Synagoge

Pappus Alexandrinus

Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.

64 μ΄. Εσιω δὲ ἀμβλεῖα ἡ γωνία καὶ τῇ ΓΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ Β∠, καὶ τῆς μὲν ὑπὸ ∠ΒΓ τρίτον ἀπειλήφθω μέρος ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΒ∠ ὀξείας γωνίας τρίτον ἡ ὑπὸ ΕΒ∠ (ταῦτα γὰρ ἡμῖν προδέδεικται)· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ὑπὸ ΑΒΓ γωνίας τρίτον μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΒΖ. ἐὰν δὲ τῇ ὑπὸ ΕΒΖ ἴσην συστησόμεθα προς ἑκατέραν τῶν ΑΒΓ, τρίχα τεμοῦμεν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν.

65 μα΄. Τὸ δὲ ὑπερτεθὲν πρόβλημα νῦν ἀναλύσομεν. θέσει οὐσῶν δύο εὐθειῶν τῶν ΑΒΓ καὶ δοθέντος σημείου τοῦ [*](7. ἡ ΑΗ Co pro ἡ ΑΕ 12. διπλῆ bis scriptum in A, sed prius expunctum 13. ὑπὸ ΑΒ∠ διχατεμωμεν (sic) ἔσται ἡ ὑπὸ bis scripia)

278
∠ γράψαι διὰ τοῦ ∠ περὶ ἀσυμπτώτους τάς ΑΒΓ ὑπερβολήν.

Γεγονέτω, καὶ γεγράφθω ἡ Ε∠Ζ, καὶ ἤχθω ἀπὸ ποῦ ∠ ἐφαπτομένη αὐτῆς ἡ Α∠Γ, καὶ διάμετρος ἡ ΗΒ∠, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ. θέσει ἄρα αἱ Η∠ ∠Θ, καὶ δοθὲν τὸ Θ. καὶ ἐπεὶ ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΑΒΓ τῆς ὑπερβολῆς, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΓ, ἴση ἄρα ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, καὶ τὸ ἀφ᾿ ἑκατέρας αὑτῶν τετράγωνον ἴσον ἐστίν τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους. ταῦτα γὰρ ἐν τῷ δευτέρῳ τῶν κωνικῶν ἀποδέδεικται. ἐπεὶ οὖν ἴκη ἡ Γ∠ τῇ ∠Α, ἴση καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΒΘ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΑ. καὶ δοθὲν τὸ Θ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἡ Α∠Γ. καὶ δοθεῖσα τῷ μεγέθει ἡ ΑΓ, ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΑΓ δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ πρὸς τῇ Η∠ εἴδει. δοθέν ἄρα καὶ τύ πρὸς τῇ Η∠ εἶδος. καὶ δοθεῖσα ἡ Η∠ (διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς Β∠ τῷ μεγέθει δεδομένης διὰ τὸ δοθέν ἑκάτερον εἶναι τῶν Β Δ)· δοθεῖσα ἔρα καὶ ἡ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά. γέγονεν δὴ πρόβλημα τοιοῦτον· θέσει καὶ μεγέθει δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῆς τε Η∠ καὶ τῆς ὀρθίας γράψαι περὶ διάμετρον τὴν Η∠ ὑπερβολήν, ἧς [*](3. ἀπὸ] διὰ voluit Co (at Graecus scriptor hoc singificasse videtur :)

280
παρʼ ἣν δύνανται ἔσται ἡ λοιπὴ εὐθεῖα, καὶ αἱ καταγόμεναι τεταγμένως ἐπὶ τὴν Η∠ παράλληλοι ἔσονται θέσει τινὶ εὐθείᾳ τῇ ΑΓ. τοῦτο δὲ ἀναλέλυται ἐν τῷ πρώτῳ τῶν κωνικῶν.

66 μβ΄. Συντεθήσεται δὴ οὕτως. ἔστωσαν αἱ μὲν τῇ θέσει δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒΓ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ ∠, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ∠Θ, τῇ δὲ ΒΘ ἴση ἡ ΘΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Γ, ἐπιζευχθεῖσα δέ καὶ ἡ Β∠ ἐκβεβλήσθω καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΗ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς Η∠ καὶ ἑτέρας τινὸς τῆς Κ, καὶ περὶ διάμετρον τὴν Η∠ καὶ ὀρθίαν τὴν Κ γεγράφθω ὑπερβολὴ ἡ Ε∠Ζ , ὥστε τὰς καταγομένας ἐπὶ τὴν Η∠ παραλλήλους εἶναι τῇ ΑΓ· ἡ ἄρα ΑΓ ἐφάπτεται τῆς τομῆς. καὶ ἔστιν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ ἴση (ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΘ τῇ ΘΑ) , καὶ φανερὸν ὅτι τὸ ἀφ᾿ ἑκατέρας τῶν Α∠ ∠Γ τέταρτόν ἐστι τοῦ πρὸς τῇ Η∠ εἴδους· αἱ ἄρα ΑΒΓ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς Ε∠Ζ ὑπερβολῆς· γέγραπται ἅρα διὰ τοῦ ∠ περὶ τὰς δοθείσας εὐθείας ἀσυμπτώτους ὑπερβολή.

67 μγ΄. Καὶ ἄλλως τῆς δοθείσης περιφερείας τὸ τρίτον ἀφαιρεῖται μέρος, χυρὶς τῆς νεύσεως, διὰ στερεοῦ τόπου τοιούτου.

282

Θέσει ἡ διὰ τῶν Α Γ, καὶ ἀπὸ δοθέντων ἐπʼ αὐτῆς τῶν Α Γ κεκλάσθω ἡ ΑΒΓ διπλασίαν ποιοῦσα τὴν ὑπὸ ΑΓΒ γωνίαν τῆς ὑπὸ ΓΑΒ· ὅτι τὸ Β πρὸς ὑπερβολῇ. Ἤχθω κάθετος ἡ Β∠, καὶ τῇ Γ∠ ἴση ἀπειλήφθω ἡ ∠Ε· ἐπιζευχθεῖσα ἄρα ἡ ΒΕ ἴση ἔσται τῇ ΑΕ. κείσθω καὶ τῇ ∠Ε ἴση ἡ ΕΖ· τριπλασία ἄρα ἡ ΓΖ τῆς Γ∠. εστω καὶ ἡ ΑΓ τῆς ΓΗ τριπλασία· ἔσται δὴ δοθέν τὸ Η, καὶ λοιπή ἡ ΑΖ τῆς Η∠ τριπλασία. καὶ ἐπεὶ τῶν ἀπὸ ΒΕ ΕΖ ὑπεροχή ἐστιν τὸ ἀπὸ Β∠ ἔστιν δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Α ΑΖ τῶν οὐτῶν ὑπερυχή, ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΑΖ , τουτέστιν τὸ τρὶς ὑπὸ Α∠Η, ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠· πρὸς ὑπερβολῇ ἄρα τὸ Β, ἧς πλαγία μὲν τοῦ πρὸς ἄξονι εἴδους ἡ ΑΗ, ἡ δέ ὀρθία τριπλασία τῆς ΑΗ. καὶ φανερὸν ὅτι τὸ Γ σημεῖον ἀπολαμβένει πρὸς τῇ Η κορυφῇ τῆς τομῆς τὴν ΓΗ ἡμίσειαν τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς τῆς ΑΗ.

Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γάρ τὴν ΑΓ τεμεῖν ὥστε διπλασίαν εἶναι τὴν ΑΗ τῆς ΗΓ, καὶ περὶ ἄξονα τὸν ΑΗ γράψαι διὰ τοῦ Η ὑπερβολήν, ἧς ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά τριπλασία τῆς ΑΗ, καὶ δεικνύναι ποιοῦσαν μὐτὴν τὸν εἰρημένον διπλάσιον λόγον τῶν γωνιῶν. καὶ ἔτι τῆς δοθείσης κύκλου περιφερείας τὸ γ΄ ἀποτέμνει μέρος ἡ τοῦτον [*](1. τῶν AB1, distinx. B2 (vel B3) S ἐπ᾿ Hu auctore Co pro ἀπ᾿ 2. τῶν ΑΓ ΑS, distinx. B ποιοῦσαν AS, corr. B 2. 3. τὴν ὑπὸ ΑΓΒ Co pro τὴν ὑπὸ ΑΒΓ 4. προσυπερβολη A, πρὸς ὑπερ- βολὴν Β, corr. S 10. ἔστω] κείσθω coni. Hu 13. 14. τῶν pro τό corr. et τὸ ἀπὸ Β∠ add. Co 15. ἄρα Hu pro ἴσον 16. τρὶς ὑπὸ Α∠Η Co pro τρὶς ὑπὸ ∠ΑΗ προσυπερβολή ΑΒ, corr. S 19. τὸν ΓΗ om. S 24 δεικνύναι Hu pro δείκνυται 25. τῶν γωνιῶν om. 6 26, τὸ Γ ἀποτέμνειν ABS corr. Hu auctore Co ἡ Β, η Α, ἠ S)

284
γραφομένη τὸν τρόπον ὑπερβολὴ συνιδεῖν ῥάδιον τῶν Α Γ σημείων περάτων τῆς περιφερείας ὑποκειμένων.

68 μδ΄ Ἑτέρως δὲ τὴν ἀνάλυσιν τοῦ τρίχα τεμεῖν τὴν γωνίαν ἢ περιφέρειαν ἐξέθεντό τινες ἄνευ τῆς νεύσεως. ἔστω δὲ ἐπὶ περιφερείας ὁ λόγος· οὐδὲν γὰρ διαφέρει γωνίαν ἢ περιφέρειαν τεμεῖν.

Γεγονέτω δή, καὶ τῆς ΑΒΓ περιφερείας τρίτον ἀπειλήφθω μέρος ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΓ· διπλασίων ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ. τετμήσθω δίχα ἡ ὑπὸ ΑΓβ τῇ Γ∠, καὶ κάθετοι αἱ ∠Ε ΖΒ· ἴση ἄρα ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, ὥστε καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ δοθὲν ἄρα τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ. διπλῆ δὲ ἡ ΓΑ τῇ ΑΕ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΕΖ· τετραπλάσιον ἔρα τὸ ἀπὸ ΒΓ, τουτέστιν τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ. ἐπεὶ οὖν δύο δοθέντα ἐστὶν τὰ Ε Γ, καὶ ὀρθὴ ἡ ΒΖ, καὶ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ ΕΖ πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖΓ, τὸ Β ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ. ἀλλὰ καὶ πρὸς θέσει περιφερείᾳ· δοθὲν ἄρα τὸ Β. καὶ ἡ σύνθεσις φανερά.

69 με΄. Τὸ μὲν οὖν τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν τρίχα τεμεῖν στερεόν ἐστιν, ὡς προδέδεικται, τὸ δὲ τὴν δοθεῖσαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν εἰς τὸν δοθέντα λόγον τεμεῖν γραμμικόν ἐστιν καὶ δέδεικται μὲν ὑπὸ τῶν νεωτέρων, γραφήσεται δὲ καὶ ὑφ᾿ ἡμῶν διχῶς.

[*](1. συνειδειν A, corr. BS 1. 2. τῶν ΑΓ A, distinx. BS 3. μ∠ A1 in marg. (BS) 5. οὐδὲν Hu auctore Co pro οὐδὲ 8. post αἱ AB ΒΓ add. μέρος ἡ ABS, del. Co 9. ἄρα ἡ ΑΙΒ AB3, ἄρα ἡ αβγ Β1, corr. S 10. αἱ ∠ΕΖΒ A, distinx. BS 11. ἡ Α∠ τῆς AS, τῇ corr. S 15. ἡ ΒΓ (ante τῆς ΕΖ) Co pro ἡ Β 17. τὰ ΕΓ AB1S, distinx. B3 (vel B2) 18. 19. προσυπερβολη A, acc. gravem add. B, corr. S 19. καὶ τὰ προσθέσει περιφερείαις ABS,. corr. Hu auctore Co 21. με A1 in marg. (BS) 23. η περιφερεια A1, ἢ περιφερειαν corr. recentior manus (diversa, ut videtur, ab A2), ἢ περιφέρειαν BS)
286

70 Ἔστω γὰρ κύκλου τοῦ ΚΛΘ περιφέρενει ἡ ΛΘ, καὶ δέον ἔστω τεμεῖν αὐτὴν εἰς δοθέντα λόγον.

Ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΛΒΘ, καὶ τῇ ΒΘ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ γεγράφθω τετραγωνίζουσα γραμμὴ ἡ ΚΑ∠Γ, καὶ κάθετος ἀχθεῖσα ἡ ΑΕ τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΖ πρὸς ΖΕ, οὕτως τὸν δοθέντα λόγον εἰς ὃν διελεῖν θέλομεν τὴν γωνίαν, καὶ τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἡ Ζ∠, ἐπεζεύχθω δὲ ἡ Β∠, καὶ κάθετος ἡ ∠Η. ἐπεὶ οὖν διὰ τὸ σύμπτωμα τῆς γραμμῆς ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ∠Η, τουτέστιν πρὸς ΖΕ, ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ, διελόντι ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ἡ ἀπὸ ΑΒ∠ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΛΜ περιφέρεια πρὸς ΜΘ.

71 μϚ΄. Ἑτέρως δὲ τέμνεται κύκλου τοῦ ΑΗΓ ἡ ΑΓ περιφέρεια. ὁμοίως ἐπὶ τὸ κέντρον αἱ ΑΒΓ, καὶ γεγράφθω διὰ τοῦ Β ἕλιξ ἡ ΒΖ∠Γ, ἧς ἡ ἐν τῇ γενέσει εὐθεῖα ἡ ΓΒ, καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔοτω ὁ τῆς ∠Ε πρὸς ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Ε περὶ κέντρον τὸ Β κύκλου περιφέρεια ἡ ΕΖ τέμνουσα τὴν ἕλικα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η· ἔστιν ἄρα διὰ τὴν ἕλικα ὡς ἡ ∠Β πρὸς ΒΖ, τουτέστιν πρὸς ΒΕ, οὕτως ἡ ΑΗΓ περιφέρεια πρὸς ΓΗ, καὶ διελόντι ὡς ἡ ∠Ε πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΑΗ περιφέρεια πρὸς [*](6. τετραγωνίζουσα A1 ex τετραγωνονουσα 7. ΚΑ ΔΓ A, coniunx. BS 18. πρὸς τῆι ὑπὸ ∠ΒΓ ABS, corr. Hu 19. μς A1 in marg. (BS) κύκλου add. Hu auctore Co 21. διὰ τοῦ Β] ἀπὸ τοῦ Β coni. Hu collato cap. 31 ἕλιξ ἡ paene evanuerunt in A, itaque ἕλςξ omissum in cod. Co, διὰ τοῦ * * * * * ἡ B1, corr. B3S ΒΖ∠Γ] ΖΞ ∠Γ)

288
ΗΓ. ὁ δὲ τῆς ∠Ε πρὸς ΕΒ λόγος ἐστὶν ὁ αὐτὸς τῷ δοθέντι· καὶ ὁ τῆς ΑΗ ἄρα περιφερείας πρὸς τὴν ΗΓ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ δοθέντι· τέτμηται ἄρα: ~

72 μζ΄. Ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατόν ἐστιν ἀπὸ δύο κύκλων ἀνίσων ἴσας περιφερείας ἀφελεῖν.

Γεγονέτω γάρ, καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἴσαι αἱ ΑΗΒ ΓΘ∠, ἔστω δὲ μείζων ὁ περὶ κέντρον τὸ Ε· μείζων ἄρα ἡ ὁμοία τῇ ΓΘ∠ τῆς ΑΗΒ. ἔστω οὖν τῇ ΑΗΒ ὁμοία ἡ ΓΘ· λόγος ἄρα ὁ τῆς ΑΗΒ πρὸς ΓΘ δοθείς· ὁ γὰρ αὐτός ἐστιν ταῖς ὅλαις τῶν κύκλων περιφερείαις ἢ ταῖς τῶν κύκλων διαμέτροις. ἴση δὲ ἡ ΑΗΒ τῇ ΓΘ∠· λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ΓΘ∠ πρὸς τὴν ΓΘ. καὶ διελόντι. γέγονεν οὖν τέμνειν τὴν ΓΘ∠ περιφέρειαν εἰς δοθέντα λόγον κατὰ τὸ Θ· τοῦτο δὲ προγέγραπται.

73 μη΄. Ἰσοσκελὲς τρίγωνον συστήσασθαι ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν.

Γεγονέτω, καὶ συνεστάτω τὸ ΑΒΓ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διὰ τῶν Α Γ κύκλος γεγράφθω ὁ Α∠Γ, καὶ ἐκθεβλήσθω [*](4. μζ A1 in marg. (BS) 7. ἡ ὅμοια A (ἡ prima m. super vs.), η ὁμοία BS 8. τῇ ΓΘ∠ τῆς ΑΗΒ Hu auctore Co pro ΓΘ∠ τῆι ΑΗΒ οὖν τῇ Hu, συντῆι A, σὺν τῇ B cod. Co, τῇ S Co 15. μνον΄ add. B, μη S συστήσας AB cod. Co, corr. S (συστῆσαι Co) 18. τὸ (ante ΑΒΓ, BS, ὁ A 19. τῶν A, distinx. BS)

290
ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ ∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, καὶ ἔστιν τῆς ὑπὸ ΑΒΓ ἡμίσεια ἡ πρὸς τῷ ∠, λόγος ἄρα δοθεὶς καὶ τῆς ὑπὸ ΓΑ∠ γωνίας πρὸς τὴν ὑπὸ Α∠Γ, ὥστε καὶ τῆς ∠Γ περιφερείας πρὸς τὴν ΑΓ λόγος. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ∠ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου εἰς δοθέντα λόγον τέτμηται, δοθέν ἐστιν τὸ Γ, καὶ δοθὲν τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ τρίγωνον.

Συντεθήσεται δὲ οὕτως. ἔστω γὰρ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔδει ἔχειν ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν πρὸς τὴν λοιπήν, ὁ τῆς ΕΖ πρὸς ΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΗ δίχα τῷ Θ, καὶ ἐκκείσθω κύκλος ὁ Α∠Γ περὶ κέντρον τὸ Β καὶ διάμετρον τὴν Α∠, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ∠ περιφέρεια κατὰ τὸ Γ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ∠Γ περιφέρειαν πρὸς τὴν ΓΑ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ΖΘ (τοῦτο γὰρ προγέγραπται, καὶ καθόλου πῶς ἡ δοθεῖσα περιφέρεια εἰς δοθέντα λόγον τέμνεται), καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ ΓΑ Γ∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ∠Γ περιφέρεια πρὸς τὴν ΓΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ὑπὸ ∠ΑΓ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ Α∠Γ, οὕτως ἡ ΕΖ κρὸς ΖΘ, καὶ τὰ διπλάσια τῶν ἑπομένων, ὡς ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΑΒ πρὸς τὴν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ· ἰσοσκελὲς ἄρα τρίγωνον συνέσταται τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκατέραν τῶν πρὸς τῇ βάσει γωνιῶν λόγον ἔχουσαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν λοιπήν.

74 μθ΄. Δεδειγμένου δὴ τούτου φανερὸν ὡς δυνατὸν ἐγγράψαι πολύγωνον εἰς κύκλον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον πλευρὰς ἔχον ὅσας ἄν τις ἐπιτάξῃ.

[*](1. ἡ Α∠ ἐπὶ τὸ AB cod. Co, corr. S Co 2. τῆς ὑπὸ τῶν ΑΒ cod. Co, corr. S Co 3. τῶν Co pro τὴν τῆς ὑπὸ ΑΒ ημίσεια A (B cod. Co), corr. S Co 7. δοθέν ἐστιν τὸ Γ] ἐστιν non perspicuum, τὸ Γ paene evanidum in A extremo folio (τὸ Γ om. B1 cod. Co, restit. B3S Co), δοθεῖσαί εἰσιν αἱ πρὸς τῷ Β γωνίαι coni. Hu (vide Lalina) 15. καὶ — 17. τέμνεται interpolatori tribuit Hu 18. ἡ ∠Γ paene evanuit in A, αγ B, restituit S ἡ (ante ὑπὸ ∠ΑΓ) om. AS, add. B 19. πρὸς ΖΘ om. AB cod. Co, add. S Co 20. ἡ ὑπὸ ΓΑΒ paene evanuerunt in A, ἡ ὑπὸ δαγ S, ἡ ὑπὸ γδβ cod. Co, restituit B (Co) 20. 21. πρὸς τὴν Hu auctore Co pro πρὸς τὸ 24. μθον΄ add. Β, μθ Paris. 2368)
292

75 Πῶς δ᾿ εὑρίσκεται κύκλος οὗ ἡ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ δοθείσῳ εὐθείᾳ, συνιδεῖν εὔκολον. Εὑρήσθω γὰρ τῇ Γ εὐθείᾳ ἴση ἡ τοῦ Α κύκλου περιφέρεια, καὶ ἐκκείσθω κύκλος τυχὼν ὁ Β, καὶ τῇ περιφερείᾳ αὐτοῦ ἴση διὰ τῆς τετραγωνιζούσης εὑρήσθω ἡ ∠ εὐθεῖα. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν ∠, οὕτως ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α κύκλου πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β. λόγος δὲ τῆς ∠ πρὸς Γ· λόγος ἄρα καὶ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου πρδς ἀλλήλας. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Β· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ Α, ὥστε καὶ αὐτὸς ὁ Α. καὶ φανερὰ ἡ σύνθεσις.

76 ν΄. Εὐθείας τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένης τῆς ΑΒ γράψαι διὰ τῶν Α Β κύκλου περιφέρειαν λόγον ἔχουσαν τὸν δοθέντα πρὸς τὴν ΑΒ εὐθεῖαν.

Γεγράφθω ἡ ΑΓΒ, καὶ ἐκκείσθω τεταρτημόριον κύκλου θέσει δεδομένον τὸ ΖΗΕ, καὶ γεγράφθω τετραγωνίζουσα ἡ ΖΘΚ, καὶ τῇ βεβηκυίᾳ γωνίᾳ ἐπὶ τῆς ΑΓ περιφερείας πρὸς τῇ ΖΕ περιφερείᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ ΕΗΛ, καὶ ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΛΜ ΘΝ. ἔσται οὖν διὰ τὸ ἰδίωμα τῆς γραμμῆς ὡς ἡ ΕΛΖ περιφέρεια πρὸς τὴν ΖΗ εὐθεῖαν, τουτέστιν ὡς ἡ ΛΗ πρὸς ΗΚ, οὕτως ἡ ΛΕ περιφέρεια πρὸς τὴν ΘΝ εὐθεῖαν. ἀλλὰ καὶ ὡς ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΛ, [*](3. ἴση ἡ BS, evanuerunt in A 5. τετραγονιζούσης A, corr. BS 11. φανεραὶ αἱ συνθέσες S 12. νον΄ add. B, ν S 13. ΛΕ γράψαι AS, corr. B τῶν ΑΒ A, distinx. BS 16. τὸ ΖΗΕ A2S, τὸ ΖΗΘ A1B 18. τῇ ΖΕ Hu pro τῆι λοιπῆι; sed potius verba πρὸς τῇ λοιπῇ περιφερεία, quae Commandinus quoque corrupta iudicat, delenda esse vi-)

294
296
τὸν αὐτὸν ποιῆσαι τὸν τῆς ∠Η πρὸς ΗΚ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ ∠ γράψαι περιφέρειαν, καὶ λαβεῖν τὸ Θ, καθ᾿ ὃ τέμνει τὴν τετραγωνίζουσαν, καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΘΗ, καὶ δίχα τεμόντα τὴν ΑΒ καὶ ὀρθὴν ἀναστήσαντα τὴν ΡΞ καταγαγεῖν τὴν ΑΞ περιέχουσαν μετὰ τῆς ΞΡ ἴσην τῇ ὑπὸ ΚΗΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ξ διὰ τοῦ Α γράψαι κύκλου περιφέρειαν τὴν ΑΓΒ ἔχουσαν λόγον πρὸς τὴν ΑΒ βάσιν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι.

77 να΄. Οὐκ ἀπίθανον δὲ οὐδὲ τὸ γωνίας ἀσυμμέτρους εὑρεῖν. διὰ τούτου γὰρ καὶ τοῦ αὐτοῦ κύκλου ἀσύμμετροι ληφθήσονται περιφέρειαι, κἂν ῥητὴν ὑποστησώμεθα τὴν μίαν γωνίαν ἢ περιφέρειαν, ἄλογος ἡ λοιπὴ γενήσεται.

Ἐκκείσθω τὸ ΑΒΓ τεταρτημύριον, καὶ ἐν αὐτῷ τετραγωνίζουσα ἡ ΑΕ∠Ζ, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΕΗ, καὶ ἀπειλήφθω ἡ ΒΘ ἀσύμμετρος μήκει τῇ ΒΗ, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ∠Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Β· λέγω ὅτι ἀσύμμετρός ἐστιν ἡ ἀπὸ ΕΒΖ γωνία τῇ ὑπὸ ∠ΒΖ.

Ἤχθω κάθετος ἡ ∠Ν· ἔστιν ἄρα διὰ τὴν γραμμὴν ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ∠Ν, οὕτως ἡ ὑπὸ ΕΒΖ γωνία πρὸς τὴν ὑπὸ ∠ΒΖ. ἀσύμμετρος δὲ ἡ ΕΚ τῇ ∠Ν (ἐπεὶ καὶ ἡ ΗΒ τῇ ΒΘ)· ἀσύμμετρος ἄρα καὶ ἡ γωνία τῇ γωνίᾳ, κἂν ῥητὴν [*](1. ποιῆσαι Hu, προῆκται A2 in ipsis primae manus ductibus, qui iam cognosci non possunt, item B, προῆχθαι S, constituere Co τῆς ΖΗ πρὸς Η∠ ABS, corr. Co 3. τέμνει B, idem voluit A2, qui scripturam primae manus τέμνοντα (ut videtur) corrigere studuit nepue tamen ει distincte dedit, om. S ἐπιζεῦξαι Hu auctore Co, ἐπιζευχθῆ A(BS) 4. διχὰ τέμνονται A(BS), sed litteras ὰ τέμνο A2 exaravit obducta prima scriptura, in B superscriptum est super αι, sed id rursus deletum, corr. Hu 5. κατάγειν AS, καταγεῖν B, corr. Hu γωνίας ABS, corr. Hu auctore Co 7. ἔχουσαν Hu pro ἔχειν αὐτῆς 9. ναον΄ add. B, να S τὸ γωνίας Hu, ἀγωνίας AS, γωνίας mutavit prima manus in A, unde idem in B ἀσυ////ρους A, restit. B Paris. 2368 10. διὰ ante τοῦ αὐτοῦ repetitum in ABS del. Hu 12. ἡ περιφέρεια ////// ἡ λοιπὴ A, item cum lacuna BS cod. Co, corr. Co 13. τετάρτη////// /// | ἐν ἀ/τῆι A, τεταρτη . . . . . . . . . ἐν αὐτῇ B, τεταρτημόριον καὶ ἐν αὐτῇ S cod. Co, αὐτῷ corr. Co 18. ἡ ∠Ν Co pro ἡ ∠Η 18. 19. ὡς ἡ ΕΚ πρὸς ∠Ν Co, ὡς ἡ ////// A, ὠς ἡ . . . . πρὸς δν B1 (ante δν superscr. ε B3), ὡς η τῇ δη S 20. 21. δὲ ἡ ΒΓ τῆι)

298
ὑποστησώμεθα τὴν ὑπὸ ΕΒΖ γωνίαν κἂν ἡμίσειαν ὀρθῆς, ἄλογος ἔσται ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ.

78 νβ΄. Τῆς ὑπὸ Ἀρχιμήδους ἐν τῷ περὶ ἑλίκων βιβλίῳ λαμβανομένης νεύσεως τὴν ἀνάλυσίν σοι κατέταξα, ἵνα τὸ βιβλίον διερχόμενος περὶ τῶν ἑλίκων μὴ διαπορῇς. δὲ εἰς αὐτὴν οἱ ὑπογεγραμμένοι τόποι καὶ πρὸς ἄλλα πολλὰ τῶν στερεῶν προβλημάτων χρήσιμοι.

Θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ δοθέντος σημείου τοῦ Γ προσπιπτέτω τις ἡ Γ∠, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠Ε, ἔστω δὲ λύγος τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε· ὅτι τὸ Ε πρὸς ὑπερβολῇ.

Ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ πρὸς ὀρθὰς παράλληλος ἡ ΓΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΕΗ, καὶ τῷ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω τῆς ΓΖ πρὸς τῶν ΖΘ ΖΚ· δοθὲν ἄρα ἑκάτερον τῶν Θ Κ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, καὶ λοιποῦ ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς Ζ∠, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΗ, πρὸς λοιπὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΚΗΘ λόγος ἐστὶν δοθείς. καὶ ἔστι δοθέντα [*](1. ὑπὸ ΕΒΖ Hu pro ὑπὸ ΑΒΖ κἂν ἡμίσειαν ὀρθῆς del. Hu 3. νβον΄ add. B, νβ S 4. ἀνάλυσιν οὐ ABS, οὐ om. Co, corr. Hu 5. περὶ τῶν bis scripta in A, περὶ τῶν ἑλίκων om. Co 14. ἡ Γ∠ Co pro ἡ ΓΒ 17. πρὸς ὑπερβολήν ABS, corr. Hu 18. ὀρθὰς Hu, ΔΕ A2 obducta prima scriptura (BS) ἡ ΓΖ add. Hu (idem alieno loco add. Co) 19. 20. καὶ τῷ τῆς] τῶ in A vix perspicuum, unde τοῦ B 20. λόγῳ Hu auctore Co pro λόγος 21. τῶν ΘΚ A, distinx. BS 22. πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε, οὕτως add. Hu auctore Co 24. τῆς ΕΗ Co pro τῆς ΒΗ)

300
τὰ Κ Θ· τὸ Ε ἄρα πρὸς ὑπερβολῇ ἐρχομένῃ διὰ τῶν Θ Ε.

79 νγ΄. Ἔστω θέσει καὶ μεγέθει δοθεῖσα ἡ ΑΒ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Γ, ἔστω δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Γ∠· ὅτι τὸ ∠ σημεῖον ἅπτεται θέσει παραβολῆς.

Τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ε, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΒ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΕΖ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, τουτέστιν τὸ ἀπὸ τῆς ∠Η, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῆς δοθείσης καὶ τῆς ΖΗ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ· τὸ ἄρα ∠ σημεῖον ἅπτεται παραβολῆς κατερχομένης διὰ τῶν Α Ζ Β, ἧς ἄξων ἐστὶν ὁ ΕΖ.

80 νδ΄. Τούτων προγεγραμμένων προκειμένη --- προγενομένη τὸν τρόπον τοῦτον. θέσει ὄντος κύκλου τοῦ [*](1. τὰ ΚΘ A, distinx. BS τὸ Ε Co pro τὰ Θ πρὸς ὑπερβολη ἐρχομένης A(B), πρὸς ὑπερβολὴν ἐρχομένης S, corr. Hu 1. 2. τῶν Θ Ε Co, τοῦ // A, τοῦ θυ B, τοῦ θγ S 3. νγ add. S 4. ἡ ∠Γ Co pro ἡ ∠Ζ 5. ∠ σημεῖον Hu auctore Co, //|////// A, δ . . . . . . B, . . . . . . . S 7. Τετμήσθω γὰρ] tot fere litterae evanidae in A et congrua lacuna in B, τετμήσθω ἄρα S, γὰρ restituit Hu 15. ἡ ∠Η Co pro ἡ ∠Γ 19. θέσει ἅπτεται voluit Co 20. τῶν Α Ζ Β Hu auctore Co pro τῆς ΑΖΒ 24 — p. 302, 18. totum problema propter scripturam in A passim evanidam in reliquis quoque codicibus misere corruptum om. Co 21. νδ add. S, νΓον΄ B 21. 22. προκειμένη | ////////////// προγενομένη A(S), προκειμένη . . . . . . . . . . . . . . . γινομένη B, πρόβλημα τὸ ἐξ ἀρχῆς προκείμενον λύεται Hu 22. θέσει ὄντος κύκλου τοῦ et p. 302, 1. θέσει ἐν αὐτῷ evanuerunt in A, om. B, restit. S (nisi quod falso αὐτῇ))

302
ΑΒΓ καὶ θέσει ἐν αὐτῷ εὐθείας τῆς ΒΓ, καὶ δοθέντος ἐπὶ τῆς περιφερείας τοῦ Α, θεῖναι μεταξὺ τῆς ΒΓ εὐθείας καὶ τῆς ΒΖΓ περιφερείας ἴσην τῇ τεθείσῃ νεύουσαν πρὸς τὸ Γ.

Γεγονέτω γάρ, καὶ κείσθω τῇ ΕΑ ἴση, καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Ζ ἴση τῇ Α∠. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει τὴν ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Α προσβέβληται ἡ Α∠, καὶ ἴση τῇ πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν ἡ ἀπὸ το --- πρὸς ὑπερβολῇ (ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ Β∠Γ τῷ ὑπὸ Α∠Ε, τουτέστιν τῷ ὑπὸ Ζ∠Ε). καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ ∠Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ Β∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς ∠Ζ· τὸ Ζ ἄρα πρὸς παραβολῇ δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἀναλο --- τῷ προβλήματι χρῆται ὁ Ἀρχιμήδης πρὸς τὸ δεῖξαι κύκλου περιφερείᾳ ἴσην εὐθεῖαν. αἰτιῶνται δὲ αὐτοῦ τινες ὡς οὐ δεόντως χρησαμένου στερεῷ προβλήματι --- δεικνύουσιν ὡς καὶ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν ἔστιν εὐθεῖαν ἴσην τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ χρησάμενον τοῖς ἐπὶ τῆς ἕλικος εἰρημένοις θεωρήμασιν.

[*](1. αὐτῷ Hu, αὐτῇ S τῆς ΒΓ Hu, τῆς ΕΓ AB2S, τῆς γε B1 δοθέντος Hu pro δοθὲν ὡς 2. μεταξὺ B, μετὰ AS 3. περιφέρειαν ἴσην τῇ θέσει νεύουσαν B τῇ δοθείσῃ coni. Hu 5. τῇ εα S, τῆι Ε∠ AB 6. πρὸς ὀρθὰς ἤχθω paene evanuerunt in A 6. 7. προσθέσει τῆ ΒΓ A, προθέσει τῇ βγ B, πρὸς θέσει τῇ βγ S, τὴν corr. Hu 7. τοῦ Α Hu pro τοῦ ∠ προσβέβληται Hu, πρ///ληται A, προβέβληται S, om. B ἡ Α∠ AS, τῆ αδ B3, om. B1 8. ἴση/ Hu, ἴση/ A, ἴσην BS τῇ Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἐφέστηκεν ἡ ∠Ζ, τὸ ἄρα Ζ σημεῖόν ἐστιν coni. Hu 9. πρὸς ὑπερβολῇ Hu, ///// ὑπερβολὴ A(B), πρὸς ὑπερβολήν S τὸ ὑπὸ ΒΑΓ τῶι ὑπὸ Α∠Γ ABS, corr. Hu, 10. δοθεῖσα ἡ ΑΕ AB3S, corr. B1 11. καὶ τῆς δζ B, καὶ τῆς αζ S, καὶ τῆς ? Ζ A (incertum utrum Α an ∠) 12. τὸ Ζ ἄρα πρὸς Hu, tot litterae evanidae in A, ὡς . . . . . προσ B, . . . . ἄρα πρὸς S παραβολῇ Hu, υπερβολη aegre comparet in A, ὑπερβολή BS ἀναλό////////// A(B1S), ἀνάλογον θέσει αὐτῷ B3, ἀνάλυσις (quae fuerit glossa margini adscripta), tum τούτῳ coni, Hu 14. περιφερείας ABS, corr. Hu αὐτ// A, αὐτῶ B, αὐτῷ S, corr. Hu 15. χρησάμενον AB3S, corr. B1 post προβλήματι viginti fere litterae evanuerunt in A 16. δεικνύουσιν A (sine ν S), δεικνύν B1, δεικνύντα B3 ὡς add. Hu 16, 17. post εὑρεῖν quindecim fere litterae evanuerunt in A, ἔστιν Sup-)