μ΄.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἴσον ὂν τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ποτὲ μὲν ἴσον ἑαυτῷ, ποτὲ δὲ ἄνισον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον.

ἔστω κύκλος ὁ Α∠, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἐφεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ∠Ζ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ ∠Ζ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται, ποτὲ ἴση φανήσεται, ποτὲ μείζων, ποτὲ ἐλάσσων. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Ε, ὅ ἐστι κέντρον, τῇ ∠ παράλληλος ἡ ΓΕ, καὶ ἔστω ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΕΓ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ∠Ζ ἴση. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ εὐθεῖαι αἱ Ε∠, ΓΖ, ΓΒ, ΕΒ, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστι καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν. παραλληλόγραμμον 1. μ΄] om. v, μθ΄ V, μζ΄ m. 2 Vat. 3. μεθίσταται Vat., corr. m. 2. δέ] δὲ τῆς Vat. 7. Α∠] inter ∠ ras. 1 litt. m. 11. ποτὲ μέν m. ἴση] ἴσων V. 12. ποτὲ δέ bis m. 13 κέντρῳ v. 14 ΕΓ] ΓΕ m. 19. ∠Ζ] ∠Ε Vat. 21. ἐλάττων Vat., ἔλαττον v. 22. ΕΒ] supra scr. V (Ε∠ — ΖΕ etiam in mg. m. 1 V, ΓΖ supra scr.). 24. τῇ ΓΒ ἄρα Vat. Av. ἐστιν] ἐστι Vat. Avm. ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ παραλληλόγραμμόν ἐστι καὶ τὸ Ε∠ΖΓ. λείπει δὲ δεῖξαι, ὅτι ἔλασσον φαίνεται τὸ αὐτὸ καὶ μεῖζον. φανερὸν δή, ὅτι ἐλάσσων ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΕΑ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠, ἐπεὶ δέδεικται, ὅτι πασῶν τῶν διὰ τοῦ κέντρου διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΑ. ἐλάσσων ἄρα ἐστὶ καὶ τῆς ὑπὸ ΓΕ∠. καί ἐστι τῆς μὲν ὑπὸ ΓΕΑ ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΒΕΑ· παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον τὸ ΒΕ· τῆς δὲ ὑπὸ ΓΕ∠ ἡ ὑπὸ ΖΕ∠· παραλληλόγραμμον γὰρ ἰσόπλευρον καὶ τὸ ΖΕ. καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα ἐλάττων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΖΕ∠. ὥστε καὶ τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ μεγέθους ἔλαττον ὀφθήσεται.

καὶ φανερὸν ἐκ τοῦ προδεδειγμένου λήμματος, ὅτι ἐλάχιστον μὲν ὀφθήσεται πρὸς τῷ Α, μέγιστον δὲ πρὸς τῷ κατὰ διάμετρον τῷ Α σημείῳ, ἴσον δὲ τὸ ἴσον ἀπέχον ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ Α σημείου.

μα΄.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ σημεῖον, καθ᾿ ὃ συμβάλλει τὸ μέγεθος τῷ ἐπιπέδῳ, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ 1. ἐστί] om. m. ΑΕΓΒ] ΑΕΒΓ Vm. 2. παραλληλόγραμμα A, comp. Vat. τὸ Ε∠ΖΓ] mg. m. 2 V. 3. ὅτι] mg. m. 2 V. ἔλαττον Vat., comp. v. 4. ἔλασσον v, comp. Vat. 5. ἐπεί] seq. ras. 2 litt. V, ἐπεὶ οὖν Vat. Av. 6. γωνίαν] ὀρθὴν γωνίαν Vm, ὀρθήν add. m. 2 Vat. 7. ΓΕΑ] ΓΕΑ γωνία m. ἐλάττων Vat., comp. v. ἄρα ἐστί] ἐστὶν ἄρα Vat. Av. 8. ΓΕΑ] Α in ras. V, ΓΕ∠ A; ΓΕΛ v, ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Β, διαστήματι δὲ τῷ ΒΓ κύκλος γεγράφθω ὁ Γ∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν μεθίστηται τὸ Γ ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἴσον ἀεὶ τὸ ΑΒ φανήσεται. τοῦτο δὲ φανερόν ἐστιν. πᾶσαι γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου πρὸς τὸ ΑΒ προσπίπτουσαι ἀκτῖνες πρὸς ἴσας γωνίας προσπίπτουσιν, ἐπειδήπερ ἡ πρὸς τῷ Β γωνία ὀρθή ἐστιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.