ις. Φρεατίας ὑπονόμῳ εἰς ὄρος διορύξαι | κατὰ p. 236 κάθετον οὔσας τῷ ὑπονόμῳ. ἔστω τὰ ὑπονόμου πέρατα τὰ Α, Β· καὶ εἰλήφθωσαν, ἐπʼ εὐθείας τῇ ΑΒ, αἱ ΓΑ, Β∠, ὡς ἐμάθομεν. ἔστησα οὖν δύο κανόνας ὀρθοὺς πρὸς τοῖς Α, Γ τοὺς ΓΕ, ΑΖ καὶ τὴν διόπτραν πρὸς τῷ ὄρει ἀποστήσας σύμμετρον διάστημα, ὥστε διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος ἅμα φανῆναι τοὺς ΓΕ, ΑΖ κανόνας. ἔστω οὖν ἡ μὲν διόπτρα ἡ ΗΘ, ὁ δὲ ἐν αὐτῇ κανὼν ὁ ΚΛ· καὶ μένοντος τοῦ ΚΛ κανόνος ἀκινήτου μετατίθημι ἕνα τῶν ΓΕ, ΑΖ κανόνων, ὡς ἐπὶ τὸ M σημεῖον, ἔμπροσθεν τῆς διόπτρας, ὡς τὸν ΜΝ, περιφέρων αὐτὸν ὀρθόν, ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ΚΛ κανόνος φανῇ ὁ ΜΝ κανών. καὶ ἔσται τὸ Μ σημεῖον κατὰ κάθετον κείμενον τῷ ὑπονόμῳ. πάλιν δὴ μετατεθείσης τῆς διόπτρας ἔμπροσθεν τοῦ ΜΝ κανόνος ἐπὶ τὸ Ξ περιφέρω, ἄχρις ἂν διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος ἅμα φανῶσιν οἱ ΑΖ, ΜΝ κανόνες· καὶ πάλιν μένοντος τοῦ ἐν τῇ διόπτρῳ κανόνος ἀκινήτου μεταφέρω τὸν Α κανόνα ἔμπροσθεν τῆς διόπτρας ὀρθὸν ὡς ἐπὶ τὸ Ο σημεῖον περιφέρων αὐτὸν, ἕως οὗ διὰ τοῦ ἐν τῇ διόπτρᾳ κανόνος φανῇ ὁ ΟΠ p. 238 κανών· καὶ ἔσται ὁμοίως τὸ Ο κατὰ κάθετον τῷ ὑπονόμῳ. ὡσαύτως δὲ καὶ ἕτερα πλείονα λαμβάνων σημεῖα γράψω ἐν τῷ ὄρει γραμμήν, ἥτις πᾶσα κατὰ κάθετον ἔσται τῷ ὑπονόμῳ. κἂν βουλώμεθα δὲ καὶ ἐκ τῶν Β, ∠ μερῶν τὰ αὐτὰ ποιεῖν, οὐδὲν διοίσει. ἐπὶ τῆς ληφθείσης οὖν ἐν τῷ ὄρει γραμμῆς διαστήματα λαμβάνοντες, ἡλίκα ἄν βουλώμεθα, καὶ κατὰ κάθετον ὀρύσσοντες τὰς φρεατίας ἐπιτευξόμεθα τοῦ ὑπονόμου. χρὴ δὲ νοεῖν καὶ ταύτην τὴν δεῖξιν, ὡς τοῦ ὑπονόμου ἐπὶ μιᾶς εὐθειας ὄντος.

| ιζ. Λιμένα περιγράψαι πρὸς τὸ δοθὲν κύκλου τμῆμα, τῶν περάτων αὐτοῦ δοθέντων. 5 τῶν ΓΑ ΑΖ 6 τὸ σημεῖον 12 οἱ ΑΖ ΜΗ 16—17 ὁ ΘΠ κανὼν 18 λαμβάνω 21—22 λειφθησης 23 ἡνίκα: correxi 28 τμῆμα ex σχῆμα fec. m. 1 βανομένων σημείων ἡ περιγραφομένη γραμμὴ ἡ ἐν ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι. ὅτι δὲ ἡ ΒΘΑ γραμμὴ κύκλου περιφέρειά ἐστι καὶ ὁμοία τῇ Γ∠Ε, φανερόν· κῶνος γὰρ γίνεται, οὗ βάσις μὲν ὁ Γ∠Ε κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, πλευραὶ δὲ αὐτοῦ αἱ ἀπὸ τοῦ σημείου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν Γ∠Ε περιφέρειαν. καὶ τέμνεται ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῇ βάσει, τῷ ἐν ᾧ ἐστι τὰ Α, σημεῖα, καὶ πλευραὶ αὐτοῦ εἰσὶν αἱ ΖΓΒ, ΖΕΑ ἡ ἄρα ΒΘΑ γραμμὴ κύκλου γίνεται περιφέρεια καὶ ὁμοία τῇ Γ∠Ε. ὁμοίως δέ ἐὰν βουλώμεθα τὴν περιγραφομένην μὴ εἶναι κύκλου περιφέρειαν, ἀλλὰ ἐλλείψεως, ἢ καὶ ὅλην ἔλλειψιν ἢ καὶ παραβολὴν ἢ ὑπερβολὴν ἢ ἄλλην τινὰ γραμμήν, ποιήσομεν ὁμοίαν αὐτῇ ἐκ σανίδος· καὶ ἐφαρμόσαντες ἐπὶ τὸ Γ∠ τύμπανον, ὥστε συμφυὲς αὐτῷ γενέσθαι, ὑπερέχειν δὲ εἰς τὸ ἐκτὸς τοῦ τυμπάνου τὴν ἐκ τῆς σανίδος περιτμηθεῖσαν γραμμὴν, τὰ αὐτὰ ποιήσομεν τοῖς ἐπὶ τῆς Γ∠Ε περιφερείας εἰρημένοις. οὕτως οὖν πάσῃ τῇ δοθείσῃ γραμμῇ ὁμοίαν περιγράψομεν. ἐὰν δὲ βουλώμεθα τὴν περιγραφομένην γραμμὴν μὴ ἐν τῷ ἐδάφει γράφεσθαι παραλλήλῳ τῷ ὁρίζοντι, ἀλλʼ ἐν p. 246 ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ, καταστήσομεν τὸ τύμπανον παράλληλον τῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ μέλλει γράφεσθαι ἡ γραμμή, καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσομεν· πάλιν γὰρ γίνεται κῶνος ἐπιπέδῳ τεμνόμενος τῷ ἐν ᾧ ἐστὶν ἡ γραμμὴ παράλληλος τῇ βάσει. ὁμοίως καὶ γέφυραν περιγράψομεν. τὸ δὲ τύμπανον τὸ Γ∠Ζ καταστήσομεν καὶ παράλληλον τῷ 1 [ἡ] delevi 2 παράλληλος: correxi 8 τῆ ἐν ῶ 9—10 γραμμὴ ὃ γίνεται 14 ποιήσω μεν ἐφαρμώσαντες 17 ποιήωμεν 20 βουλομεθα 22 καταστησωμιεν 24 ποιησωμεν 25 f. παραλλήλῳ 26 περι γραφομεν δοθέντι ἐπιπέδῳ οὕτως. ἔστω γὰρ τὸ δοθὲν ἐπίπεδον τὸ ΚΛΜΝ καὶ ἐν αὐτῷ δύο εὐθεῖαι ἔστωσαν αἱ ΚΛ, ΜΝ καὶ εὑρήσθω ἡ θέσις τῆς ΚΛ ἐν τοῖς πρὸς ἡμᾶς μέρεσιν, καὶ ἔστω ἡ ΞΟ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ θέσις τῆς ΛΜ εὑρήσθω, καὶ ἔστω ἡ ΟΠ. τὸ ἄρα ΚΛΜΝ ἐπίπεδον fol. 71r παράλληλόν ἐστιν τῷ διὰ τῶν ΞΟ, ΟΠ. | ἐγκλίνας οὖν τὸ τύμπανον, ὥστε ἐν τῷ ἐπιπέδῳ αὐτοῦ γενέσθαι τὰς ΞΟ, ΟΠ, ἕξω καθεσταμένον παράλληλον τῷ ΚΛΜΝ ἐπιπέδῳ.

ιη. Ἕδαφος κυρτῶσαι, ὥστε σφαιρικὴν ἔχειν ἐπιφάνειαν πρὸς τὸ δοθὲν τμῆμα. ἔστω ὁ δοθεὶς τόπος ὁ ΑΒΓ∠ μέσον δὲ αὐτοῦ σημεῖον τὸ Ε. διὰ δὲ τοῦ Ε σημείου διήχθωσαν εὐθεῖαι διὰ τῆς διόπτρας οὖσαι ἐν τῷ ἐδάφει, ὁσαιδηποτοῦν, αἱ ΑΓ Β∠, ΖΗ, ΚΘ, ἐφʼ ὧν πάσσαλοι ἐγκεκρούσθωσαν ὀρθοί. ὡς δʼ ἂν ἐπὶ μιᾶς ὑποδείξομεν, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν νοείσθω εὐθειῶν. πεπασσαλοκοπήσθω οὖν ἡ Β∠ τοῖς ΛΜ, 5 ΚΜΛΝ 6 ἐστιν τῶ διατῶι διατων (sic) 9 τὸ ΚΛΜΝ 14 ΖΗ, ΗΘ 15 δʼ ἂν corruptum videtur 16 ἐπι μιᾶς επι|μιᾶς ΝΞ, ΟΠ, PΣ, ΤΥ πασσάλοις· τὸ δὲ τῆς διόπτρας τύμπανον ἔστω τὸ ΦΧΨ, ὅμοιον τῷ τῆς κυρτώσεως τμήματι· καὶ πάλιν καθεστάτω ὀρθῶς πρὸς τὸν ὁρίζοντα, ὥστε κανόνος ὁμοίως παρατεθέντος τοῦ Ωϛ, τὰς ἀπὸ τοῦ Ω ἐπὶ τὰ Φ, Ψ ἐπιζευγνυμένας ἀκτῖνας καὶ ἐκβαλλομένας νεύειν ἐπὶ Β, ∠ σημεῖα. εἶτα διὰ τοῦ Ω πάλιν καὶ τῆς ΦΧΨ περιφερείας τεθεωρήσθω ἐπὶ τῶν πασσάλων σημεῖα τὰ Μ, Ξ, Π, Σ, Υ· ταῦτα δὲ ἔσται ἐπὶ τοῦ τμήματος τῆς κυρτώσεως. καὶ ἐπὶ τῶν p. 250 λοιπῶν δὲ εὐθειῶν ἡ αὐτὴ πασσαλοκοπία καὶ διοπτρεία γεγενήσθω, καὶ ληφθέντων ἐν τοῖς πασσάλοις σημείων ἐγχωννύσθω ὁ τόπος ἄχρι τῶν ληφθέντων σημείων καὶ ἔσται ἡ κύρτωσις τοῦ τόπου σφαιρικὴ ὁμοία τῷ εἰρημένῳ τμήματι.