Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ δωδεκαγώνου, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· τὴν πλευρὰν δωδεκάκις· γίνονται πόδες ξ΄· καὶ μερίζω καθολικῶς· ὧν γ″ γίνονται πόδες κ΄· ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ δωδεκαγώνου ποδῶν κ΄.
Ὁμοίως καὶ οἱουδήποτε πολυγόνου ἐὰν δοθῇ σοι ἡ
διάμετρος, πάντοτε καθολικῶς τριπλασίαζε τὴν διάμετρον
γίνονται πόδες· καὶ συναχθέντα μέριζε παρὰ τὴν ὀνομασίαν
τῶν πολυγώνων, καὶ ἕξεις τὴν πλευρὰν τοσούτου
ἀποφήνασθαι.
Ἐὰν δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν τὴν διάμετρον, ποίει
τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν πολυπλασίαζε
ἐπὶ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγόνων· οἷον ἐὰν ᾖ τρισκαιδεκάγωνος,
ποίει τρισκαιδεκάκις καὶ ἕξεις τὴν διάμετρον
ποδῶν.
Ἐὰν δὲ τεσσαρεσκαιδεκάγωνος ἢ πεντεκαιδεκάγωνος ἢ
ἑκκαιδεκάγωνος ἢ ὁσονδήποτε, ποίει καθὼς προγέγραπται·
ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὴν πλευρὰν καὶ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τὴν
Εὐκλείδου εὐθυμετρικά.
Τῶν εὐθυμετρικῶν διαστημάτων μέτρα ἐστὶ τάδε· δάκτυλος,
παλαιστής, σπιθαμή, πούς, πῆχυς, βῆμα, ὀργυιά,
ἄκαινα, πλέθρον, στάδιον, μίλιον. τούτων δὲ ἐλάχιστόν ἐστι
δάκτυλος. ἔχει μὲν ὁ παλαιστὴς δακτύλους δ΄, οὐγγίας γ΄.
ἡ δὲ σπιθαμὴ ἔχει παλαιστὰς γ΄, δακτύλους ιβ΄, οὐγγίας
θ΄. ὁ δὲ ποὺς ἔχει παλαιστὰς δ΄, δακτύλους ιϚ΄, οὐγγίας
ιβ΄. ὁ πῆχυς ἔχει πόδα α΄ Ϲ. τὸ βῆμα ἔχει πήχεις β΄,
πόδας γ΄. ἡ ὀργυιὰ ἔχει πήχεις δ΄, πόδας Ϛ΄. ἡ ἄκαινα
ἔχει πήχεις Ϛ΄ β″, πόδας ι΄. τὸ δὲ πλέθρον τὸ εὐθυμετρικὸν
ἔχει πήχεις ξϚ΄ β″, πόδας ρ΄. τὸ στάδιον ἔχει πλέθρα
Ϛ΄, ὀργυιὰς ρ΄. πήχεις υ΄. πόδας χ΄. τὸ μίλιον ἔχει
στάδια ζ΄ Ϲ, πόδας δφ΄· τὸ δὲ Ῥωμαϊκὸν μίλιον ἔχει πόδας
ευ΄ τὸ καλούμενον παῤ αὐτοῖς.
Τοῦ δὲ ποδός ἐστιν εἴδη γ΄· εὐθυμετρικός, ἐπίπεδος,
στερεός. εὐθυμετρικὸς μέν ἐστιν ὁ ἔχων μῆκος καὶ πλάτος·
τούτῳ δὲ τὸ μῆκος καταμετρεῖται. ἐπίπεδός ἐστιν ὁ
ἔχων μῆκος ποδὸς α΄, πλάτος ποδὸς α΄· τούτῳ μὲν τὰ ἐπίπεδα
σχήματα καταμετρεῖται. ὁ δὲ στερεὸς ποὺς ἔχει μῆκος
ποδὸς α΄, πλάτος ποδὸς α΄, βάθος ποδὸς α΄· τούτῳ
δὲ τὰ στερεὰ σχήματα καταμετρεῖται· χωρεῖ δὲ ὁ στερεὸς
ποὺς κεράμιον α΄, μοδίους γ΄· ἕκαστος μόδιος ἀπὸ ξεστῶν
Ἰταλικῶν ἀριθμῷ ιϚ΄.
Τριγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιγ΄· ὧν λ″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἄλλως δὲ πάλιν. τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ τῆς
βάσεως τὸ ἥμισυ ἐφʼ ἑαυτό· ὕφελε ἀπὸ τῶν συναχθέντων,
καὶ τῶν καταλειφθέντων ποίει πλευρὰν τετραγωνικήν· ἔσται
ἡ κάθετος.
Ἐὰν δὲ ζητήσωμεν ἄλλου τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν οἱουδηποτοῦν,
Τετραγώνου ἰσοπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν
ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ ἕξεις τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ τὴν διαγώνιον
τοῦ αὐτοῦ τετραγώνου, δὶς τὸ ἐμβαδόν· ὧν πλευρὰ
τετραγωνική.
Τετραγώνου ἑτερομήκους τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν
ἐπὶ τὴν πλευράν· ἔσται τὸ ἐμβαδόν. ἐὰν δὲ τὴν διαγώνιον
τοῦ αὐτοῦ ἑτερομήκους, ἑκάστην πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν·
μίξαι· ὧν πλευρὰ τετράγωνος ἔσται ἡ διαγώνιος.
Πενταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ε΄· ὧν τρίτον ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἑξαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ Ϛ΄· ὧν γ″ καὶ ι″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἑπταγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλειρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ΄· ὧν ιβ″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ὀκταγώνου εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν· τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ κθ΄· ὧν τὸ Ϛ″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Ἐνναγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν·
ταῦτα ἐπὶ τὰ με΄· ὧν
Ἄλλως δὲ πάλιν. τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ λη΄· ὧν τὸ Ϛ″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν. αὕτη ἡ ἀκριβεστέρα ἐστίν.
Ἑνδεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϚ΄· ὧν ζ″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Δωδεκαγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ με΄· ὧν δ″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
Κύκλου ἀπὸ τῆς διαμέτρου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· ποίει τὴν διάμετρον ἐφʼ ἑαυτήν· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια΄· ὧν ιδ″ ἔσται τὸ ἐμβαδόν.