Ἥρωνος εἰσαγωγαὶ τῶν γεωμετρουμένων.

Ἡ ἐπίπεδος γεωμετρία συνέστηκεν ἔκ τε κλίματων καὶ σκοπέλων καὶ γραμμῶν καὶ γωνιῶν κ. τ. λ. (V, Geom. cap. 3).

Ἐπειδήπερ ἐν τοῖς κλίμασιν ἐκράτησέ τις συνήθεια τοῖς ἐγχωρίοις μέτροις χρᾶσθαι ἕκαστον, καὶ ἐκ τῆς ἀναλογίας τοῦ ποδὸς πρὸς τὸν πῆχυν ἐξισοῦται τὸ μέτρον. τούτων δέ οὕτως ἐχόντων τὴν μέτρησιν τῶν θεωρημάτων ποιησόμεθα.

Καὶ ἔστιν ἡ μέτρησις τῶν θεωρημάτων κατὰ τὰ ὑποτεταγμένα οὕτως.

Ἔστω τετράγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ποδῶν ν´· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν διαγώνιον· ποιῶ οὕτως· τὰ ν´ ἐφ᾿ ἑαυτὰ γίνονται ,βφί· 26. πόδας sic G, quod propterea commemoro, quia plerumque π habet: in sequentibus igitur, ubi nihil adnotabo, formam per compendium scriptam esse scito 27. 31. γίνεται, nisi fallor, G (item p. 212, 4) ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοσούτων. τὴν δὲ διαγώνιον εὑρεῖν· δὶς τὸ ἐμβαδὸν ε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται πόδες ο´ Ϲ δ˝· τοσούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος. καὶ ἄλλως· τὴν μίαν πλευράν, τουτέστι τὰ ν´, ἐπὶ τὰ ο´ Ϲ δ˝ γίνονται πόδες ,Ϛφλζ´ Ϲ· ὧν ν˝ γίνεται ο´ Ϲ δ˝.

Ἔστω τετράγωνον ἑτερόμηκες ἤτοι παραλληλόγραμμον, οὗ τὸ μῆκος ποδῶν ν´, τὸ δὲ πλάτος ποδῶν λ´· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν διαγώνιον· ποιῶ οὕτως· τὸ μῆκος ἐπὶ τὸ πλάτος γίνονται πόδες ,αφ´· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ,αφ´ ποδῶν. τὴν δὲ διαγώνιον εὑρεῖν· τὸ μῆκος ἐφ᾿ ἑαυτὸ γίνονται πόδες ,βφ´· καὶ τὸ πλάτος ἐφ᾿ ἑαυτὸ γίνονται πόδες Ϡ´· ὁμοῦ γίνονται πόδες ,γυ´· ὧν πλευρὰ τετραγωνική πόδες νη´ γ˝· τοσούτου ἐστὶν ἡ διαγώνιος ποδῶν νη´ γ˝· τὸ δὲ ἐμβαδόν ἐστι ποδῶν ,αφ´.

Ἔστω τετράγωνον παραλληλόγραμμον μὴ ὂν ὀρθογώνιον, οὗ τὸ μεῖζον μῆκος ποδῶν λβ´, καὶ ἡ ἄλλη ποδῶν λ´· ὁμοῦ γίνονται πόδες ξβ´· ὧν τὸ ἥμισυ γίνονται λα´. καὶ τὸ πλάτος ποδῶν ιη´, καὶ τὸ ἄλλο ποδῶν ιϚ´· ὁμοῦ γίνονται λδ´· ὧν τὸ Ϲ ιζ´· ταῦτα πολυπλασιάζω ἐπὶ τὰ λα´· γίνονται πόδες φκζ´. ἑξῆς καταγραφή.

Τρίγωνον ὀρθογώνιον, οὗ ἡ μὲν κάθετος ποδῶν λ´, ἡ δὲ βάσις ποδῶν μ´ ἡ δὲ ὑποτείνουσα ποδῶν ν´· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν· ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον γίνονται πόδες ,ασ´· ὧν Ϲ γίνονται πόδες χ´· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν χ´. εὑρεῖν αὐτοῦ καὶ τὴν ὑποτείνουσαν· τὰ λ´ τῆς καθέτου ἐφ᾿ ἑαυτὰ γίνονται Ϡ´· καὶ τὰ μ´ τῆς βάσεως ἐφ᾿ ἑαυτὰ γίνονται αχ´· ὁμοῦ πόδες ,βφ´· ὧν πλευρά τετραγωνικὴ γίνεται ν´. ἄλλως εὑρεῖν τὴν ὑποτείνουσαν· σύνθες τάς β´ πλευράς, τὰ λ´ καὶ τὰ μ´· γίνονται ο´· ταῦτα ἐπὶ ε´ τν´· τούτων τὸ ξ˝ ν´.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον ἕτερον καὶ ἐχέτω τὴν μὲν βάσιν ποδῶν μ´, τὴν δὲ ὑποτείνουσαν ποδῶν μα´ τὴν δὲ κάθετον ποδῶν θ´· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον· 1. ἔστω G 2. ,ε G 9. πόδες G ἔστω G 10. ποδῶν G 12. γίνεται G 13. νη´ prius] λϹ η G (voluit Νη) 16. μεῖζον] μεῖνον G 23. ποιῶν G 24. Ϲ˝ G ἔστω G 27. γι cum nota compendii G 29, γίνεται G ποιῶ οὕτως· τὰ μα΄ ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται ,αχπα΄. καὶ τὰ μ΄ ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται ,αχ΄· ταῦτα ὑφαιρῶ ἀπὸ τῶν ,αχπα΄ ποδῶν· λοιπὸν μένουσι πόδες πα΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνεται πόδες θ΄. νῦν ποιῶ τὴν κάθετον ἐπὶ τὴν βάσιν· γίνονται τξ΄· ὧν τὸ Ϲ γίνονται πόδες ρπ΄· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ρπ΄. ἑξῆς ἡ καταγραφή.

Τρίγωνον ἰσοσκελές, οὗ ἡ κάθετος ποδῶν μ΄, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ιβ΄· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν· ποιῶ οὕτως· τὴν βάσιν ἐπὶ τὴν κάθετον γίνονται πόδες σμ΄· ὧν τὸ ἥμισυ γίνονται πόδες ρκ΄· ἔσται τὸ ἐμβαδὸν ποδῶν ρκ΄.

Τριγώνου ἰσοσκελοῦς ἑκάστη τῶν ἴσων πλευρῶν ποδῶν κε΄, ἡ δὲ βάσις ποδῶν ιδ΄· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον· ποιῶ οὕτως· ἑκάστης πλευρᾶς ποίησον ◻΄· γίνονται πόδες χκε΄· λαμβάνω τὸ Ϲ τῆς βάσεως· γίνονται πόδες ζ΄· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ γίνονται πόδες μθ΄· λοιπὸν μένουσι πόδες φοϚ΄· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ γίνονται πόδες κδ΄· καὶ τὰ ζ΄ ἐπὶ τὴν κάθετον πόδες ρξη΄· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

Ἔστω τρίγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἐχέτω ἑκάστην πλευρὰν ἀνὰ πόδας λ΄, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον· ποιῶ οὕτως· τὸ ἐμβαδόν ἐστι ποδῶν τ𝒢Ϛ΄· ταῦτα ἐπὶ τὲ δ΄ γίνονται πόδες αφξ΄· ἄρτι σύνθες τὰς τρεῖς πλευράς· γίνονται πόδες 𝒢΄· ἄρτι μερίζω τῶν ,αφξ΄ τὸ 𝒢″· γίνονται πόδες ιζ΄ γ″· τοσούτων ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.

Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον, οὗ τὸ μικρότερον σκέλος ποδῶν 1. ποιῶν G 5. Ϲ″ G ἔστω G 7. ἰσοσκελοῦς G 9. γίνον- ται] γι΄ G, quod compendium hinc non enotavi nisi in dubia scriptura 10. ἔστω G 11. Τρίγωνον G 13. ἑκάστης] immo τῆς 17. ἔστω G 20. πόδας scripsi ex cap. 54, πο G 22. γίνεται cum suprascr. ον G 24. ιζ΄ ζ G 25. πάλιν] πᾶν G 26. πόδας habet G 28. ἔστω G 29. λδ Ϲ η G, et similiter reliquis locis 30. ἔστω G ιγ´, καὶ τὸ μεῖζον ποδῶν ιε´, καὶ ἡ βάσις ποδῶν ιδ´, καὶ ἐπιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον· ποιῶ οὕτως· φανερὸν ὅτι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν πδ´· ταῦτα ἐπὶ τὰ δ´ γίνονται πόδες τλϚ´· ἄρτι σύνθες τὰς τρεῖς πλευρὰς τοῦ τριγώνου· γίνονται πόδες μβ´· τὰ τλϚ´ εἰς τὰ μβ´ γίνονται πόδες η´· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν ν´.

Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον, οὗ τὸ μικρότερον σκέλος ποδῶν ιγ´, καὶ τὸ μεῖζον ποδῶν ιε´, καὶ ἡ βάσις ποδῶν ιδ´, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον· ποιῶ οὕτως· τὸ μικρότερον σκέλος ἐπὶ τὸ μεῖζον, τὰ ιγ´ ἐπὶ τὰ ιε´, γίνονται πόδες ρϥε´· εἰς ιβ˝ γίνονται πόδες ιϚ´ δ˝· τοσούτων ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου.

Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον καὶ ἐχέτω τὴν μίαν πλευρὰν ποδῶν ι´ καὶ τὴν βάσιν ποδῶν θ´, καὶ τὴν ὑποτείνουσαν ποδῶν ιζ´, καὶ ἐγγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον· ποιῶ οὕτως· φανερὸν ὅτι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν λϚ´· ταῦτα ἐπὶ τὰ δ´ γίνονται πόδες ρμδ´· καὶ σύνθες τὰς τρεῖς πλευρὰς τοῦ τριγώνου· γίνονται πόδες λϚ´· ἄρτι μέρισον τῶν ρμδ´ τὸ λϚ˝· γίνονται πόδες δ´· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ ἐπιγραφομένου κύκλου ποδῶν δ´.

Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον καὶ ἐχέτω τὸ μικρότερον σκέλος ποδῶν ι´, καὶ τὴν βάσιν ποδῶν θ´, καὶ τὴν ὑποτείνουσαν ποδῶν ιζ´, καὶ περιγεγράφθω κύκλος· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον· ποιῶ οὕτως· τὸ μικρότερον σκέλος ἐπὶ τὸ μεῖζον, τὰ ι´ ἐπὶ τὰ ιζ´, γίνονται πόδες ρο´ φανερὸν ὅτι κάθετος τοῦ τριγώνου ἐστὶ ποδῶν η´· ἄρτι μερίζουσι τὸ η˝ τῶν ρο´ γίνονται πόδες κα´ δ˝· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν κα´ δ˝.

Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ διάμετρος ποδῶν ιδ´· ἡ δὲ περίμετρος εὑρεθήσεται κατὰ τὴν ἔκθεσιν ποδῶν μδ´· τὸ δὲ ἐμβαδὸν ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν μέθοδον τῆς περιμέτρου εὑρεῖν, ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον ποίει ἐπὶ τὰ κβ´· γίνονται 2. ποιῶν G 6. ἔστω G 8. μικρὸν G 10. περιγράφθω G 1. τὰ ιγ´ ἐπὶ om. G 13. τοσοῦτον ἔστω G 16. ἐγγράφθω G 21. ἔστω G 22. μικρὸν G 25. ποιοῦ G 28. ἔστω G πόδες τη΄· καὶ πάντοτε μέριζε καθολικῶς παρὰ τὸν ζ΄ τουτέστιν ὧν ζ″· γίνονται μδ΄· ἔσται ἡ περίμετρος ποδῶν μδ΄.

Ἔστω κύκλος, οὗ ἡ περίμετρος ποδῶν π΄· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν διάμετρον· ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν περίμετρον ἐπὶ τὰ ζ΄· γίνονται φξ΄· μερίζω· ὧν τὸ κβ″· γίνονται πόδες κε΄ Ϲ· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ποδῶν κε΄ Ϲ.