Synagoge

82 μϚ΄. Μὴ ἔστωσαν δὲ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων [*](1. 2. αἵ τε Hu pro ἔσται 2. ΑΓ ABS, distinx. Co καὶ αἱ Β∠ AB1S, distinx. Β 3 ἴσαι ἀλλήλαις del. Hu 3. αἱ ΑΒΓ∠ A, distinx. BS 4. Μ∠ A 1 in marg. (BS) δὲ αἱ Hu auctore Co pro δʼ ἐπὶ 10. ΜΕ A 1 in marg. (BS) ἴσοι καὶ add. Co 12. αἱ ΑΒ Γ∠ add. idem 13. τὰ ΓΙΙ αἱ ΑΓ Β∠ ABS, ΓΙΙ αἱ del. Co 25. ἑκπτέραν ABS, corr Hu auctore Co 27. παράλληλοι καὶ add. Co 28. τοῖς κύκλοις ABS, corr. Hu (nam τοὺς κύκλους recte dici vi-)

Τεμνέτωσαν γὰρ ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἐπὶ τὰ κέντρα αἵ τε ΑΕ ΕΗ καὶ αἱ ∠Ζ ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ Α∠ ΒΓ, αἱ δ΄ ἄρα αἱ ΑΗ Η△ ΒΗ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· τοῦτο γάρ φανερόν ἐστιν· ὥστε καὶ ἡ Α△ τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ∠Ζ ἐστὶν ἴση ἐκ κέντρου τῶν ἴσων κύκλων. ἔστι δὲ καὶ αὐτῇ παράλληλος ἴση μὲν ἡ ὑπὸ ΕΑΗ γωνία τῇ ὑπὸ Η∠Ζ ἐναλλάξ. ἡ δέ ΑΗ βάσις τῇ Η∠· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΗΕ γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ∠ΗΖ. κοινῆς προστεθείσης τῆς ὑπὸ ΕΗ∠ γίνονται αἱ ὑπὸ ΑΗΕ ΕΜ∠, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι οὖσαι, ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ ἴσαι ὥστε καὶ ταῖς ὑπὸ ΕΗ∠ ∠ΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ. καὶ ἴση ἐδείχθη ἡ ΕΗ τῇ ΗΖ· κέντρον ἄρα ἐστὶν τὸ Η τῆς σφαίρας διὰ τὸ ἴσους ὑποκεῖσθαι τοὺς κύκλους διάμετροι ἄρα τῆς σφαίρας αἱ Α∠ ΒΓ, καὶ ἴσαι ἀλλήλαις.

83 Ἄν δʼ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΑΓ Β∠, ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις τε καὶ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ Γ∠ περιέξουσιν γωνίας.

Τῇ γὰρ Γ∠ ἴσης καὶ παραλλήλου ἐφαρμοσθείσης τῆς ΘΗ, ἔσται ἡ ΘΗ ὀρθὴ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΘΓ ΑΘ, καὶ πρὸς τὸ αὐτῶν ἐπίπεδον, ὥστε καὶ ἡ Γ∠· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓ∠. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

84 μζ΄. Ἐὰν ὦσιν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι εὐθεῖαι, αἱ τὰ ὁμοταγῆ πέρατα αὐτῶν ἐπιζευγνύουσαι ἴσαι ἔσονται ἀλλήλαις· ἄν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι, καὶ αὐταὶ παράλληλοι ἔσονται καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰς ὑποκειμένας παραλλήλους.

Ἔστιν δὲ φανερόν· ἐκβληθέντος γὰρ τοῦ διὰ τῶν παραλλήλων ἐπιπέδου γίνεται κύκλος ἐν ᾧ εἰσιν αἱ παράλληλοι, καὶ αἱ ἐτιζευγνύουσαι τὰς ἐξ ἀρχῆς παραλλήλους ἀνιούσας τραπέζιον ποιήσουσιν ἂν δὲ καὶ ἴσαι ὦσιν αἱ παράλληλοι, αἱ ἐπιζευγνύουσαι αὐτὰς οὐκέτι τραπέζιον ἀλλὰ τετράγωνον ἤ ἑτερόμηκες περιέξουσιν.

85 Ἔστωσαν ἐν ὑποκειμένω ἐπιπέδῳ αἱ ΑΒ ΒΓ εὐθεῖαι ἴσας περιέχουσαι γωνίας μετὰ τῆς ∠ΒΕ ἐν τῷ αὐτῷ κειμένης ἐπιπέδῳ, καὶ ἐφεστάτω ἡ ΒΖ μεθʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἴσας περιέχουσα γωνίας· ὅτι ὀρθή ἐστιν τῇ ∠Ε.

Ἤχθω ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΖΗ, καὶ ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ αἱ ΗΓ ΗΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ ΖΓ ΗΒ· αἱ ΑΖ ΖΓ ἄρα ὀρθαὶ ἔσονται ἐπὶ τὰς ΑΒ ΒΓ. καὶ διὰ τὸ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΑΒΖ ΓΒΖ γωνίας ἴσαι ἔσονται καὶ αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ ΖΑ ΖΓ, καὶ ΗΑ ΗΓ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΓΒΗ. ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΒΑ τῇ ὑπὸ ΕΒΓ ὑπόκειται ἴση καὶ ὅλη ἄρα ὅλη· κάθετος ἄρα ἡ ΗΕ ἐπὶ τὴν ∠Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον· καὶ ἡ ΖΒ ἄρα κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε.

86 μη΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν πυραμίδα ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεία τῶν γωνιῶε αὐτῆς ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ ∠. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Α τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΕΖ· ἴσας δὴ περιέξει μετὰ τῶν ΑΓ Α∠ γωνίας ἑκατέραν διμοίρου, ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ αὐταῖς οὖσα. καὶ ἐφέστηκεν ἡ ΑΒ ἴσας ποιοῦσα μετὰ τῶν ΑΓ Α∠ γωνίας· διὰ τὰ προδειχθέντα ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ, καὶ ἐχάψεται τῆς σφαίρας ἐὰν γὰρ ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ∠Α ΑΓ ἐπίπεδον, ποιήσει κύκλον, ἐν ᾧ ἰσόπλευρον ἐγγεγράψεται τρίγωνον τὸ Α∠Γ, καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΕΖ ἐχάψεται ἄρα ἡ ΕΖ τοῦ κύκλου, ὥστε καὶ τῆς σφαίρας. ἐκβληθέν οὖν τὸ διὰ τῶν ΕΖ ΑΒ ἐπίπεδον τομὴν ποιήσει τῆς σφαίρας κύκλον, οὗ διάμετρος ἔσται ἡ ΑΒ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τῇ ΕΖ ἐφαπτομένῃ ὁμοίως. τἂν διὰ τοῦ ∠ τῇ ΑΒ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΗΘ, ἐτάψεται τῆς σχαίρας, καὶ ὀρθὴ αὐτῇ ἔσται ἡ Γ∠. κἂν ἐκθληθῇ τὸ διὰ τῶν ΗΘ Γ∠ ἐπίπεδον, κύκλον ποιήσει διάμετρον ἔχοντα τὴν Γ∠ ἴσον καὶ παράλληλον τῷ διάμετρον ἔχοντι τὴν ΑΒ παράλληλοι γὰρ αἱ ΕΖ Γ∠ καὶ αἱ ΑΒ ΗΘ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ κέντρου τῇ Γ∠ ὀρθὴ ἡ ΛΜ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ ΑΒ. κἂν ἐπιζευχθῶσιν αἱ ΒΛ ΒΜ, ἡ μὲν ΒΜ ὀρθὴ ἔσται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ ΛΜ καὶ τοῖς τῶν κύκλων ἐπιπέδοις, ἡ δὲ ΒΛ διάμετρος τῆς σφαίρας (προδέδεικται [*](1. μη΄ add. BS μυραμιδα A 1, πϋ superscr. A2 2. σημεῖον AB, corr. S γωντῶν] ἐπʼ AB, γωνιῶν ἐπʼ S 3. τὰ ΑΒ Γ∠ A, distinx. BS 5. δὴ Hu pro δὲ 6. ἑκατέραν — 8. οὖσα interpolatori tribuit Hu 8. καὶ Super vs. add. A1 9. ποιοῦσασ A, sed extremum σ expunxit prima man. 13. ἐξάψεται A2 ex ἐφάψ**ται 20. τῆι σφαίραι A(BS), ἐν τῇ σφπίρᾳ voluit Co, corr. Hu 21. ἐφα-)

Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους ἴσους καὶ παραλλήλους, ὥστε τὴν διάμετρον τῆς σφαίρας ἡμιολίαν εἶναι δυνάμει τῆς ἑκατέρου διαμέτρου, καὶ ἀγαγεῖν δύο διαμέτρους παραλλήλους τὰς ΑΒ ΛΜ, ὡς προεμάθομεν, καὶ τῇ ΛΜ διὰ τοῦ κέντρου ὀρθὴν τὴν Γ∠, καὶ ἔχειν τὰ σημεῖα τῶν γωνιῶν τῆς πυραμίδος τὰ Α Β Γ ∠. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἀντίστροφος τῇ ἀναλύσει καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἡμιολία ἐστὶ δυνάμει τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.

88 μθ΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαίραν κύβον ἐγγράψαι. Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας [*](1. 2. γὰρ ἐπὶ τῆς τὸ ἀπὸ τῆς ΛΜ διπλέσιον τοῦ ἐπὸ τῆς ΑΜΓ ἐπιζευχθείσης ἔσται ABS, corr. Hu auctore Co 3. ἀπὸ ΓΜ Co pro ἀπὸ ΓΒ 5. 5. διπλά| //// // /πὸ ΛΜ Α, διπλέσιον . . . . . λμ S, corr. B 8. 9. ΒΛ τοῦ ////// ὀρθὴ ἐστιν δοθεῖσα A(B), βλ τοῦ . . . . . . . . ἐστὶ δοθεῖσα S, corr. Co 10. 11. δοθεῖ|//////////// ΛΜ A (S), δοθεῖσα . . . . . . . ἡ λμ B, corr. Co 13. τὰ ΑΒ Γ∠ Α, τὰ αβ γ δ B, etiam α β dislinx. S 19. διαμέτρου Hu auctore Co pro διάμετρος 21. ἔχειν] ex- spectamus ἕξομεν, at eadem infinitivi structura infra cap. 89 et 91 re- dit 22. τὰ ΑΒ Γ∠ A, distinx. BS 24. ἐστὶ AaS, ἐστὶν B 25. μθ΄ add. BS)

89 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεῖ γὰρ κύκλους ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο παραλλήλους καὶ ἴσων οὐσῶν τῶν διαμέτρων ἡμιολία ἔστω δυνάμει ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καὶ ἐγγράψαι εἰς τὸν ἕτερον αὐτῶν τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ τῇ ΒΓ ἀγαγεῖν ἐν τῷ ἑτέρῳ κύκλῳ παράλληλον τὴν ΖΗ ἴσην τῇ ΒΓ, ὡς προεδείξαμεν καθόλου ἴσην τῇ δοθείσῃ. καὶ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον συμπληρῶσαι τὸ ΕΖΗΘ, καὶ ἔχειν τὸν κύβον ἐγγεγραμμένον. δειχθήσεται γὰρ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τετράγωνον τὸ ΒΖΗΓ καὶ τὰ λοιπά, καὶ συναποδέδεικται ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευράς, καὶ ὅτι οἱ αὐτοὶ κύκλοι τὰς τῆς πυραμίδος καὶ τὰς τοῦ κύβου περιέχουσι γωνίας· καὶ [*](1. τὰ Γ∠ ΕΖ ΗΘ A, distinx. BS 4. τοῦ κύβου B1S, τουτου κυβου A, τὰ τοῦ κύβου B 3, del. Hu 5. ἐπεζευγνυμένη B, ἐπιζευγνυ- μένη S 15. τοῦ ΕΖ Α, coniunx. BS 16. ὁ ante κύκλος add. Hu καὶ ἡ Γ∠ A(S), corr. B 20. ἔστω Hu auctore Co pro ἐστιν 21. τὸ ΑΒ Γ∠ Α, coniunx. BS 23. καθόλου — δοθείσῃ interpolatori tribuit Hu 25. κύβον Co pro κύκλον 26. τὸ ΒΖ ΗΓ A, coniunx. BS 27. τριπλασίων Hu pro τριπλάσιον (conf. p. 150, 7))

90 ν΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ὀκτάεδρον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω καὶ ἔστω σημεία τῶν γωνιῶν αὐτοῦ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας τὰ Α Β Γ ∠ Ε Ζ, καὶ ἐκβληθέντα τὰ διʼ αὐτῶν ἐπίπεδα ποιείτω κύκλους τούς ΑΒΓ θένταΕΖ. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἴσαι πρὸς τὴν ἐπιφάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ∠Α ∠Β ∠Ε ∠Ζ, ἔσται τὰ Α Ζ Β ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΒ ΒΖ ΖΕ, καὶ εἰσὶν ἐν κύκλῳ τετράγωνον ἄρα τὸ ΑΕΖΒ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ. ὁμοίως καὶ ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ∠Ζ τῇ ΑΓ· παράλληλοι ἄρα καὶ οἱ κύκλοι· καὶ ἴσοι ἀλλήλοις, ἐπεὶ καὶ τὰ ἐν αὐτοῖς ἰσόπλευρα τρίγωνα ἴσα ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι εἰσίν, καὶ ἐν αὐτοῖς ἴσαι εὐθεῖαι καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ ΕΖ καὶ εἰσὶν οὐκ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων, ἔσται ἐπιζευγνυμένη ἡ ΑΖ διάμετρος τῆς σφαίρας καὶ αἱ ΑΕ ΖΒ ὀρθὰς μετὰ τῶν ΑΒ ΕΖ περιέξουσι γωνίας, ὡς προδέδεικται. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΑΕ ΕΖ διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ τοῦ ἀπὸ ΖΕ. τὸ δʼ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου ἐπίτριτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΖ· ἡμιόλιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ τοῦ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου δοθεῖσα ἄρα ἡ διάμετρος, καὶ ὁ κύκλος, ὥστε καὶ ὁ ΑΒΓ καὶ τὰ ἐπʼ αὐτῶν σημεῖα.

91 Καὶ ἡ σύνθεσις ἀκολούθως· δεῖ γάρ ὁμοίως ἐγγρά [*](3. Ν A 1 in marg. (BS) 4. σημείων A, σημεῖον B, corr. S 5. τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ A, distinx. BS ἐκβληθέντα A2 ex ἐκ**βλήθε 8. τὰ ΖΒ AS Co, distinx. B 9. 10, καὶ γὰρ — εἰσίν inter- polatori tribuit Hu 11. post αἱ ΑΒ repetit ΑΒ A, om. BS 13. δὲ om. A, add. BS 15, ἴσα add. A2 super vs. 16. καὶ ante ἐν αὐ- τοῖς add. Hu auctore Co 17, αἱ add. Hu, item vs. 19 19, καὶ αἱ ΑΕ — 20. προδεδείκται tribuit Hu interpolatori, qui quidem verbis ὡς προδέδεικται significat propos 51; at vero αε εζ ad rectos inter se angulos esse in hac ipsa propositione statim demonstratum est 22. ἐπὶ τρίτον ABS, corr. Co 25. ἐπʼ Hu pro ἀπʼ)

92 να΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν εἰκοσάεδρον ἐγγράψαι.

Ἐγγεγράφθω, καὶ ἔστω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα τῶν γωνιῶν αὐτοῦ τὰ Α Β Γ, ∠ Ε Ζ, Η Θ Κ, Λ Μ Ν. ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ B σημείου πρὸς τήν ἐπιψάνειαν προσπεπτώκασιν αἱ ΑΒ ΒΓ ΒΖ ΒΗ ΒΕ ἴσαι ἀλλήλαις, ἐν ἑνὶ ἔσται ἐπιπέδῳ τὰ Α ΓΖ Η Ε σημεῖα καὶ γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐπʼ αὐτὰ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι εἰσίν. καὶ ἴσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΓ ΓΖ ΖΗ ΗΕ ΕΑ, καὶ εἰσὶν ἐν [*](5. ἴσην τῆς ΑΒ A, corr BS 8. συνεωρατο (sine acc.) A(BS), corr. Hu 10. 11. ὧν — πολύεδρα interpolatori tribuit Hu 14. NA A1 in marg. (BS) 17. 18. ΑΒΓ ∠ΕΖ ΗΘΚ ΛΜΝ A, distinx. BS 26. ΑΓΖ ΗΕ A, distinx. BS 27. καὶ — 30. εἰσίν interpolatori trubuit Hu 27. γὰρ add. Co, αἱ Hu)

93 Καὶ ἡ σύνθεσις φανερά· δεήσει γὰρ ἐκθέσθαι δύο εὐθείας, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, καὶ ἐν τῇ σφαίρᾳ γράψαι δύο κύκλους, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος δυνάμει τῶν ἐκτεθεισῶν εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας, ὡς τοὺς ∠ΕΖ ΑΒΓ, καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἴσους αὐτοῖς γράψαι παραλλήλους τοὺς ΚΗΘ ΛΜΝ, καὶ ἐναρμόσαι ἐν ἑκάστῳ ἰσοπλεύρων τριγώνων πλευρὰς παραλλήλους τὰς ΑΓ ΕΖ ΚΘ ΛΜ ἐνηλλαγμένως πρὸς τὰ κέντρα κειμένας, καὶ ἐγγράψαι τὰ τρίγωνα ὅλα τὰ ποιοῦντα τὰς τοῦ πολυέδρου γωνίας. καὶ ἡ ἀπόδειξις ἐκ τῆς ἀναλύσεως εὐχερής. συνορᾶται δʼ ὅτι καὶ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας τριπλασία ἐστὶν δυνάμει τῆς τοῦ πενταγώνου πλευράς τοῦ εἰς τὸν ∠ΕΖ κύκλον ἐγγραφομένου ἡ μὲν γὰρ ΚΖ πρὸς τὴν ΖΕ [*](4. τὴν // | τῆι A, τὴν . . τῇ αγ BS cod. Co, corr. Co 6. καὶ)

95 Δεῖ οὖν ἐν τῇ συνθέσει δύο ἐκθέσθαι, πρὸς ἃς λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ὃν ἡ τοῦ πενταγώνου πρός τε τὴν τοῦ ἑξαγώνου καὶ πρὸς τὴν τοῦ δεκαγώνου, ἃς καὶ ἐπὶ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐξεθέμεθα, καὶ γράψαι δύο παραλλήλους κύκλους ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας ἐπὶ τὸ αὐτὸ μέρος τοῦ κέντρου κειμένους, ὡς τοὺς ΖΗΘΚΛ ΑΒΓ∠Ε, ὧν αἱ ἐκ τῶν κέντρων τρίτον μέρος εἰσὶ δυνάμει τῶν ἐκκειμένων εὐθειῶν ἑκατέρα ἑκατέρας. καὶ τούτοις ἴσους ἄλλους δύο κύκλους καὶ παραλλήλους ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας, ὡς τοὺς ΜΝΞΟΠ ΡΣΤΥΦ καὶ ἐναρμόσαι τὰς Ε∠ ΖΛ ΟΞ ΣΤ πενταγώνων πλευρὰς παραλλήλους, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἀναγράψαι τὰ πεντάγωνα, διʼ ὧν αἱ τοῦ πολυέδρου συνίστανται γωνίαι. καὶ φανερὸν ἐκ τῆς κατασκευῆς, ὅτι οἱ περιέχοντες κύκλοι τὰς τοῦ δωδεκαέδρου γωνίας οἱ αὐτοί εἰσιν τοῖς περιέχουσιν τὰς τοῦ εἰκοσαέδρου γωνίας, καὶ ὅτι ὁ αὐτὸς κύκλος περιλαμβάνει τὸ τρίγμωνον τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ τύ πεντάγωνον τοῦ δω δεκαέδρου τῶν εἰς τὴν αὐτὴν σφαίραν ἐγγραφομένων. [*](2. αἱ add. Hu 9. ἃς AB cod. Co, ὡς S 14. τούτοις B3S, τούτους A, τουτ B1 16. ὡς τοὺς Hu auctore Co pro ὡς τοῦ 17. πλευρὰν AB, corr. S 20. 21. δωδεκαέδρου — τὰς τοῦ om. Paris. 2368 S 24. post ἐγγραφομένων add. πάππου σιναγωγης τρίτον ες τιν δε των επιπεδων και κτερεων και ///// A3, τῆς τοῦ πάππου ἀλε- ξανδρέως συναγωγῆς τρίτου τέλος B, τέλος τοῦ τρίτου S)

96 Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ περὶ κέντρον τὸ ∠, διάμετροι δὲ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἔστωσαν αἱ Α∠Γ Β∠Ε, καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΜΝ ΒΘΖΗ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κέβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ κύβον.

Ἐπεξεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΛΚ ἐν ἡμικυκλίῳ τῷ ΒΛΕ κάθετος ἦκται ἐπὶ τὴν Β∠Ε, ἡ ΚΛ ἄρα μέση ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΚ ΚΒ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ, οὕτως ἡ ΕΚ πρὸς ΚΒ, τουτ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τὴς ∠Μ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς ∠Μ. κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ ἔσται ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

97 Ὀργανικῶς δὲ κατασκευασθήσεται τὸν τρόπον τοῦτον.

Ἔστω τύμπανον πρὸς κανόνα ἀπωρθωμένον, ἐν ᾧ καταγραφέντος κύκλου κέντρῳ καὶ διαστήματι ἐλάττονι τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ τυμπάνου, ὡς τοῦ ΑΒΓ, πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις ἤχθωσαν διὰ τοῦ κέντρου αἱ Β∠Ε Α∠Γ, καὶ κατὰ τὸ Β σημεῖον τρηματίου γενομένου ἐμβεβλήσθω εἰς αὐτὸ ἀξόνιον κυκλοτερές, καὶ περὶ τὸ ἀξόνιον περιβεβλήσθω κανὼν διατρηθεὶς καὶ αὐτός, ὡς ὁ ΒΘΖΗ, ὥστε εὐλύτως περὶ τὸ Β κέντρον περιάγεσθαι, περόνης ἐμβληθείσης εἰς τὸ ἀξόνιον τῆς κατεχούσης ἐν τῇ περιαγωγῇ τὸν κανόνα. τούτων δὲ οὕτως γενομένων κύβος κύβου πολλαπλάσιος καθʼ ὁποιονοῦν ἀριθμὸν ῥᾳδίως κατασκευασθήσεται. προκείσθω δὴ διπλασίονα κατασκευάσαι· λαβόντες γὰρ τὴν ∠Ε διπλασίονα τῆς ∠Μ ἐπιζεύξεμεν κανόνι τὴν ΕΜΝ, καὶ τὸν κανόνα τὸν ΒΘΖΗ κινήσομεν περὶ τὸ Β κέντρον, ἕως ἂν ἡ αὐτῷ μέση γραμμὴ μεταξὺ τῶν Θ Η διχοτομηθῇ ὑπὸ τῆς Α∠ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΘΖ τῇ ΖΗ. τοιαύτην γὰρ θέσιν τοῦ κανόνος λαβόντος ἀφορισθήσεται ἡ ∠Ζ, ἀφʼ ἧς ὁ ζητούμενος κύβος ἀναγραφήσεται ἀκολούθως τῇ ἀποδείξει.

98 Ὑπομνηματικώτερον δὲ συνταχθείη ἂν τὸ αὐτὸ πρόβλημα οὕτως.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓΕ περὶ κέντρον τὸ ∠, πρὸς ὀρθὰς δὲ ἀλλήλαις διηγμέναι αἱ Α∠Γ Β∠Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Β πρὸς τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἐντὸς προσπίπτουσα ἡ ΒΖΗ· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ τῆς ΖΗ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ ΒΕ διὰ τοῦ κέντρου οὖσα μείζων ἐστὶ τῆς ΒΗ, καὶ ἡ ἡμίσεια ἄρα τῆς ἡμισείας μείζων· μείζων ἄρα ἡ Β∠ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ. ἡ δὲ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς Β∠· πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ τῆς ἡμισείας τῆς ΒΗ, καὶ πολλῷ ἄρα καὶ τῆς ΖΗ.

Ἐπει ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶν τῆς ΖΗ, ἴση τῇ ΖΗ κείσθω ἡ ΘΖ λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὶ τῆς ∠Ζ.

99 Ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ Η∠ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΛΘ καὶ ἡ ΛΕ· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Α∠Γ καὶ ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν η μὲν ΘΖ τῆ ΖΗ διὰ τὴν ὑπόθεσιν, ἡ δὲ Λ∠ τῇ ∠Η διὰ τὸ ἑκατέραν αὐεῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου εἶναι, ἔστιν ὡς ἡ ΘΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Λ∠ πρὸς τὴν ∠Η, ἐὰν τριγώνοδ ἀνέλογον μηθῶσιν αἱ πλευραί, ἡ ἐπὶ τὰς τομὰς ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα παρὰ τὴν λοιπήν ἐστι τοῦ τριυγώνου πλευράν· παράλληλος ἄρα ἡ ΘΛ τῇ Ζ∠. καὶ ἐπειδὴ δύο αἱ Β∠Η δυσὶ ταῖς Λ∠Ε ἴσαι εἰσίν, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ Β∠Η τῇ ὑπὸ Λ∠Ε ἐστὶν ἴση, καὶ βάσις ἡ ΒΗ βάσει τῇ ΛΕ ἐστὶν ἴση, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ἴσαι εἰσὶν ἐκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ’ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΕΛΗ τῇ ὑπὸ ΛΗΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΕΛ. καὶ εἰσὶν ἐναλλάξ παράλληλος ἄρα ἡ ΒΗ τῇ ΛΕ.

100 Καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ∠Γ, αἱ ὑπὸ ΛΚ∠ Κ∠Γ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. ὧν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ [*](1. Μαθηματικώτερον Nickel 1. 2. post πρόβλημα add. ἦι A (B Guelf.), ἡ S, del. Nickel 3. ὁ ΑΒΓ∠ ABS, ὁ ΑΒΓ Bredow, corr. Hu 5. προσπίπτουσα ἡ Hu προσπίπτουσαν ABS, προσπίπτουσα Nickel, προσπιπτέτω V2 10. τῆς ἡμισείας add, V2 Nickel καὶ πολλῷ ἄρα add. Hu (nisi forte rectius Sca deletis τῆς BH, breviore demonstra tione scribit πολλῷ ἄρα ἡ ΒΖ μείζων ἐστὶ καὶ τῆς ΖΗ, in quibus de- nique ἐστὶ καὶ emendandum esse videtur in ἐστὶν) καὶ τῆς ΖΗ AB3S, καὶ τῆς ηζ B1 Guelf. 14. γὰρ ἡ Η∠ V2 Sca Nickel pro γὰρ η ∠ 19. 20. ἐὰν δὲ τριγώνου ἀνάλογον τμηθῶσιν δύο πλευραί coni. Bredow 20. τμηθῶσιν η πλευραι η επὶ A, τμηθῶσι η πλευρα ἡ ἐπὶ)

101 Ὅτι δὲ ἴση ἐστιν ἡ Ξ∠ τῇ ∠Ζ δῆλον. ἐπεὶ γὰρ παρέλληλός ἐστιε ἡ ΛΞ τῇ ΖΗ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΛΞ∠ τρίγωνον τῷ Ζ∠Η. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνά ἐστιν τὰ ΛΞ∠ Ζ∠Η τὰς δύο γωνίας τὰς ὑπὸ Ξ∠Λ ∠ΛΞ ταῖς ὑπὸ Ζ∠Η ∠ΗΖ δυσὶν ἴσας ἔχοντα καὶ μίαν πλευρὰν τὴν Λ∠ μιᾷ πλευρᾷ τῇ ∠Η ἴσην, καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ ταῖς λοιπαῖς ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ τῶν ὑποτεινουσῶν τὰς ἴσας γωνίας. ἴση ἄρα ἡ ∠Ξ τῇ ∠Ζ.

102 Κοινοῦ ἄρα προσληφθέντος λόγου τοῦ τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, ἔσται ὡς ἡ B∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς B∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ, τουτέστιν ὡς Ε∠ πρὸς Μ∠, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Ε∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Ζ.

103 Καὶ τούτοις ἀκολούθως δύο τῶν Ε∠ ∠Μ δοθεισῶν ληψόμεθα τὰς δύο μέσας ἀνάλογον ἐν τῇ συνεχεῖ ἀναλογίᾳ. ἐκκείσθωσαν γὰρ ταῖς Ε∠ ∠Ζ ∠Μ ἴσαι αἱ Ε∠ ∠Ζ ∠Μ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ, δῆλον ὡς ἡ ∠Μ οὐκ ἔστι τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ.

Εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ ∠Μ τρίτη ἀνάλογον τῶν Ε∠ ∠Ζ. ἐπεὶ οὖν ἡ ∠Μ τρίτη ἀναλογόν ἐστι τῶν Ε∠ ∠Ζ, ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς ∠Μ, ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς ∠Μ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Μ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· ἑκατέρα ἄρα τῶν Ε∠ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ἴση ἄρα ἐστιν ἡ Ε∠ τῇ ∠Ζ, ὅπερ [*](1. 2. ἄλλως ἡ ΛΚ A1, corr. man. rec. (BS) 2. 3. ἄρα ΕΚ AS, ἡ add. B Guelf. 6. τῆς (ante ∠Ζ) om AB1S, Add. B3 et, ut vi- detur, Guelf. 10. γωνίας τὰς ὑπὸ ΞΛ∠ ΛΑΞ ABS, γωνίας τὰς ὑπὸ ξλδ λδξ V2, corr. Bredow 11. ταῖς ὑπὸ ζδη V2 Sca Bredow pro ταῖς ὑπὸ Ξ∠Η 12. λοιπαῖς ἴσαις AB1S, corr. B3 14. ἡ ∠Ξ τῆι ΛΞ ABS, ἡ δζ τῇ λξ V2 Sca (voluerunt ἡ ∠Z τῇ ∠Ξ. corr. Bredow 15. 16. τῆς Β∠ πρὸς τὴν ∠Ζ] τῆς Ζ∠ πρὸς τὴν τρίτην ἀνάλογον τῶν)

Εἰλήφθω τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΟΠ. ἐπεὶ οὖν τῶν Ε∠ ∠Ζ τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν ΟΠ, ἔστιν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ε πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ. ἀλλʼ ἦν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ∠Μ· διʼ ἴσου ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Μ· καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ΔΜ. ἀλλʼ ἦν ὡς ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Z, οὕτως ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ· καὶ ὡς ἄρα ἔ ∠Ζ πρὸς τὴν ΟΠ, οὕτως ἡ ΟΠ πρὸς τὴν ∠Μ· αἱ Ε∠ ∠Ζ ΟΠ ∠Μ ἄρα τέσσαρες οὖσαι ἐν τῇ συνεχεῖ καὶ ἐφεξῆς ἀναλογίᾳ εἰσί· τῶν Ε∠ ∠Μ ἄρα δύο μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ∠Ζ ΟΠ.