν ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος.

48. Τὸ ΖΝ∠ p. 186, 16 τουτέστιν τὸ ὑπὸ τοῦ κύκλου διοριζόμενον τοῦ περὶ τὴν ∠ΝΖ.

Ad prop. XXVIII.

49. Ὃν τρόπον ἐπὶ τοῦ κγʹ καὶ κδ΄ ἔδειξεν, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν δύο τούτων τοῦ κηʹ καὶ κθʹ, πλὴν ἐκεῖ μὲν ἐπὶ σφαίρας, ὧδε δὲ ἐπὶ κυλίνδρου.

Ad prop. XXX.

50. Κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν p. 192, 2 οὐχί, διότι ἔστι τις κῶνος μὴ ἔχων κύκλον τὴν βάσιν, τοῦτό φησιν, ἀλλὰ τὴν φύσιν τοῦ κώνου παραστῆσαι βουλόμενος.

44. Vat. RFu. 45. Vq. 46. V Vat.q; quid sibi uelit, nescio. 47. Vat. RF. 48. V Vat.q. 49. V1q. 50. R (Vat. A F q).3. ἐν τῷ] supra scr. R. 14. τό] supra scr. m. rec. V. 15. περί ] comp. V, παρά q. ∠ΝΖ] ΑΝΖ V Vat. q. 17. οὕτω q.