ΠΡΟΤΑΣΙΣ ιβ′. ΘΕΩΡ.

Ἐὰν ἐν σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφάπτωνται, ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν i παραλλήλων κύκλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν, ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος, λοξὸς ὤν πρὸς τοὺς παραλλήλους, μειζόνων ἐφάπτηται, ἢ ὧν οἱ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτοντο, καὶ τέμνῃ τοὺς τοῦ αὐτοῦ ἐφαπτομένους μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων καὶ οὗ οἱ ἐξ ἀρχῆς ἐφήπτοντο· ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον, οὗ ἐφάπτεται ὁ λοξὸς κύκλος, μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων κύκλων περιφέρεια, ἡ μεταξὺ τῶν τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἐφαπτομένων, πρὸς τὴν τοῦ λοξοῦ κύκλου περιφέρειαν, τὴν μεταξὺ τῶν αὐτῶν κύκλων.

Ἐν γὰρ σφαίρᾳ μέγιστοι κύκλοι οἱ ΑΒ, ΓΔ τοῦ αὐτοῦ τῶν παραλλήλων ἐφαπτέσθωσαν τοῦ ΑΓ κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα, ὁμοίας ἀφαιροῦντες περιφερείας τῶν παραλλήλων κύκλων, τὰς μεταξὺ αὐτῶν· ἄλλος δέ τις μέγιστος κύκλος, λοξὸς ὤν πρὸς τοὺς παραλλήλους, ὁ ΕΖ, μειζόνων ἐφαπτέσθω, ἢ ὧν οἱ ΑΒ, ΓΔ ἐφάπτονται, καὶ τεμνέτω ὁ ΕΖ τοὺς ΑΒ, ΓΔ μεταξὺ τοῦ μεγίστου τῶν παραλλήλων, καὶ οὗ οἱ ΑΒ, ΓΔ ἐφάπτονται, τοῦ ΑΓ κύκλου. Ἔστω δὲ μέγιστος μὲν τῶν παραλλήλων κύκλων ὁ ΜΒΞ, οὗ δὲ ἐφάπτεται ὁ ΕΖ, ἔστω ὁ ΕΗ· λέγω, ὅτι ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν.

Ἔστω γὰρ ὁ πόλος τῶν παραλλήλων τὸ Λ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Λ καὶ ἑκάστου τῶν Ε, Θ, Κ σημείων μέγιστοι κύκλοι γεγράφθωσαν οἱ ΛΕΜ, ΛΘΝ, ΛΚΞ, διὰ δὲ τοῦ Κ παράλληλος κύκλος γεγράφθω ὁ ΟΚ, διὰ δὲ τοῦ Θ μέγιστος κύκλος γεγράφθω ὁ ΘΠ, ἐφαπτόμενος τοῦ ΕΗ κύκλου κατὰ τὸ Π.

Ἐπεὶ οὖν ἐν σφαίρᾳ δύο παράλληλοί εἰσι κύκλοι οἱ ΟΚ, ΕΠΗ, καὶ γεγραμμένοι εἰσὶ δύο μέγιστοι κύκλοι οἱ ΕΘΚΖ, ΟΘΠ, ἐφαπτόμενοι τοῦ ΕΠΗ κατὰ τὰ Ε, Π, διὰ δὲ τοῦ Θ σημείου καὶ τοῦ πόλου τοῦ Λ μέγιστος γέγραπται κύκλος ὁ ΛΘΡ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΡ τῇ ΡΚ, καὶ ἡ ΡΣ ἄρα τῆς ΡΚ ἐλάσσων ἐστὶν, ἡ ΣΚ ἄρα τῇ ΚΡ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῇ. Ἀλλ’ ἡ μὲν ΣΚ τῇ ΒΔ ἐστὶν ὁμοία, ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΝΞ· καὶ ἡ ΒΔ ἄρα τῆς ΝΞ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλῆ. Καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΕΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἥπερ ἡ ΜΝ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΘ περιφέρειαν, ἔχει δὲ καὶ ἡ ΜΝ περιφέρεια πρὸς τὴν ΕΗ περιφέρειαν μείζονα λόγον, ἤπερ ἡ ΝΞ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν· καὶ ἡ τῆς σφαίρας ἄρα διάμετρος πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΝΞ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν· καὶ η ἄρα διπλασίων a τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τῆς ΝΞ περιφερείας διπλῇ πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν· ἡ δὲ τῆς ΝΞ περιφερείας διπλῆ πρὸς τὴ ΘΚ περιφέρειαν μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ, ἡ γὰρ τῆς ΝΞ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΔ. Πολλῷ ἄρα ἡ διπλασίων τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας πρὸς τὴν τοῦ ΕΠΗ κύκλου διάμετρον μείζονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΒΔ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΚ περιφέρειαν.