κε΄.

Ἐὰν δύο γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι τέμνωσιν ἀλλήλας, δέδοται τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνουσιν ἀλλή- λας, τῇ θέσει.

δύο γὰρ γραμμαὶ τῇ θέσει δεδομέναι αἱ ΑΒ, ΓΔ τεμνέτωσαν ἀλλήλας κατὰ τὸ Ε σημεῖον. λέγω, ὅτι δοθέν ἐστι τὸ Ε σημεῖον.

εἰ γὰρ μή, μεταπεσεῖται τὸ Ε σημεῖον. μεταπεσεῖται ἄρα καὶ μιᾶς τῶν ΑΒ, ΓΔ ἡ θέσις. οὐ μεταπίπτει δέ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ε σημεῖον.

κς΄.

Ἐὰν εὐθείας γραμμῆς τὰ πέρατα ᾖ δεδομένα τῇ θέσει, δέδοται ἡ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

εὐθείας γὰρ γραμμῆς τὰ πέρατα τὰ Α, Β δεδομένα 2. τῶν] add. m. 2 Vat. 4. τῷ] τό Vat. 6. τῷ] τό a. τό] τῷ a. 11. Seq. demonstr. altera, u. app. 14. ὅ] corr. ex ἅ m. 2 Vat. 15 τῇ θέσει] om. β. 16. γάρ] om. a. 18. Ε] om. a. 19. μή] δύνατον a. 20. ἄρα] om. a 23. ᾖ] ἔστω τῇ θέσει. λέγω, ὅτι δέδοται ἡ ΑΒ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

εἰ γὰρ μένοντος τοῦ Α μεταπεσεῖται τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι ἡ θέσις ἢ τὸ μέγεθος, μεταπεσεῖται καὶ τὸ Β σημεῖον. οὐ μεταπίπτει δέ. δέδοται ἄρα ἡ ΑΒ εὐθεῖα τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει.

κζ΄.

Ἐὰν εὐθείας γραμμῆς τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τὸ ἕν πέρας δοθὲν ᾖ, καὶ τὸ ἕτερον δο- θήσεται.

εὐθείας γὰρ γραμμῆς τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τῆς ΑΒ τὸ ἕν πέρας τὸ Α δοθὲν ἔστω. λέγω, ὅτι καὶ τὸ Β δοθέν ἐστιν.

εἰ γὰρ μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται τὸ Β σημεῖον, μεταπεσεῖται ἄρα καὶ τῆς ΑΒ εὐθείας ἤτοι ἡ θέσις ἢ τὸ μέγεθος. οὐ μεταπίπτει δέ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Β σημεῖον.

κη΄.

Ἐὰν διὰ δεδομένου σημείου παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσςι.

διὰ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α παρὰ θέσει δεδο- μένην εὐθείαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΔΑΕ. λέγω, ὅτι δέδοται ἡ ΔΑΕ τῇ θέσει.

εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Α σημείου μεταπεσεῖται 1. ἔστω τῇ θέσει] om. a. ἔστω] ἔστωσαν v. 4 ῃ] om. a. 5. ἡ] supra scr.m. 1 v. εὐθεῖα] om. a. 9. δοθὲν ᾖ δοθῇ β. δοθήσεται] δοθὲν ἔται β. 11. γραμμῆς] om. v. 12. ἔστω ] ἔστωσαν v, del. σαν m. 2. 14. εἰ γὰρ μή a. 16. μεταπίπτει] μεταπεσεῖται a. 17. Seq. demonstr. altera, u app. τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις. διαμενούσης τῆς ΒΓ παραλλήλου μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΖΑΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΒ τῃ ΖΑΗ. ἀλλά ἡ ΒΓ

τῇ ΔΑΕ ἐστι παράλληλος. καὶ ἡ ΔΑΕ ἄρα τῇ ΗΑΖ παράλληλός ἐστιν. ἀλλὰ καὶ συμπίπτει· ὅπερ ἐστὶν ἄτο- πον. οὐκ ἄρα μεταπεσεῖται τῆς ΔΑΕ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑΕ.

κθ΄.

Ἐὰν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ δεδομένην ποι- οῦσα γωνίαν, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

πρὸς θέσει γὰρ δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΑΒ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδομένῳ τῷ Γ εὐθεῖα ἤχθω ἡ ΓΔ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΒΓΔ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΓΔ.

εἰ γὰρ μή, μένοντος τοῦ Γ σημείου μεταπεσεῖται τῆς ΓΔ ἡ θέσις διατηροῦσα τῆς ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γω- νίας τὸ μέγεθος. μεταπιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΓΕ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΒ, ἡ μείζων τῇ ἐλάσσονι· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα μετα- πεσεῖται τῆς ΔΓ ἡ θέσις. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ.

1. ή] om. a. 2. ἐστίν] om. a. 3. ΓΒ] ΒΓ a. 5. καί] omn. a. 6. ἐστι παράλληλος a. 11. δεδομένῃ] δεδομένον v, supra scr. η m. 2. αὐτῇ] ἑαυτῇ Pv. 15. εὐθεῖα γραμμή a.16. δεδομένην - BΓΔ] om. v, supra add. m. 2. 17. θέσει] θέσις a. 19. τῆς (pr.)] τοῦ Vat., corr. m. 2. 20. καὶ ἔστω] ὡς a. 21. ΔΓΒ] EΓΒ a. ΕΓΒ] τῶν ΔΓΒ a. 23. θέσει — ΓΔ] om. a ΓΔ] ΔΓ Vat. v.