Διοφάντου ἐπιπεδομετρικά.

Ἔχει ὁ κύκλος διαμέτρῳ πόδας ζ· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν.

Ποίει τὴν διάμετρον τρισσάκις καὶ αὐτῇ τῇ διαμέτρῳ 1 a] β AB. 3 εἰσιν A. 10 τ] τὰ AB. 11 μερίσωμεν] φήσωμεν B. 18 sqq. Cf. Heronis Alexandrini geometricorum et stereometri- corum reliquiae ed. Hultsch, Berolini 1864 (Geomuetria = Geom., Stereometrica = Ster., Mensura = Mens., Liber Geeponicus = Geep.). 1 a. Cf. Geom. 87, 8, Geep. 61. πρόσβαλε μέρος ζ τῶν ζ· γίνονται κβ· τοσοῦτον ἡ περίμετρος.

Τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· τοὺς ζ ἐφʼ ἑαυτούς, γίνονται b μθ· τούτους διαπαντὸς ἐπὶ τὰ ια, γίνονται φλθ· τούτων ιδʹ, λη U+2220΄· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον.

Κύκλος οὗ ἡ μὲν διάμετρος ιδ, ἡ δὲ περίμετρος μδ· 2a εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ἀπὸ τῆς περιμέτρου καὶ διαμέτρου. ποίει οὕτως· λάβε τῆς περιμέτρου τὸ U+2220΄, γίνονται κβ· καὶ τῆς διαμέτρου τὸ U+2220΄, γίνονται ζ· πολυπλασίασον τὰ ζ ἐπὶ τὰ κβ, γίνονται ρνδ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Καὶ ἄλλως. πολυπλασίασον τὰ μδ ἐπὶ τὰ ιδ, γίνονται b χις· τούτων λάβε δʹ, γίνονται ρνδ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἔτι. κύκλου περίμετρος μδ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον. ποίησον καθολικῶς τοὺς μδ ἑπτάκις, γίνονται τῆ· τούτων τὸ κβ΄, ιδ· τοσοῦτον ἡ διάμετρος.

Τριῶν κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων, εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν· ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἀνᾶ ζ. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται μθ· ταῦτα δίς, γίνονται ??η· τούτων τὸ ιδʹ, γίνονται ζ· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσοῦτον.

Τεσσάρων κύκλων ἁπτομένων ἀλλήλων, εὑρεῖν τοῦ μέσου σχήματος τὸ ἐμβαδόν· ἔστωσαν δὲ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἀνὰ ζ. ποίει οὕτως· τὴν διάμετρον ἐφʼ 1 b. Cf. Geom. 87, 4, Geep. 63. — 2a. Cf Geom. 88, 10. — 2 b. Cf. Geom. 101, 3 et 9. — 3. Cf. Geom. 88, 3; 101, 2. — 4. alsa prorsus solutio: inveniendus enim era numerus 2 quam proxime. — 5. Simile quid Geom. 101, 9. 20 ἀνὰ] ἀπὸ A. 21 δίς] δὲ A in rasura. ἑαυτήν, γίνονται μθ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρμζ ὧν ιδʹ, ι U+2220΄· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἔστω ἡμικύκλιον οὗ ἡ βάσις ιδ, ἡ δὲ κάθετος ζ· εὑρεῖν τὴν περίμετρον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ποίει οὕτως· σύνθες τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον, τουτέστι τοὺς ιδ ἐπὶ τοὺς ζ, γίνονται ??η· ταῦτα καθολικῶς ἑνδεκάκις, γίνονται αοη· τούτων τὸ ιδʹ, οζ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἔστω σφαῖρα ἔχουσα τὴν διάμετρον ι· εὑρεῖν αὐτῆς τὴν ἐπιφάνειαν. ποίει οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται αρ· τούτων τὸ ιδʹ, οη U+2220΄ ιδʹ· ταῦτα τετράκις, γίνονται τιδ δʹ κη· τοσοῦτον ἡ ἐπιφάνεια τῆς σφαίρας.

Τὸ δὲ πλινθίον συνέστηκεν ἐπὶ τῶνδε τῶν ἀριθμῶν· Ϛ, η, θ, ιβ ὁ μὲν οὖν η πρὸς τὸν ϛ ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ, καθʼ ἣν ἡ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἁρμονία· ὁ δὲ ιβ πρὸς τὸν ϛ ἐν διπλασίῳ, καθʼ ἣν ἡ διὰ πασῶν ἕξεων ἔλεγχοι καὶ τῆς ἀναλογίας ἀριθμητικῆς μὲν ἐκ τῶν ϛ καὶ θ καὶ ιβ· οἷς γὰρ ἂν ὑπερέχῃ ὁ μέσος τοῦ πρώτου, τοσούτοις ὑπερέχεται τοῦ τελευταίου. γεωμετρικὴ δὲ ἡ τῶν τεσσάρων· ὃν γὰρ λόγον ἔχει τὰ η πρὸς τὰ ϛ, τοσοῦτον τὰ ιβ πρὸς τὰ θ ὁ δὲ λόγος ἐπίτριτος.

Ἡμικυκλίου λώρου τοῦ λεγομένου ἡ διάμετρος ζ καὶ τὰ πάχη ἀνὰ β. σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὰ δύο πάχη, γίνονται ια· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρκα· ἀπὸ τούτων ὕφειλον τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται μθ, λοιπὸν οβ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ψ ??β· τούτων 6. Cf. Geom. 93, 2 et 8 — 7 Ster. l, 5. — 8 = Ster. l, 30. 5 τὸ κάθετον A. Lacunam statui (item infra l. 17 et 22). τὸ κηʹ, γίνονται κη δʹ κηʹ· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδὸν τοῦ λώρου.

ἄλλως. σύνθες τὴν διάμετρον καὶ τὸ ἓν πάχος, b γίνονται θ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια, γίνονται ??θ· τούτων τὸ ζʹ, γίνονται ιδ ζʹ· τοσοῦτον ἡ περίμετρος ἐν τῷ μέσῳ· ταῦτα ἐπὶ τὸ πάχος, ἐπὶ τὰ β, γίνονται κη δʹ κη΄.

Μέθοδος τῶν πολυγώνων.

Πεντάγωνον μετρήσομεν οὕτως οὗ ἑκάστη πλευρὰ ι· 10 a εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· ταῦτα ποιῶ πεντάκις, γίνονται φ· ὧν γʹ ρξς ??· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ρξς ??.

Εὑρεῖν δὲ καὶ τοῦ περιγραφομένου κύκλου τὴν b διάμετρον· ἔσται ιζ· ποιῶ δὲ οὕτως· τὰ ι τῆς πλευρᾶς ἐπὶ τὰ ιζ, γίνονται ρο· ταῦτα μερίζω ἐπὶ τὰ ι, γίνονται ιζ· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ περιγραφομένου κύκλου ιζ.

Ἑξάγωνον δὲ μετρήσομεν οὕτως. ἐὰν ἔχῃ τὴν διάμετρον 11 a ξ, ἡ δὲ πλευρὰ λ, ποιῶ οὕτως· τὰ λ ἐφʼ ἑαυτῇ, γίνονται ??· ταῦτα ποιῶ ἑξάκις, γίνονται ευ· ὧν τρίτον καὶ δέκατον, γίνονται βτμ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἑξάγωνον.

Ἄλλως δὲ. πάλιν τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται b ταῦτα πολυπλασίαζε ἐπὶ τὰ ιγ, γίνονται α. αψ· ἄρτι μερίζω· ὧν εʹ, γίνονται βτμ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδσν.

Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον, οὗ 10a Geep. 75, 1 (cf. Geom. 102, 2). — 10 b = Geep. 75, 2. — 11a Geep. 76 (cf. Geom. 102, 4). — 11 b = Geep. 77 (cf. Geom. 102, 3). — 12. Geom. 102, 5. 1 κη] κ A. 5 ἄλλως addidi. 11 ρξϚ prius) ρξ A. 18 ??] A. 21 α] δϋ A. ἑκάστη πλευρὰ ι· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ποιῶ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ρ· καὶ τὰ ρ ἐπὶ μγ, γίνονται δτ· ὧν τὸ ιβʹ, τμη γʹ· τοσοῦτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.