1. Διάστημα p. 2, 3 ἤτοι κατὰ διαστάσεις καὶ τὰς ἀπʼ ἀλλήλων ἀποτμήσεις.

2. Ἐν διαστήματι p. 4, 1 τουτέστι κατὰ διάστασιν.

3. Τουτέστιν ἐπεὶ μὴ συνεχεῖς προσπίπτουσιν αἱ ὄψεις, ἀλλὰ κατὰ διάστημα, ἔσονταί τινα ἐν τῷ Α∠ διαστήματι, πρὸς ἃ αἱ ὄψεις οὐ προσπεσοῦνται.

4. Δεῖ γὰρ τὰ ὁρώμενα ἀπόστασίν τινα ἔχειν πρὸς τὸ ὄμμα· οὕτω γὰρ ὁραθήσεται· ὡς εἴ γε μηδεμίαν ἔχει ἀπόστασιν, οὐχ ὁραθήσεται.

5. Μείζων ἂν ἦν τῆς Γ∠ p. 4, 20 μάνθανε, διὰ τί μείζων ἡ ΚΛ τῆς Γ∠ καίτοι ἴση οὖσα κατὰ τὴν ὑπόθεσιν, ὅταν διέλθῃ καὶ ἡ ΕΚ καὶ ἡ Ε Λ διὰ τῆς Γ∠. ἐπεὶ παράλληλος ἐλήφθη ἡ Γ∠ τῇ ΚΛ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΚΕ, ἐγένετο ἡ ἐκτὸς γωνία ἴση τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον ἡ ὑπὸ ∠ΓΕ τῇ ὑπὸ ΛΚΓ. διὰ τὸν αὐτὸν λόγον καὶ ἡ πρὸς τῷ ∠ τῇ πρὸς τῷ Λ. ἔστι δὲ καὶ κοινὴ γωνία ἡ πρὸς τῷ Ε· καί εἰσι δύο τρίγωνα τὰ ΓΕ∠, ΚΕΛ τὰς τρεῖς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχοντα — ἡ πρὸς τῷ Γ τῇ πρὸς τῷ Κ, ἡ πρὸς τῷ ∠ τῇ πρὸς τῷ Λ, κοινὴ ἡ πρὸς τῷ Ε —, τῶν δὲ 1. Vb. 2. V2. 3. V2. 4. V2. 5. Vb. 12. Per totum schol. Ε positum est pro Β. ἡ (alt. )] supra scr. τῆς Γ∠] h. e. τῶν Γ, ∠. ἰσογωνίων τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ διὰ τοῦ δʹ τοῦ Ϛʹ τῶν Στοιχείων. ἔσται οὖν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΕΛ πρὸς τὴν ΛΚ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΚΛ. μείζων δὲ ἡ ΕΛ τῆς Ε∠· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΚΛ τῆς Γ∠.

6. Ὑπὸ πλειόνων ὄψεων p. 4, 21 εἰ δὲ ὑπὸ πλειόνων ὄψεων, καὶ ὑπὸ πλειόνων γωνιῶν.

7. Ἐν τῷ μεταξὺ διαστήματι p. 6, 2 τουτέστι τῶν ΒΓ καὶ Β∠ ἐπὶ τὰ ἔμπροσθεν ὡς πρὸς τὸ Κ ἐρχομένων.

8. Οὐκοῦν πρὸς τὸ Κ p. 6, 3 τῶν γὰρ διαστάσεων ἢ μᾶλλον ἀποστάσεων προχωρουσῶν ἔσται μεταξὺ διάστημα, οὗ αἱ ἀποστάσεις διὰ τὸ ἀπʼ ἀλλήλων ἀποσχισθῆναι οὐχ ἅψψονται.

9. Μείζων δὲ πλευρὰ ἡ ΒΖ p. 6, 26 μείζων εὐλόγως· ὀρθὴν γὰρ ὑποτείνει, ἡ δὲ ΖΑ ἐλάττονα ὀρθῆς· οὐ γὰρ ἐγχωρεῖ πολλὰς ὀρθὰς εἶναι ἐν ἑνὶ τριγώνῳ· πᾶν γὰρ τρίγωνον τὰς τρεῖς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ἔχει.

10> Καὶ ἡ ὑπὸ ΖΒΕ p. 6, 28 διὰ τὸ εἰς παραλλήλους τὴν ΕΒ ἐμπεσεῖν καὶ ποιῆσαι τὰς ἐναλλὰξ ἴσας.

11. Μείζων ἄρα ὀφθήσεται p. 8, 1 διὰ τὸν ὅρον, ὅτι τὰ ὑπὸ μειζόνων γωνιῶν ὁρώμενα.

12. εʹ p. 8, 5] ἕτερον τοῦτο τοῦ δευτέρου θεω 6. V1. 7. Vb. 8. Vb. 9. Vb. 10. Va. 11. V 12. V2. 4. ΛΚ] Κ e corr. ρήματος· ἐκεῖ μὲν γὰρ ἐδείκνυεν, ὡς τὰ ἔγγιον κείμενα ἀκριβέστερον ὁρᾶται, ἐνταῦθα δέ, ὡς μεῖζον τὸ ἔγγιον.

13. Μείζων δὲ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΕΒ p. 8, 15 ὡς περιέχουσα· οὐ γὰρ ἂν πέσῃ ἡ ΕΓ πρὸς τῷ Α, ὡς ἐν τῷ β΄ ἤκουσας.

14. Ἐν μετεώρῳ p. 10, 6 ἐπὶ τοῦ πρὸ τούτου θεωρήματος τὸ μὲν ὄμμα ἦν, ἐφʼ ὃ ἐπίπεδον καὶ τὰ παράλληλα διαστήματα, ἐνταῦθα δὲ τὸ ὄμμα μετεωρότερον ἐν μετεώρῳ ὄντων καὶ τῶν διαστημάτων.

15. Ἡ ΑΒ p. 10, 8 ἡ ΑΒ οὐκ ἔστιν ἀκτίς, ἀλλὰ εὐθεῖα, ὡς ἀπό τινος σημείου τοῦ Α ἀγομένη ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ∠Γ, ΕΖ ἐπίπεδον κάθετος. ὁμοίως καὶ ἡ ΑΡ οὐκ ἀκτίς ἐστιν, ἀλλὰ κάθετος εὐθεῖα ἐπὶ τὴν ΡΞ, οὐ μὴν καὶ πρὸς τὸ ἐπίπεδον κάθετος· ἡ γὰρ ΑΒ κάθετος ἦν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον.

16. Ἡ ΑΡ ἄρα ἐπὶ τὴν ΡΞ p. 10, 20 διὰ τὸ δειχθὲν παρὰ τοῦ Πάππου λημμάτιον ἐν τοῖς εἰς τὰ Ὀπτικὰ Εὐκλείδου· ἐὰν ἀπὸ μετεώρου σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου, καθʼ ὃ προσβάλλει τῷ ἐπιπέδῳ ἡ κάθετος, ἀχθῇ πάλιν κάθετος πρός τινα εὐθεῖαν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ οὖσαν, καὶ ἡ ἀγομένη ἀπὸ τοῦ μετεώρου σημείου ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἔσται cfr. Pappus VI, 81.

17. Μείζων ἄρα γωνία p. 10, 24 ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστιν, αἱ δὲ βάσεις ἴσαι, αἱ δὲ πλευραὶ ἄνισοι.

18. Δεικτέον, πῶς μείζων ἡ ὑπὸ ΞΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστι τὰ τρίγωνα, ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· τριγώνου γὰρ τοῦ ΠΑΡ μείζων γωνία 13. Vb. 14. V1. 15. V2. 16. V2. 17. Vb. 18. V2. ἡ ὑπὸ ΠΡΑ· ἀμβλεῖα γάρ· ἡ γὰρ ΑΡ πρὸς τὴν ΡΞ ἐστιν ὀρθή, οὐ μὴν καὶ πρὸς τὴν ΠΒ, ὅτι μηδὲ πρὸς τὸ ἐπίπεδόν ἐστιν ὀρθή, ἵνα καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας ποιῇ ὀρθὰς γωνίας, ἀλλὰ κέκλιται πρὸς αὐτό, καί ἐστιν ἡ κλίσις ὀξεῖα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΡΑ· ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΠΡΑ. μείζων ἄρα ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ· ὑπὸ γὰρ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων δὲ καὶ ἡ ΑΝ τῆς ΑΞ ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΝΠΑ καὶ ὑπὸ ΞΡΑ ὀρθαί εἰσιν, ἐδείχθη δὲ ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· ὥστε καὶ τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΝΠΑ τοῦ ὑπὸ ΞΡΑ μεῖζον, καὶ ἡ τοῦ μείζονος διάμετρος μείζων· διάμετροι δέ εἰσι τῶν παραλληλογράμμων αἱ ΝΑ, ΞΑ· ἡμίση γὰρ τούτων τὰ τρίγωνα. ὥστε, ἐὰν ἡ ΡΞ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΠΝ, ἐφαρμόσει· ἴση γὰρ ταύτῃ· καὶ αἱ ΡΑ, ΑΞ ἐντὸς πεσοῦνται τῶν ΑΠ, ΑΝ· ἐλάττονες γὰρ αὐτῶν. ὥστε διὰ τὸ κα΄ τοῦ α΄ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΡΑΞ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΑΝ.

ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν, ἐκδηλότερον οὕτω δειχθήσεται· ἐπεὶ τὸ ΑΒΡ τρίγωνον ὀρθογώνιόν ἐστιν· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Β· ἐκτὸς δὲ αὐτοῦ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ, μείζων ἔσται τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ἀμβλεῖα ἄρα. ἀλλὰ καὶ τριγώνου τοῦ ΑΞΝ ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν μείζονα γωνίαν μείζων. ἡ ἄρα ΑΝ μείζων τῆς ΑΞ.

19. Πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἴσαι p. 12, 18 εἰ γάρ τις εἴποι, ὡς ἡ ΗΓ κάθετός ἐστι πρὸς τὴν Γ∠, ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΑ, δῆλον ἔσται τὸ ἄτοπον. 19. V2, deletum. 19. Ante ΑΒΡ del. ὑπό. εἰ γὰρ ἡ ὑπὸ ΗΓ∠ γωνία ὀρθή, καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ὀρθὴ ἔσται.

20. Κείσθω πρὸς τῷ ∠ γωνία ὀρθὴ ἡ Α∠Ε· διάμετρος ἄρα ἡ ΑΕ. ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΓ∠ γωνία ὀξεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΗΓ∠. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ Γ∠ ἡ ΚΓ δηλαδὴ ἐντὸς πεσεῖται. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα, ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΕ καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΑΒ ἐκτὸς πεσεῖται ἡ ΘΒ δηλονότι. ἐκβεβλήσθωσαν ἡ ΘΒ καὶ ΚΓ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ, ΛΝ· τέμνουσιν ἄρα ταύτας δίχα κατὰ τὰ M, Ν σημεῖα διὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ, ΑΚ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αὗται· ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ Λ· καὶ ὑποτείνουσιν ὀρθὰς γωνίας τὰς πρὸς τῷ Μ καὶ Ν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ ΘΜ, ΜΛ, ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΚΝ, ΝΛ. ἀλλὰ ἡ ΘΜ τῇ ΚΝ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΛΝ ἴση. ἴσαι ἄρα ἡ ΘΒΞ, ΚΓΠ. ἂν δὴ τοίνυν ἴσας ταύταις ἑτέρας δύο εὐθείας ἀγάγωμεν· δυνατὸν γάρ· τὴν Α∠ τυχὸν καὶ PΣ τεμνούσας πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΒΖ, ΚΓΠ κατά τε τὰ Β, Γ καὶ Τ, Υ σημεῖα, καὶ ἴσων ἀφαιρεθεισῶν τῶν ΓΒ, ΒΤ ἴσαι γὰρ διὰ τὴν ἴσην ἀπὸ 1. ΒΓΗ] ΓΗ legi non possunt. 3. κείσθω] fort κεῖται. ἡ Α∠Ε] euan. 13. ΘΒ ] corr. ex Θ∠. ἡ] immo αἱ, sed cfr. lin. 15, 21, 23. 22. Post εὐθείας del. τεμνούσας ταύτας πρὸς ὀρθάς 25 Τ] legi non potest; idem de omnibus ualet, quae [ ] inclusi. τοῦ κέντρου ἀπόστασιν· δειχθήσεται ἡ ΘΒ τῇ ΒΑ ἴση καὶ ἡ ΚΓ τῇ Γ∠.