π΄.

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς λοιπῆς πλευρᾶς τετράγωνον λόγον ἔχῃ δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ δεδομένην ἔχον γωονίαν 1. γωνίᾳ] om. b. ἡ] om. b. ΗΘΛ] ΘΛ b. 3. ἐπεί] καὶ ἐπεί Vat. v. ΒΑΔ] ΔΑΒ b. ΛΘΗ] ΛΘ b. 4. ἔστι — ἴση] om. b. 5. ΒΓΑ] ΒΓΔ b. ΘΗΛ] ΘΕΛ b. 6. ΒΑΓ] ΒΓΑ Vat, ΑΒΓ v. ΘΗΛ] ΛΕ b. 7. ΒΔ] τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Α, Β ἐπὶ τὰς ΒΓ, ΓΑ κάθετοι αἱ ΒΔ, ΑΕ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΑΔ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα, δέδοται ἄρα τὸ ΑΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΕΔ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῷ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ ΑΕ· ἑκάτερον γὰρ αὐτῶν διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ δοθείς· τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓ, ΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΒΓ πρὸς ΑΕ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐκκείσθω τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΖΗ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ τμῆμα τὸ ΖΘΗ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ἐν τῷ ΖΘΗ τμήματι γωνία· θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘΒ τμῆμα. 1. πρὸς τῷ] om. b. τῷ] τὸ P. τό (pr.)] corr. ex τῷ m. 2 v. ΒΑΓ] ΑΒΓ PVat. 2. λέγω] δῆλον b. Supra δέδοται add. ἄρα (comp.) Vat., del. m. 2. 4. γάρ] om. b. τάς] τήν b. 6. τὴν ΒΑΔ b. ἔστιν v. τῶν] τήν b. 7. ἄρα (pr.)] om. b. 8. τοῦ] τό b. 9. τῶν (pr).] τῆς b; item lin. 10, 11, 13 (alt.). 9. ΒΑΓ — τῶν] om. Vat. τῶν (alt.)] τοῦ b. 10. δέ ]om. b. ΒΔ] ΔΒ v. 11. διπλάσιον] supra add. m. 2 Vat. ἐστιν v. 12. ΑΒΓ] ΑΓΒ v. 13. ΒΓ] supra scr. m. 1 b. 15. ὑπὸ τῶν] om. b. ἄρα] om. b. 16. καί — 17. δοθείς] om. b. 20. δεχόμενον] δεδομένην ἔχον PVat.v. ἴσην] supra scr. m. 2 v. τῶν] τῆς b, item lin. 21. 21. τῷ — 22. ΖΘΗ (alt.)] ΖΙΗ b. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΚ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΚ. καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ. λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΖΗ· πρὸς τὴν ΗΚ δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ ΖΗ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΚ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ Η· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Κ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παρ- άλληλος ἡ ΚΘ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ· θέσει δὲ καὶ τὸ ΖΘΗ τμῆμα· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἐπε- ζεύχθωσαν αἱ ΖΘ,ΘΗ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΘΛ· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΛ. ἔστι δὲ καὶ τὸ Θ σημεῖον δοθέν, καὶ ἑκάτερον τῶν Ζ, H· δέδοται ἄρα ἑκάστη τῶν ΘΖ, ΖΗ, ΘΗ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΖΘΗ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΚ, ἴση δὲ ἡ ΗΚ τῇ ΘΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΘΛ. καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΘΗ· ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΖΗ τριγώνῳ. δέδοται δὲ τὸ ΘΖΗ τρίγωνον τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

πα΄.

Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον οὖσαι τρισὶν εὐθείαις ἀνάλογον οὔσαις τὰς ἄκρας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἔχωσιν, καὶ τὰς μέσας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἕξουσιν· καὶ ἐὰν ἡ ἄκρα πρὸς τὴν ἄκραν λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἡ μέση 1. ΗΚ] ΗΘ b, et sic deinde per totam prop. pro Κ hab. Θ, pro Θ autem Ι. 5 δοθείς — 6. ΗΚ] om. b 7. ΖΗ] ΘΗ b. 8. δέ] ἄρα b. 12. δοθέν] om. b. 16. ΘΛ] ΙΚ b, item lin. 17. 18. ἄρα] om. b. 19. ΘΖΗ ΙΖΒ b. δέδοται — 20. εἴδει] om. b. 21. ΑΒΓ] ΑΓ P. Seq. πρὸς τὴν μέσην καὶ ἡ λοιπὴ ἄκρα πρὸς τὴν λοιπὴν ἄκραν λόγον ἕξει δεδομένον.

τρεῖς γὰρ εὐθεῖαι ἀνάλογον οὖσαι αἱ Α, Β, Γ τρι- σὶν εὐθείαις ἀνάλογον οὔσαις ταῖς Δ, Ε, Ζ τὰς ἄκρας ἐν δεδομένῳ λόγῳ ἐχέτωσαν, καὶ ἔστω λόγος τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ δοθείς, τῆς δὲ Γ πρὸς τὴν Ζ λόγος δο- θείς· λέγω, ὅτι καὶ τῆς Β πρὸς τὴν Ε λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ δοθείς, τῆς δὲ Γ πρὸς τὴν Ζ δοθείς, λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ δοθείς. ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τῶν Α, Γ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Β, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Ε. λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε δοθείς· ὥστε καὶ τῆς Β πρὸς τὴν Ε λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἔστω δὴ πάλιν τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ λόγος δοθείς, τῆς δὲ Β πρὸς τὴν Ε λόγος δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν Α πρὸς τὴν Δ, τῆς δὲ Β πρὸς τὴν Ε δοθείς, λόγος ἐστὶ καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς Β πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς Ε δοθείς. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς Β ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Α, Γ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς Ε ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ· λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Γ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Δ, Ζ δοθείς. καὶ μιᾶς πλευρᾶς τῆς Α πρὸς μίαν πλευρὰν τὴν Δ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς Γ πρὸς λοιπὴν τὴν Ζ λό ος ἐστὶ δοθείς.

1. τήν (pr.)] om. b (nom β). ἄκρα] om. Vat., ἄρα b. 7. τῆς] del. m.1 Vat. 10. τοῦ] καὶ τοῦ v. 11. τό] corr. ex τῷ m. 2 v 14. Ε] Δ b. 17. B] supra scr. m. 2 v λόγος ἐστί b.19. ἐπεὶ γάρ Vat. v. μὲν Α πρὸς τὴν Δ, τῆς δέ ] om. b.

πβ΄.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται, ὡς ἡ πρώτη πρὸς ἣν ἡ δευτέρα λόγον ἔχει δεδομένον, οὕτως ἡ τρίτη πρὸς ἣν ἡ τετάρτη λόγον ἔχει δεδομένον.

ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον αἱ Α, Β, Γ Δ, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ· λέγω, ὅτι ἐστίν, ὥς ἡ Α πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον, οὕτως ἡ Γ πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον.

ἔστω γὰρ πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον ἡ Ε, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ. λόγος δὲ τῆς Β πρὸς τὴν Ε δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς Δ πρὸς τὴν Ζ ἐστι δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Δ, ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ Β πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ζ, διʼ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ζ. καί ἐστιν ἡ μὲν Ε πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον, ἡ δὲ Ζ πρὸς ἣν ἡ Δ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς ἣν ἡ Β λόγον ἔχει δεδομένον, οὕτως ἡ Γ πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον.

πγ΄.

Ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι οὕτως ἔχωσι πρὸς ἀλλήλας, ὥστε τριῶν ληφθεισῶν ἐξ αὐτῶν ὁποιωνοῦν καὶ τε- τάρτης αὐταῖς προσληφθείσης ἀνάλογον, πρὸς ἣν ἡ 2. ὡς] om. b (non β). 3. πρώτη] corr. ex τοῦ πρώτου m 2 v. πρὸς τὴν δευτέραν b. 4. πρὸς τὴν τετάρτην b. 5. ἔστω v. ἀνάλογον οὖσαι b. 7. ἐστίν] καί v. ἥν] η b. 8. ἣν ἡ Δ] τὴν ηδ b. 9. ἡ Β πρὸς ἥν b. ἡ (alt.)] τῇ b. 12. ἐστι] om. Vat., ἐστιν v. καί (alt.)] om v. 14. ἔστιν v. 16. Γ] Δ b. E — 17. Δ] ΕΗ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν Β· ἡ δὲ ΖΗ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν Δ b. 17. ἣν ἡ] τήν b, item lin. 18. 21. ἔχωσιν Vat, ἔχουσι β. 22. λοιπὴ τῶν ἐξ ἀρχῆς τεσσάρων εὐθειῶν λόγον ἔχει δεδο- μένον, ἀνάλογον γίγνεσθαι τὰς τέσσαρας εὐθείας, ἔσται, ὡς ἡ τετάρτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως ἡ δευτέρα πρὸς ἣν ἡ πρώτη λόγον ἔχει δεδομένον.

ἔστωσαν τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ Α, Β, Γ, Δ οὕτως ἔχουσαι πρὸς ἀλλήλας, ὥστε τριῶν ληφθεισῶν ἐξ αὐτῶν ὁποιωνοῦν τῶν Α, Β, Γ καὶ τετάρτης αὐταῖς προσ- ληφθείσης τῆς Ε, πρὸς ἣν ἡ Δ λόγον ἔχει δεδομένον, ἀνάλογον εἶναι τὰς Α, Β, Γ, Ε εὐθείας· λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς ἣν ἡ Α λόγον ἔχει δεδομένον.

ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν Ε, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α, Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς Ε πρὸς τὴν Δ. δοθείς, λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Α, Δ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Α, Ε δοθείς· τῷ δὲ ὑπὸ τῶν Α, Κ ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν Δ, Α πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἐστι δοθείς. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Δ πρὸς τὴν Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς ἣν ἡ Α λόγον ἔχει δεδομένον.

πδ΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο- μένῃ γωνίᾳ, ἡ δὲ ἑτέρα τῆς ἑτέρας δοθείσῃ μείζων ᾗ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν χωρίον περι- εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, 1. τεσσάρων] om. b. 2. ἀνάλογον — 4. δεδομένον] mg. om. acc. m. 1 P. 2. γίνεσθαι v b. ἔσται — 4. δεδομένον] αἱ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖαι οὕτως ἕξουσι πρὸς ἀλλήλας b et deinde rep. p. 162, 22. ὥστε — p. 164, 2. εὐθείας. 3. τετάρτη] δ P. τρίτην] γ P; -ι- in ras. m. 1 v. δευτέρα] β P. 7. αὐταῖς] ἡ δὲ ΓΒ τῆς ΒΑ δοθείσῃ μείζων ἔστω· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΑ, ΒΓ.

ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΓ τῆς ΒΑ δοθείσῃ μείζων ἐστιν, ἔστω ἡ δοθεῖσα ἡ ΔΓ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ ἴση ἐστίν. καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΔΒ, λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς· δοθεῖσα δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΔ τῷ εἴδει. ἐπεὶ οὖν τὸ ΑΓ δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΔΓ παραβέβληται ὑπερ- βάλλον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΑΔ, δέδοται ἄρα τὸ πλάτος τῆς ὑπερβολῆς· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΔΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ δοθεῖσα· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ δο- θεῖσά ἐστιν.

πε΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο- μένῃ γωνίᾳ, ῇ δὲ συναμφότερος δοθεῖσα, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν χωρίον περι- εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, καὶ ἔστω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δοθεῖσα· λέγω, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι δοθεῖσα.

διήχθω γὰρ ἡ ΓΒ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΒΑ παράλληλος ἤχθω 2. ἐστιν] om. b. 3. ἐπεί — 5. ΑΔ] mg. m. 1 P; κείσθω γὰρ τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΔΒ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω, ἡ ΔΕ ἐπτι δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ ἡ ΔΓ b. 4. ἔστω ἡ] om. ν. ΒΑ] ΑΒ Vat. v. 5. καί (pr.)] om. Vat. 7. δοθεῖα δὲ καί] καὶ δοθεῖσα b. 8. δοθὲν τὸ ΑΓ b. 10. ΑΔ] Α b. 11. τῆς ὑπερβολῆς] τοῦ ὑπερβλήματος b. ΒΔ] ΔΒ b. 12 ἔστι] ἔστιν v. 13. ἐκατέρα — 14. ἐστιν] om. b. 16. εὐθεῖαι] ἡ ΔΕ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΑΔ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΒ τῇ ΒΑ, καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία, ἐπεὶ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῇ δοθεῖσά ἐστιν, δέδοται ἄρα τὸ ΕΒ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστι συν- αμφότερος ἡ ΑΒΓ, ἴση δὲ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ. ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ ΑΓ παρὰ δο- θεῖσαν τὴν ΔΓ παραβέβληται ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΕΒ, δέδοται τὰ πλάτη τοῦ ἐλλείμματος· δοθεῖσαι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΒ, ΒΔ. ἀλλὰ καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δοθεῖσά ἐστιν· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκαέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ.

πς΄.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι δοθὲν χωρίον περιέχωσιν ἐν δεδο. μένῃ γωνίᾳ, δύνηται δὲ ἡ ἑτέρα τῆς ἑτέρας δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔσται δοθεῖσα. δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΒΓ δοθὲν χωρίον περι- εχέτωσαν τὸ ΑΓ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ· λέγω, ὅτι καὶ ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστι δοθεῖσα.

ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ, ἀφῃρήσθω τὸ δοθὲν τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ· λοιποῦ ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ πρὸς τὸ 2. ἐστι] ἐστιν v. 3. αὐτῆς P. 4. καί ] om. b. ἐστιν v. 8. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ b. 10. ἐστίν] om. b. καί — 11. ἐστιν] om. Vat. 11. Ante δοθεῖσα ἄρα add. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒ δοθεῖσα b. Seq. apud Peyrardum ea propositio cum lemmate, quae in P legitur ad finem libri; u. app. 12. πςʹ] πζ΄ Peyrardus. 13. Post δοθέν add. ἄρα v; del. m 2. 15. μεῖζον εἶναι b. ἔσται] ἐστι b. 16. γάρ] om. b. αἱ] om. P. 17. ἐν] ἔστι δὲ καί b. τῶν] τήν b. 19. ἔστω] ἐστιν (comnp.) b. 21. ΒΑ] AB b. 23. τῶν (utrumque)] τήν b; ἀπὸ τῆς ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ δοθέν, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ δοθείς. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ· ὥστε καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τοῦ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· τοῦ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τὸ τετράκις ὑπὸ τῶν ΒΓΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου ἐστὶ τῆς ΒΓ, ΓΔ. λόγος ἄρα ἐστὶ καὶ τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ, ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ δοθείς· ὥστε καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓΔ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ συν- θέντι ἄρα δύο τῶν ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δο- θείς· ὥστε καὶ μιᾶς τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ὡς δὲ ἡ ΓΒ πρὸς ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒΔ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ· ὥστε καὶ ἡ ΒΓ δο- 2. ἔτι — 3. ΑΒ, ΒΓ] supra add. m. 2 v. 2. ΓΒ, ΒΔ] ΓΒΔ b. 3. ΑΒ, ΒΓ] ΑΒΓ b. 4 ὡς δέ — 5. ΒΔ (alt.)] mg. m. 1 P, om. b. 4 ὑπό (alt.) — 5. τό] om. Vat., supra add. m. 2. 5. ΓΒ, ΒΔ] ΓΔΒ Pv. 7. ὥστε] om. b. ΑΒ] ΑΒ ἄρα b. 8 πρός] bis v, prius del. m. 2. 9. BΓΔ (pr.)] ΓΔΒ b. καί — 10. δοθείς] om. b. 10. ΔΒ] ΑΒ PVat.v. καί — 12. δοθείς] om. b. 15. Post ΒΔ θεῖσά ἐστιν· τῆς γὰρ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ δέδοται ἡ ΒΔ· καί ἐστι δοθὲν τὸ ΑΓ, καὶ δοθεῖσα ἡ Β γωνία· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΑΒ· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΒ, ΒΓ δοθεῖσά ἐστιν.

πζ΄.

Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ- σαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῷ μεγέθει.

εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ διήχθω ἡ ΑΓ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα τὸ ΑΕΓ δεχό- μενον γωνίαν δοθεῖσαν· λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ δέδοται τῷ μεγέθει.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ· ὀρθὴ γάρ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΕ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΕΑ τῷ μεγέθει, ἐπεὶ καὶ. ὁ κύκλος δέδοται τῷ μεγέθει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῷ μεγέθει.

1. τῆς — 2. ΒΔ ] mihi admodum suspecta. 1. γάρ] om. v. 2. Post ΒΔ add. δέδοται ἄρα καὶ ἡ BΓ PVat. v.3. ἡ Β] ἡ ΑΒΓ Vat. (supra scr. ὑπό m. 2), ἡ ὑπὸ ΑΒΓ v.4. τῶν] τῆς b. Seq. apud Hardium et Gregorium proposito illa, de qua dixi ad p. 168, 11. 5. πζʹ] πη΄ Vat., edd.; πϛ´ b. 9. γάρ] om. b. δεδομένον] δεχόμενον b. τόν] corr. ex τῶν m. 2 v, τό b. 10. ἀπολαμβανʼ b. ΑEΓ] ΑΒΓ b. 11. δέδοται] δοθεῖσά ἐστι b. 13. γάρ] om. b. 15. δοθεῖσα ἄρα ἐστίν] ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστι b. τῶν] τήν b, item lin. 17. 16. γάρ ἐστιν Vat.vb. τὴν ΑEΓ b. 17. ΑΓE] ΓΑΕ b. 18. τῆς] τοῦ b. ΑΕ] ΕΑ Vat. v. 19. ΕΑ] ΑΕ b.ἐπεὶ καί ] ἐπειδή b. 20. μεγέθει] in hoc vocab. desinit b.

πη΄.

Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένη τῷ μεγέθει, ἀπολήψεται τμῆμα δεχόμε- νον γωνίαν δοθεῖσαν.

εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΓ δεδομένη τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι ἀπολήψεται τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΑΓ, λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία.

πθ΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ἐπὶ τῆς περιφερείας δοθὲν σημεῖον ληφθῇ, ἀπὸ δὲ τούτου πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν κλασθῇ τις εὐθεῖα δεδομένην γω- νίαν ποιοῦσα, δέδοται τὸ ἕτερον πέρας τῆς κλασθείσης.

κύκλου γὰρ τῇ θέσει δεδομένου τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας δοθὲν σημεῖον τὸ Β, ἀπὸ δὲ τοῦ Β κεκλάσθω εὐθεῖα ἡ ΒΑΓ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ Γ σημεῖον.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν 1. πηʹ] πθ· Vat, edd.; πζʹ β(a). 7. ἀπολήψεται] λήψεται PVat v; ἀπο supra scr. m.2 Vat. δοθεῖσαν] δοθείς a. 10. καὶ ἐπεί Vat. 12. τῶν] τῆς a. 13. ἐστίν a. καί] om a. 15. πθʹ] ϙ Vat., edd.: πη΄ β(a). 17. σημεῖον] comp. Vat. ἀπό — 18. περιφέρειαν] καὶ ἀπὸ τοῦ σημείου β. 18. περι- φέρειαν] comp. Vat. 20. εἰλήφθω γάρ a. 21. δοθέν] αἱ ΒΔ, ΔΓ. ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Β, Δ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Δ εὐθεῖα ἦκται ἡ ΔΓ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΔΓ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ θέσει· θέσει δὲ δοθεὶς καὶ ὁ ΑΒΓ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Γ σημεῖον.

ϙ΄.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου θέσει δεδομένου κύ- κλου ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Γ θέσει δεδομένου κύκλου τοῦ ΑΒ ἐφαπτομένη εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΓΑ· λέγω, ὅτι ἡ ΓΑ εὐθεῖα δέδοται τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΓ. ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Δ, Γ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ γωνία· τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΔΓ γραφό- μενον ἡμικύκλιον ἤξει διὰ τοῦ Α. ἡκέτω καὶ ἔστω 1. καὶ ἐπεί v. ἑκάτερον τῶν] ἕκαστον τῆς a. 2. Post ΒΔ in P καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΒΔ et uncis et punctis del. m. 1. καί ]om. a. 3. Post γωνία hab. καί ἐστιν αὐτῆς διπλῆ ἡ ὑπὸ τῆς ΒΔΓ a. ἡ (alt.)] καὶ ἡ Vat. v. 4. τῶν ΒΔΓ Vat., τῆς ΒΔΓ γωνία a. 5. εὐθεῖα γραμμή a. 6. τῶν] τῆς a; item lin. 19. ΒΔΓ] ΒΑΓ a. δοθεῖσα — 7. ΑΒΓ] om. a. 7. Post κύκλος add. δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΓ· θέσει δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ κύκλος (comp.) a. 8. Post σημεῖον del. ὅπερ ἔδει δεῖξαι m.1.Vat. 9. ϙ] ϙα΄ Vat, edd.; πθ· β(a〉. 10. δεδο- μένου] om. β. 11. ἐφαπτομένη] -ης περιφερείας β. 13. σημείου — δεδομένου ] om. a. 14. εὐθεῖα γραμμή a. 15. εὐθεῖα] om. a. 16. τοῦ κύκλου] om. a. 18. τῶν] τῆς a. 20. ἡμικύκλιον] corr. ex κύκλον m. 2 Vat. ἡκέτω] ἐρ- χέσθω a. τὸ ΔΑΓ· θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΑΓ· θέσει δὲ καὶ ὁ ΑΒ κύκλος· δοθέν ἐστιν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Γ δοθέν ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

ϙα΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτὸς δοθέν, ἀπὸ δὲ τοῦ σημείου εἰς τὸν κύκλον διαχθῇ τις εὐθεῖα, τὸ ὑπὸ τῆς ἀχθείσης καὶ τῆς μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς κυρτῆς περιφερείας περιεχόμενον ὀρθο- γώνιον δοθέν ἐστιν.

κύκλου γὰρ δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΑΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ σημείου διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΒ τέμνουσά τὸν κύκλον· λέγω, ὅτι δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΓ.

ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τοῦ ΑΒΓ κύκλου ἐφ- απτομένη εὐθεῖα ἡ ΑΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΑΔ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ.

ϙβ΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ληφθῇ τι σημεῖον ἐντὸς δοθέν διὰ δὲ τοῦ σημείου διαχθῇ τις εὐθεῖα εἰς τὸν κύκλον, τὸ ὑπὸ τῶν τῆς ἀχθείσης τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθέν ἐστιν.

1. ΔΑΓ(pr.)] ΔΓΑ a. θέσει — ΔΑΓ] om. a. 2. ἄρα ἐστίν a. καί] om. a. 3. δοθέν] δοθέν δοθὲν ἄρα a. ἄρα] om. P. 5. ϙαʹ) ϙβ Vat, edd. ϙ β(a). 7. δέ] om. β. 8. τοῦ τε β. 10. ἔσται β. 11. τῇ θέσει δεδο- μένου a. ΑΒΓ] ΑΓ a. 13. ΔΒ] ΒΔ va. 14. ὑπὸ τῆς ΒΔΓ a. 15. Δ] Γ a. 16. εὐθεῖα γραμμή a. δοθεῖσα — ΑΔ] δέδοται ἄρα a. 18. ΑΔ] ΔΑ Vat. 19. τῶν (utrum- que)] τῆς a. 20. Seq. demonstr. alt.; u. app. 21. ??βʹ]

κύκλου γὰρ δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΒΓ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐντὸς τὸ Α δοθέν, διὰ δὲ τοῦ Α διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΒ· λέγω, ὅτι δεδομένον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ.

εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Δ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΔ διήχθω ἐπὶ τὰ Ζ, Ε. ἐπεὶ οὖν δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν Δ, Α, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑ. θέσει δὲ καὶ ὁ ΓΒΖ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶν ἑκάτερον τῶν Ζ, Ε. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν Ζ Α, ΑΕ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν Ζ Α, ΑΕ. καί ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ ΒΑΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ.

ϙγ΄.

Ἐὰν εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ- σαν, καὶ ἡ ἐν τῷ τμήματι γωνία δίχα τμηθῇ, συν- αμφότεροι αἱ τὴν δεδομένην γωνίαν περιέχουσαι πρὸς τὴν δίχα τέμνουσαν τὴν γωίαν λόγον ἕξουσι δεδο- μένον, καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῶν τὴν δεδομένην γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ τῆς κάτω ἀπολαμβανο- μένης ἀπὸ τῆς δίχα τεμνούσης τὴν γωνίαν πρὸς τῇ περιφερείᾳ δοθὲν ἔσται.

εἰς γὰρ κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΑΒΓ 1. τῇ θέσει δεδομένου a. 2. δοθὲν τὸ Α a. 3. δεδο- μένον ἐστί] δοθέν a. 4. τῶν] τῆς a, item lin. 7, 9, 11. 5. τό (alt.)] τοῦ a. 6. ΑΔ] ΔΑ a. Ε, Ζ va. 8. ΓΒΖ] ΓΒ α. 9. ἑκάτερος a. ἔστιν v. 10. ἐστίν — ἄρα] om. a. ἐστί] ἐστίν v. 11. ὑπὸ τῆς ΓΑΒ a, item lin. 12. 13. ϙγ΄] ϙδ΄ Vat, edd. ϙβʹ β(a). 16. καί] ἡ δʼ β. Post γωνία add. δοθεῖσα β. συναμφότερος β. 19. ὑπό] ἀπό β. συν- αμφοτέρων Vat. τῶν ] τοῦ β. δεδομένην ] δοθεῖσαν β. εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΒΓ ἀπολαμβάνουσα τμῆμα δεχόμενον γωνίαν δοθεῖσαν τὴν ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς, καὶ ὅτι δοθέν ἐστι τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ.

ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ εἰς κύκλον δεδομένον τῷ μεγέθει τὸν ΔΑΓ διῆκται εὐθεῖα ἡ ΒΓ ἀπο- λαμβάνουσα τμῆμα τὸ ΒΑΓ δεχόμενον γωνίαν δοθεῖ- σαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΓ τῷ μεγέθει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΔ δοθεῖσά ἐστι τῷ μεγέθει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται τῇ ΑΔ εὐθείᾳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ· ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓE· καὶ ὡς ἄρα συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΕ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔE ἴση, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ λοιπῇ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ ἐστιν ἴση. ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΔ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΒΔ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ· ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ. οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ· ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ· λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΒΔ 1. εὐθεῖα γραμμή a. 2. τῆς ΒΑΓ a, item lin. 3. 5. ὑπό] ἀπὸ a. ΒΑΓ] a. 6. ΕΒ a. 7. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΔ] om. a καὶ ἐπεί ]ἐπεὶ γάρ a. 8. τόν] corr. ex τῶν m. 2 v. δοθείς· λόγος ἄρα καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς.

λέγω, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ δοθέν ἐστιν.

ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ ΔΕΒ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ. ὡς δὲ ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΕ, οὕτως ἐστὶ συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΕΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ ἐστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ. δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΒ, ΒΔ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ καὶ τῆς ΕΔ.

ϙδ΄.

Ἐὰν κύκλου δεδομένου τῇ θέσει ἐπὶ τῆς δὲαμέτρου δοθὲν σημεῖον ληφθῇ, ἀπὸ δὲ τὸῦ σημείου πρὸς τὸν κύκλον προσβληθῇ τις εὐθεῖα καὶ ἀπὸ τῆς τομῆς πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ τῇ διαχθείσῃ, διὰ δὲ τοῦ σημείου, καθʼ ὃ συμβάλλει ἡ πρὸς ὀρθὰς τῇ περιφερείᾳ, παράλληλος ἀχθῇ τῇ διαχθείσῃ, δοθέν ἐστι τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ συμβάλλει ἡ παράλληλος τῇ διαμέτρῳ, καὶ τὸ ὑπὸ τῶν παραλλήλων περιεχόμενον ὀρθογώνιον δοθὲν ἔσται.

κύκλου γὰρ τῇ θέσει δεδομένου τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ δια- μέτρου τῆς ΒΓ εἰλήφθω δοθὲν σημεῖον τὸ Δ, διὰ δὲ τοῦ Δ πρὸς τὸν κύκλον προσβεβλήσθω τις τυχοῦσα ἡ ΔΑ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α τῇ ΔΑ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΑΕ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ ΑΔ παράλληλος 4. τῆς] τοῦ a. ἐστιν] -v add. m. 2 v. 5. ΑΕΓ] ΒΕΔ a. 6. ΔΕΒ] ΑΕΓ a. 7. ὡς — 8. ΓΕ] om. a. 10. ΒΔ] supra scr. m. 2 v. ΔΕ] ΔΘ P. 11. τῶν ΓΒ, ΒΔ] ἤχθω ἡ ΕΖ· λέγω, ὅτι δοθέν ἐστι τὸ Ζ, καὶ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΕΖ χωρίον δοθέν ἐστιν.

διήχθω ἡ ΕΖ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ.

ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΘΕΑ γωνία, ἡ ΘΑ διάμετρός ἐστι τοῦ ΑΒΓ κύκλου· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ· τὸ Η ἄρα κέντρον ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ κύκλου· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Η. ἔστι δὲ καὶ τὸ Δ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗ τῷ μεγέθει. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΕΘ, καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΗ τῇ ΗΑ, ἴση ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ μὲν ΔΗ τῇ ΗΖ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΖΘ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΗ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΗ· ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· ἑκατέρα ἄρα τῶν ΗΖ, ΗΔ δοθεῖσά ἐστιν. καί ἐστι δοθὲν τὸ Η· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ ἐστιν. καὶ ἐπεὶ κύκλου δεδομένου τῇ θέσει τοῦ ΑΒΓ εἴληπται ση- μεῖον τὸ Ζ δοθέν, καὶ διῆκται ἡ ΕΖΘ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖΘ· ἴση δὲ ἡ ΘΖ τῇ ΔΑ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΕΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

2. τῶν] τῆς a. 3. ΕΖ] ΕΘ a. τὸ Θ] τὴν Ζ a. 4. τῶν] τῆς a. 5. Post ΒΓ add. διάμετρος a. 6. ἄρα] om. v, add. m. 2. 7. τό (alt.)] om. P. δοθεῖσα] θέσει a. 9. ΗΑ] ΑΗ a. 10. ἐστίν v. καί] om. v, add. m. 2. ΖΘ] ΘΖ a.δοθεῖσα δέ — 11. θέσει] om. a. 12. ἄρα] om. PVat.v, add. m. 2 Vat. καί ἐστι] om. a. 13. ἐστιν] om. a. ἐπεί]. ἐστιν ἐπί a. 15. δοθὲν τὸ Ζ a. δοθέν (alt.)] καὶ δοθέν a.ἂρα ἐστί] om. a. 17. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. a. Post δεῖξαι add. τέλος atr. rubro m. 2 Vat. ln fine: ΕΥΚΛΕΙΔΟΥ ΔΚΔΟΜΕΝΑ P; item Vat., in quo m. 2 atr. rubro ante ΕΥ add. τῶν (euan.), Α mut. in ων, add. τέλος; tertium denique τέλος m. 2 infra extremam figuran in imo folio; τέλος εὐκλειδου δεδομένα v; τελος. ευκλειδου δεδομενα της θεωνος εκδοσεως a.