κς΄.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται τῆς σφαίρας.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α, καὶ περιγεγράφθω περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΕΘ∠Η, ὄμματα δὲ τὰ Β, Γ, καὶ ἔστω τὸ διάστημα τὸ μεταξὺ τῶν Β, Γ ὄψεων μεῖζον τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, καὶ ἐπεζεύχθω 1. σφαῖρα] Cα m, ut alibi 3 ΒΓ] ΒΝ V. Ν v. 5 Β∠] ∠ in ras. V 9 ὄματα v. 13. παραλληλό- ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΒΕ, Γ∠ καὶ προσεκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ε, ∠ μέρη· συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις διὰ τὸ ἐλάσσονα εἶναι τὴν διάμετρον τῆς ΒΓ. συμβαλλέτωσαν δὴ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον. ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τῶν ἐκτὸς τοῦ κύκλου πρὸς τὴν περιφέρειαν προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΕ, Ζ∠, τὸ ∠ΘΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. τὸ ΕΗ∠ ἄρα μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἀλλʼ ὑπὸ τῶν Β, Γ τὸ EΗ∠ βλέπεται. μεῖζον ἄρα ἢ τὸ ἥμισυ ὀφθήσεται τοῦ κύκλου ὑπὸ τῶν Β, Γ. τὸ αὐτὸ ἄρα καὶ τῆς σφαίρας ὀφθήσεται.

κζ΄.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλαττον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α σημεῖον, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α σημεῖον κύκλος ὁ ΒΓ, καὶ κείσθω τὸ διάστημα τῶν ὀμμάτων τὸ γεγράφθωΕ ἔλασσον ὄν τῆς ἐν 1. ΒΓ] ΒΝ v. 3 προσεκβεβλήσθω V B Vat. vm. συμβαλοῦσι B Vat. v. 5 συμβαλλέτω Bv Vat., sed corr. 6 τῶν] τοῦ Vat. 8. ∠Θ E] e corr. V. ΘΕ Bv, δὲ Θ Ε Vat., sed corr.; ∠Θ Vat. 1 m. ἔλασσον B Vat. v. τό] τὸ δέ Vat. v. 10 μεῖζον] om v, m. 2 Vat ἤ] om v, m. 2 Vat. ἥμισυ τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, ἀφʼ οὗ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ∠Β, ΕΓ αἱ αὐταὶ καὶ ἀκτῖνες. λέγω, ὅτι ἔλασσονι ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται. ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ αἱ Β∠. ΓΕ συμπεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰ Γ, Η, Β μέρη, ἐπειδήπερ ἡ ∠Ε ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ σημεῖον. ἐπεὶ οὗν ἀπό τινος σημείου τοῦ Ζ προσπεπτώκασιν εὐθεῖαι αἱ ΖΓ, ΖΒ. τὸ ΒΗΓ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἀλλʼ ἐν ᾧ ἐστι τὸ ΒΗΓ τμῆμα, ἐν τούτῳ καὶ τὸ τῆς σφαίρας ἀπολαμβάνουσιν ἄρα ἔλαττον ἡμισφαιρίου.