Synagoge

62 κζ΄. Λέγω δʼ ὅτι, ἐὰν ᾖ ἰσόπλευρον τὸ τρίγωνον ἢ ἰσοσκελὲς τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχον, ἀδύνατον ἔσται συσταθῆναι τὰς ἐντὸς ἴσας ταῖς ἐκτός, ἀλλʼ αἱ ἐντὸς ἐλάσσονες ἔσονται.

Ἔστω γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ ἰσοσκελὲς ἔχον τὴν ΑΓ βάσιν ἐλάοσονα ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ, καὶ συνεστάτωσάν τινες ἐντὸς αἱ ∠Ε ΕΗ· λέγω ὅτι ἐλάσσονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ.

Ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἐτεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΓΑ, μείζων ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῆς ὑπὸ ΖΑΓ. τῆς δʼ ὑπὸ ΒΓΑ μείων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α· πολλῷ ἄρα μείζων ἡ ὑπὸ Ζ∠Α τῆς ὑπὸ ΖΑ∠, ὥστε καὶ ἡ ΑΖ μείζων τῆς Ζ∠. ἐπεὶ μείζων μὲν ἡ ὑπὸ [*](1. μετὰ τῆς ante ΚΓ add. Hu 2. καὶ αἱ] καὶ ABS, αἱ Sca 3. 4. ἡ ΑΒΝ AsB3S Co, ἡ αβμ B1 cod. Co 8. ἡ ΛΚ ἴση AB1S cod. Co, corr. B3 Co Sca 9. τῆι|η ΑΒΓ A, η erasum in B 11. τῆι ΜΓ καὶ AB1SV1, corr. B2V2 Sca 13. ΚΖ A1 in marg. (S), om. B 15. post συσταθῆναι add. ἐπὶ τῆς βάσεως V2 (vid. propos. 29) ταῖς A1 ex τὰς ἀλλ᾿ αἱ B3 Sca, αλλαι (sine spiv. et acc.) A, ἄλλαι S 18. τῆι ΑΓ ASV1, corr. BsV2 Sca ἐλάσσονα om. AB1V1, add. B4SV2 24. ἐπιξεύχθω AB, corr. S ἡ αζ B3S, ἡ ∠Ζ AB1 22. post μείζων add. ἄρα B4, sed idem p. 112, 2 post ἔσται a scriptore huius propositionis omissum est 23. ἡ ὑπὸ βγα V2 Co pro ἡ ὐπὸ ΒΓ∠ τῆι δʼ ὑπὸ AB, corr. S 23. 24. ἡ ὑπὸ Ζ∠ AS, ἡ ὑπὸ ΒΖ∠ Sca, corr. B 25. καὶ ante ἐπεὶ add. B4)

63 κη΄ Ἐφ᾿ ὧν μέντοι τριγώνων αἱ ἐντὸς ἴσαι συνίστανται ταῖς ἐκτός, ἐπʼ ἐκείνων καὶ μείζους τῶν ἐκτὸς ἐντός τινες εἶναι δύνανται συναμφότεραι λαμβανόμεναι.

Ἔστωσαν γὰρ β ἐν τῷ ΑΒΓ τριγόνῳ αἱ ∠ΕΖ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω μία τῶν ἐντὸς ἡ ∠Ε ἐπὶ τὸ Η, καὶ μεταξὺ τῶν Ε Η εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ· ἔσονται δὴ αἱ ∠ΚΖ μείζονες τῶν ∠ΕΖ, ὥστε καὶ τῶν ΑΒΓ. δῆλον δʼ ὅτι, κἂν ἐντὸς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ Κ σημεῖον οὕτως ληφθῇ ὥστε τὰς ∠ΕΖ περιέχεσθαι ὑπὸ τῶν ἀπʼ αὐτοῦ ἐπὶ τὰ ∠ Ζ ἐπιζευγνυμένων, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ οὕτως ἔσται τὸ αὐτό, καὶ ἑκατέρως ἀπειραχῶς ἔσται τὸ προκείμενον.

64 κθ΄. Καὶ τούτου παραδόξου δοκοῦντος εἶναι τοῖς ἀγεω μετρήτοις ἔτι παραδοξότερον φανεῖται τὸ μὴ μόνον συναμφότερον συναμφοτέρῳ, ἀλλὰ καὶ ἑκατέραν τῶν συνισταμένων ἐντὸς ἑκατέρᾳ τῶν ἐκτὸς καὶ ἴσην εἶναι δύνασθαι καὶ μείζονα κατὰ μίαν. δείκνυται δʼ οὕτως.

Ὑποκείσθω τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ μὴ ἐλάσσονα ἔχον, τὴν δὲ ΑΓ ἑκατέρας αὐτῶν μείζονα, καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β κύκλου περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΒΕΖ, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ αὐτῆς καὶ τῆς ΒΓ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α∠ ∠Γ. ἐπεὶ ἡ μὲν Α∠ μείζων τῆς ΑΒ καὶ διὰ τὴν ὑπόθεσιν τῆς ΒΓ, ἡ δὲ ∠Γ ἐλάσσων τῆς ΒΓ, ἐὰν ἐκβαλόντες τὴν ∠Γ τῇ ΒΓ ἴσην θῶμεν ἑκατέραν τῶν ∠Θ ∠Κ ὁ περὶ κέντρον τὸ ∠ διὰ τῶν Θ Κ γραφόμενος κύκλος τεμεῖ τὴν ΑΖ. τεμνέτω κατὰ τὸ Η, καὶ μεταξὺ τῶν Α εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Α· δῆλον δὴ ὅτι ἐπιζευχθείσης τῆς, ∠Α ἑκατέρα τῶν Α∠ ∠Λ ἑκατέρας τῶν ΑΒ ΒΓ ἔσται μείζων.

65 λ΄. Ἂν δὲ θέλωμεν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ ἴσην εἶναι, δεήσει τὴν μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ μείζονα ὑποθέσθαι, τὴν δὲ ΒΓ τῆς ΒΑ ἐλάσσονα.

Ἐχέτω γὰρ οὕτως, καὶ ὁμοίως ἡ ΒΕΖ περιφέρεια γεγράφθω, καὶ τὸ ∠ σημεῖον εἰλήφθω, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Α ∠Γ, καὶ τῆς ∠Γ ἐκβληθείσης τῇ ΒΓ ἴση κείσθω [*](6. 7. ἡ ΖΕΒ ABS, corr. Co 18. τῶν ΘΚ A, distinx. BS 19. τὴν ΑΖ A, sed ex Α fectum esse videtur ∠, unde τὴν δζ BSV1, quod corr. V2 (cod. Paris. 2369 cum A consentit in τὴν αζ) 20. τῶν ΑΗ A, distinx. BS τυχὸν τὰ σημεῖα A, τυχόντα σημεῖα B3S, corr. B1 τὸ Λ Hu auctore Co, τὰ ΛΜ A, τὰ λ μ BS 21. ἐπιζευχθείσης τῆς ∠Λ Hu auctore Co pro ἐπιζευχθεῖσα τῶν ∠Λ ΛΜ ABSV1, τῶν δλ δμ V2, τῶν Λ∠ ∠Μ Co, corr. Hu auctore Co 23. Λ A1 in marg. (S), om. B 28. τῆς δγ V2 Co pro τῆς ΒΓ)

66 λα΄. Μᾶλλον δʼ ἂν ἐπιταθείη τὸ παράδοξον, εἰ μὴ μόνον ἴσαι ἢ μείζους ἁπλῶς εἶεν αἱ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς τοῦ τριγώνου συνιστάμεναι τῶν περιεχουσῶν δύο πλευρῶν, ἀλλὰ καὶ λόγον ἔχοιεν πρὸς αὐτὰς τὸν ἐπιταχθέντα.

Κατεσκευάσθωσαν γὰρ αἱ ΕΖΚ ἴσαι ταῖς ΑΒΓ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατόν ἐστι γενέσθαι διὰ τῶν πρώτων εἴρηται ἐν ἀρχῇ), καὶ τὸ μὲν Π δίχα τεμνέτω συναμφότερον τὴν ΑΒΓ, ἠ δὲ ΘΖΗ παράλληλος ἤχθω τῇ ΑΓ καὶ ἡ ΖΕ δὲ παράλληλος ἔστω τῇ ΒΑ, καὶ τῷ δοθέντι λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΑΛ, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΝ, καὶ ἐπὶ τῆς ΛΜΝ σημεῖον εἰλήφθω τὸ Μ, ὥστε τὰς διʼ αὐτοῦ ταῖς ΒΑ ΒΓ παραλλήλους ἀγομένας τὰς ΜΟ Μ∠ περιλαμβάνειν τὸ Ζ. ἔσται δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΑΒΓ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΕΖΚ, πρὸς συναμφότερον τὴν ΑΛ ΝΓ, τουτέστι πρὸς συναμφότερον τὴν ΟΜ∠, δοθεὶς λόγος· ἐν ἄρα τῷ ΟΜ∠ τριγώνῳ ἐντὸς οὖσαι αἱ ΕΖΚ πρὸς τὰς ΟΜ∠ περιεχούσας λόγον ἔχουσι τὸν ἐπιταχθέντα.

Ἐπεὶ δὲ δεῖ τὴν ΛΜΝ ἀνώτερον πίπτειν τῆς ΗΘ, δεῖ τὴν ΒΑ τῆς ΑΛ ἐλάσσονα εἶναι ἢ διπλασίαν (ἐπεὶ καὶ τῆς ΑΠ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία), ὥστε καὶ τὸν δοθέντα λόγον δεήσει ἐλάσσονα εἶναι τοῦ διπλασίου. δῆλον δʼ ὅτι, ὅσῳ ἂν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ πολλαπλασία γίνηται, ἡ δὲ Β γωνία ἀμβλύνηται, μᾶλλον αἱ ΕΖΚ τῷ διπλασίῳ συνεγγιοῦσι λόγῳ, καὶ μᾶλλον, εἰ μὴ ἴσαι εἶεν αἱ ΕΖΚ ταῖς ΑΒΓ ἀλλὰ μείζους αὐτῶν, καὶ φανερόν, εἰ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΜΞ πρὸς τὰς ΟΜΞ συγκρίνονται. δυνατὸν δὲ καὶ καθʼ ἑτέρας ἐφόδους τὸ αὐτό, ἀλλὰ πρὸς ἔνδειξιν Ἱκανὸς ὁ τρόπος οὗτος.

67 λβ΄. Οὐ μόνον δʼ ἐπὶ τοῦ τριγώνου τῆς βάσεως αἱ εὐθεῖαι συνίστανται συναμφότεραι μείζους τῶν ἐκτὸς αἱ ἐντός, ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τετραπλεύρου δύο τῶν τριῶν καὶ τρεῖς τῶν τριῶν, καὶ ἐπὶ τῶν ἔτι πολυπλευροτέρων ὁμοίως ὁσαιδὴ αἱ ἐντὸς ὁσωνοῦν τῶν ἐκτὸς μείζους εἶναι δύνανται.

Ἂν γὰρ ᾖ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἐν ᾧ συνίστανται αἱ ∠ΕΖ [*](1. τὴν ΛΜΝ Co pro τὴν ΛΜ 2. 3. ἐπεὶ — διπλασία om. Co 3. τῆς ΑΠ Hu pro τῆς ΑΘ 8. φανερόν Hu pro μᾶλλον εἰ coni. Co, ἔτι AS, ἐπὶ B cod. Co 9. συγκρινόμενα ABS, συγκρινόμεναι vel συγκρίνομεν coni. Co, corr. Hu 12. λβ΄ add. BS 45. ἔτι A2 ex ἐπι 16. ὅσαι δὴ ABS ὅσων οὖν AB, coniunx. S)

68 λγ΄. Δυνατὸν δὲ καὶ τὰς ἐντὸς ὁσαισδὴ ταῖς ἐκτὸς περιλαμβανούσαις πάσαις ὁμοῦ πάσας ἴσας εἶναι.

Κατασκευασθεισῶν γάρ, ὡς προδέδεικται, τῶν ΗΘ ΘΚ ΚΛ ΛΜ μειζόνων ὁσωνδὴ τῶν ΑΒ ΒΓ Γ∠ ∠Ε ΕΖ, ἂν [*](2. τῶν ΑΠ ΠΟ ΘΓ ἐν τῶι ΑΠ Η A (item BS, nisi quod απη), corr Co 5. κἂν Hu auctore Co pro καὶ (καὶ πάλιν ἂν V2) ἡ ΠΗΘ Co pro ἡ ΗΘ (ἡ πθ V2) 5—9. αἱ ∠ΕΖ | τῶν // /Κ(?) /Θ ΘΓ ἐν πενταπλεύρωι καὶ ἔτι αἱ ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ | /////// // /Θ ΘΓ κἂν ἡ ΠΗ ΨΘ cet. A et similiter BSV, duae ∠Ε ΕΖ itemque tres ∠Κ ΚΕ ΕΖ maiores quattuor ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ in quinquelatero, et si inflectatur ΕΛΖ. erunt et quattuor ∠Κ ΚΕ ΕΛ ΛΖ maiores quam quattuor ΑΠ ΠΗ ΗΘ ΘΓ. at si inflectatur ΠΗΨΘ cet. Co, reliqua corr. Hu (αἱ δκεζ τῶν)

69 λδ΄ Ῥᾴδιον δὲ ἀπὸ δύο σημείων τῶν Β Ε κλάσαι τὴν ΒΝΞΕ καθόλου τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην τῶν κλασμάτων τὸ πλῆθος δοθὲν ἔχουσαν.

Ἔστω γὰρ τὰ μὲν δοθέντα σημεῖα τὰ Α Β, ἡ δὲ δοθεῖσα τῷ μεγέθει εὐθεῖα ΑΓ μείζων τῆς ΑΒ, καὶ διῃρήσθω ἡ ΒΓ εἰς τυχούσας εὐθείας τὰς Β∠ ∠Ε ΕΓ μιᾷ ἐλάσσονας τοῦ τῶν κλασμάτων πλήθους, καὶ ἡ μὲν ΑΘΒ κεκλάσθω τῆς ΑΒ ὑπερέχουσα τῇ Β∠ (ῥᾴδιον γὰρ ποιῆσαι), ἡ δὲ ΑΗΘ κεκλάσθω τῆς ΑΘ ὑπερέχουσα τῇ ∠Ε, ἡ δὲ ΑΖΗ κεκλάσθω τῆς ΑΗ ὑπερέχουσα τῇ ΕΓ· ἔσται δὴ τὸ πλῆθος τῶν ΑΖ ΖΗ ΗΘ ΘΒ ἴσον τῷ δοθέντι, καὶ ἡ ἐκ πασῶν συγκειμένη εὐθεῖα ἴση τῇ ΑΓ. εὔκολον γὰρ ἐκ τῆς κατασκευῆς τοῦτο συνιδεῖν καὶ ὅτι ἀπειραχῶς γίνεται.

70 λε΄. Δυνατὸν δὲ καὶ παραλληλόγραμμον εὑρεῖν, οὗ ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς εὐθεῖαι δύο συνίστανται ταῖς περιεχούσαις τρισὶν ἴσαι καὶ μείζους αὐτῶν προδιδαχθέντος τοῦδε.

Ἔστω ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἢ ἐν λόγῳ ἀγαγεῖν παράλληλον τῇ AΓ τὴν ∠Ε καὶ ποιεῖν ἐν τῷ λόγῳ τὴν Α∠ πρὸς συναμφότερον τὴν ∠Ε ΒΓ.

Γεγονέτω. ἐπεὶ ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ δοθείσῃ μείζων ἐστὶν ἢ ἐν λόγῳ, ἔστω λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ μετὰ δοθείσης· ἔστω τῆς Ζ. ὁ δʼ αὐτός ἐστιν καὶ τῆς Α∠ πρὸς τὰς ∠Ε ΒΓ· καὶ λοιπῆς ἄρα τῆς Β∠ λόγος πρὸς τὴν τῶν Ζ ∠Ε ὑπεροχὴν ὁ αὐτός ἐστίν. καὶ ἔστιν δοθεῖσα ἡ Ζ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ∠Ε *** θέσει ἄρα *** ὥστε καί, ἂν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ μείζων ᾖ ἢ διπλῆ, δυνατὸν ἔσται ἀγαγεῖν παράλληλον τὴν ∠Ε καὶ ποιεῖν τὴν Α∠ διπλῆν συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ.

71 λϚ΄ Ἐκκείσθω δὴ τοιοῦτον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ὥστε τὴν μὲν ΑΒ τῆς ΒΓ μείζονα εἶναι ἢ διπλασίαν, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ διπλασίαν, καὶ ἤχθω παράλληλος ἡ ∠Ε ποιοῦσα τὴν Α∠ διπλασίαν συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ, καὶ [*](1. δοδεῖσαι ABS1, δοθείσης cod. Paris. 2368 S2, corr. Hu auctore Co 2. ΛΓ τὴν add. Hu ποιεῖ ABS, corr. Hu auctore Co 3. τὴν Κ∠ πρὸς συναμφότερον τὴν ∠Ε AS, τὴν δκ πρὸς συναμφότερον τὴν δε εγ B, corr. Co 4. γέγονεν τω A1, corr. A2 δοθείση AB, δοθείσης S 7. τὰς ∠ΕΒΓ A, distinx. BS 7. 8. τῶν Ζ∠Ε ABS, distinx. Co 8. ὁ αὐτός ἐστιν add. Hu auctore Co ἡ Ζ AB, ἡ ζη S post ἡ Ζ nullum lacunae Signum posuimus, quanquam in Latinis nonnulla supplevimus; haec enim Graecus scriptor cogitatione addenda esse putavit neque diserte expressit 9. ***θέσει ἄρα ***] de lacunis, quarum nullum est vestigium in Graecis codicibus, vide Latina 13. ΛϚ A1 in marg. (BS) 16. τῆς ∠ΕΒΓ ABS, distinx Co)

Ἐπεὶ γὰρ ἡ μὲν ΖΑ διπλασία ἐστὶν τῆς ∠Ε, ἡ δὲ ΑΓ τῆς ΓΒ, ἔσται ὅλη ἡ ΖΓ, τουτέστιν ἡ ΗΒ, διπλασία συναμφοτέρου τῆς ∠Ε ΒΓ· ἴση ἄρα ἐστὶν τῇ Α∠. ἐπειδὴ ἡ Α∠ τῆς ΒΓ μείζων ἢ διπλασία, κατήχθω ἡ ∠Θ διπλασία τῆς ΒΓ ἴση ἄρα ἡ ∠Θ ταῖς ΗΖ ΒΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ Α∠ τῇ ΗΒ ἴοη· αἱ Α∠Θ ἄρα ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΒ ΒΓ, καὶ ἔστιν παραλληλόγραμμον τὸ ΖΗΒΓ.

Δῆλον δʼ ὅτι καὶ μείζους αἱ Α∠Θ τῶν ΖΗ ΗΒ ΒΓ δύνανται εἶναι.

Καὶ ληφθέντος σημείου τινὸς τοῦ Κ μᾶλλον αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ μείζους τῶν ἐκτός.

Καὶ εἰ, ὅσῳ μείζους εἰσίν, κλασθείη ἡ ΗΛ∠ τῷ αὐτῷ μείζων τῆς ΗΒ, ἔσονται καὶ αἱ ΑΚ Κ∠ ∠Θ ἴσαι ταῖς ΖΗ ΗΛ ΛΒ ΒΓ ἐν πενταπλεύρῳ. καὶ ἐπὶ τῶν πολυπλευροτέρων ὁ αὐτὸς τρόπος, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῶν ἀπὸ τυχόντος τετραπλεύρου συνισταμένων προδέδεικται.

72 λϚ΄. Ἕπεται τοῖς προειρημένοις καὶ τὰ τοιαῦτα. δοθέντος παραλληλογράμμου χωρίου δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν ἕτερον παραλληλόγραμμον, ὥστε αὐτὸ μὲν τὸ ἐπιταχθὲν μέρος εἶναι τοῦ δοθέντος, ἑκάστην δὲ πλευρὰν ἑκάστης πολλαπλασίαν κατὰ τὸν δοθέντα ἀριθμόν.

Ἔστω γὰρ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἑκατέρα τῶν Ε∠ ∠Ζ πολλαπλασία ἑκατέρας τῶν ΛΒ ΒΓ κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς, καὶ ἤχθω τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΚ, καὶ ἀπειλήφθω τὸ ὑπὸ ∠ΕΚ τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΓ παραλληλογράμμου, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ∠Ε παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΚΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ ∠ περιφέρεια γραφεῖσα ἡ ΖΗΘ τεμνέτω τὴν ΘΚΛ κατὰ τὸ Θ καὶ ἐπιζευχθείσῃ τῇ ∠Θ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΛ. δῆλον δʼ ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι αὐτὸ μὲν τὸ ∠Λ παραλληλόγραμμον τὸ δοθὲν μέρος ἐστὶν τοῦ ΑΓ ὀρθογωνίου, ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς προτεθέντας ἀριθμούς.

73 λη΄ Πάλιν τριγώνου δοθέντος ἔλασσον εὑρίσκεται τρίγωνον ἑκάστην ἔχον πλευρὰν ἑκάστης μείζονα.

Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ βάσις ἐφʼ ἑκάτερα μέρη, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ Β∠, τῇ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ περὶ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβεβλήσθω τὸ ∠Η, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΓ τυχὸν τὸ Θ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΖ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ Β∠, ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Θ τῆς ΒΑ. ὁμοίως δὴ δείξομεν ὅτι καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΑΓ μείζων. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῆς ΒΓ μείζων· αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΘΖ ΖΗ ΗΘ κατὰ μίαν μείζονές εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ ΓΑ. ἐπεὶ δὲ τὸ ∠Η παραλληλόγραμμον [*](2. τῶν ΑΒΒΓ A, distinx. BS 4. τὸ ὑπὸ ∠ΕΘΚ ABS, corr. Co 5. τοῦ ΑΓ brevius pro τοῦ ΑΒΓ scriptor posuit et hic et pauio post 8. ἐπιζευχθεῖσαι AB cod. Co, ἐπιζευχθεῖσα Paris 2368 (επιζευχεῖσα S),)

74 λθ΄. Τοῦτο μὲν ἐν τοῖς παραδόξοις φέρεται, γένοιτο δʼ ἂν παραδοξότερον, εἰ τὸ μὲν τρίγωνον αὐτὸ εὑρεθείη μέρος τοῦ δοθέντος τριγώνου, ἑκάστη δὲ πλευρὰ ἑκάστης πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ὡς ἐπὶ τοῦ παραλληλογράμμου προείρηται ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία. Ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ συνεστάτω τρίγωνον τὸ ΕΖΗ ἑκάστην πλευρὰν ἔχον ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ πλευρῶν πολλαπλασίαν κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμοὺς ἢ καὶ μείζονας ἢ πολλαπλασίας, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ μὲν τοῦ Ε περιφέρεια γεγράφθω ἡ ΕΘΚ, διὰ δὲ τοῦ Ζ περιφέρεια ἡ ΖΛΜ, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΗΜ, καὶ κάθετος ἤχθω ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΗΝ, καὶ ἔστω τὸ ἐπιταχθὲν μέρος τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ὑπὸ ΚΜ ΗΠ τοῦτο γὰρ προδέδεικται, καὶ τῇ ΚΜ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΠΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΘ ΗΛ. φανερὸν οὖν ἐκ τῆς κατασκευῆς ὅτι τὸ ΘΗΛ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ληφθέντος μέρους τοῦ ΑΒΓ (ἐλάσσων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΚΜ), ἑκάστη δὲ αὐτοῦ πλευρὰ ἑκάστης τῶν τοῦ ΑΒΓ ἣ πολλαπλασία ἢ καὶ μείζων ἢ πολλαπλασία κατὰ τοὺς δοθέντας ἀριθμούς (μείζων γὰρ ἡ ΘΛ τῆς ΕΖ).

75 μ΄. Εἰς τὴν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐγγράψαι τὰ πήντε πολύεδρα, προγράφεται δὲ τάδε.

Ἔστω ἐν σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΑΒΓ, οὗ διάμετρος ἡ ΑΓ καὶ κέντρον τὸ ∠, καὶ προκείσθω εἰς τὸν κύκλον ἐμβαλεῖν εὐθεῖαν παράλληλον μὲν τῇ ΑΓ διαμέτρῳ, ἴσην δὲ τῇ δοθείσῃ μὴ μείζονι οὔσῃ τῆς ΑΓ διαμέτρου.

Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς δοθείσης ἴση ἡ Ε∠, καὶ τῇ ΑΓ διαμέτρῳ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΒ, τῇ δὲ ΑΓ παράλληλος ἡ ΒΖ, ἥτις ἴση ἔσται τῇ δοθείσῃ διπλῆ γάρ ἐστιν τῆς Ε∠ (ἐπεὶ καὶ ἴσῃ τῇ ΕΗ, παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΖΗ τῇ ΒΕ).

76 μα΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ παράλληλοι κόκλοι οἱ ΑΚ∠ ΒΕΖΓ, ἡ δὲ διὰ τῶν B Γ ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρος ἔστω τοῦ κύκλου, καὶ προκείσθω ἀγαγεῖν διάμετρον τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ B Γ διαμέτρῳ.

Ἐκβεβλήσθω διὰ τῶν Β Γ σημείων ἐπίπεδον ἐρθὸν πρὸς τὸν κύκλον, καὶ ποιήσει τομὴν ΑΒΓ∠ μέγιστον κύκλον· ὁ ΑΒΓ∠ ἄρα ἥξει καὶ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν καὶ δίχα τεμεῖ καὶ τὸν ΑΚ∠. ἡ ἄρα ἐπὶ τὰ Α ∠ ἐπιζευγνυμένη διάμετρος παράλληλός ἐστι τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ. ἔστι δὲ φανερόν· τετμήσθω γὰρ ἡ ΒΓ περιφέρεια δίχα τῷ Θ σημείῳ· ἐπεὶ οὖν ἡ ΘΑ τῇ Θ∠ ἴση ἐστὶν (ἐκ πόλου γάρ). ὧν ἡ ΘΒ τῇ ΘΓ, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ λοιπῇ τῇ Γ∠ ἐστὶν [*](1. Μ Α1 in marg. (BS) τὰ πέντε Hu, τε A (fuit igitur in archetypo τὰ ε), τὲ B, τὰ S 2. τέδε et 3. Ἔστω add. Co 5. τὴν ΑΓ διαμέτρωι AB, corr. S 7. ἡμισείᾳ τῆς δοθείσης Co pro δοθείσῃ 8. post ἤχθω edd. A ἡ, sed del. prima m. 10. ἐπεὶ add. Hu 12. ΜΑ A1 in marg. (BS) 13. ΒΕ ΖΓ ABS, coniunx. Co τῶν ΒΓ AS, distinx. B, item vs. 15 16. ἐκθεβλήσθω A, sed litterarum εκβεβλ incerta tantum vestigia comparent, . . . . μήσθω Β, . . . κείσθω S σημεῖον AB, corr. S 17. τὸ μὲν ΑΒΓ∠ μέγιστος κύκλος ABS, corr. Co Sca 18. πολλῶν A Paris. 2369 cod. Co, corr. BS Co 19. τεμεῖ Hu pro τέμνει τὰ Α∠ A Co Sca, τὰ β B1, τὰ α β B 3, τὰ αβ S cod. Co 20. παράλληλος add. Co Sca τὰ ΒΓ AS, distinx. B ἔστι δὲ add. Co 22. ἴση add. Co ἐκπολλῶν Α(BS), ἐκ πὸλων coni. Co, corr. Co Sca 23. ὧν ἡ Hu, ων A, ὢν B, ὧν S καὶ λοιπῆι ἄρα A, corr. BS)

77 Ἔστω δέ ἡ ἐπὶ τὰ Ε Ζ μὴ διάμετρος καὶ προκείσθω διάμετρον ἀγαγεῖν τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλον τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ.

Κείσθω τῇ ἡμισείᾳ τῆς ὑπεροχῆς ᾗ ὑπερέχει ἡμικύκλιον τῆς ΕΖ περιφερείας ἑκατέρα τῶν ΕΒ ΖΓ ἴση, καὶ διὰ τῶν Β Γ γεγράφθω ὁμοίως μέγιστος ὁ ΑΒΓ∠ ἔσται ἄρα ἡ ἐπὶ τὰ Α ∠ διάμετρος τοῦ ΑΚ∠ κύκλου παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Ε Ζ, ὅτι καὶ αὐτὴ παράλληλος τῇ ἐπὶ τὰ Β Γ.

78 μβ΄. Ἔστωσαν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΕ ΓΖ, καὶ ἐν τοῖς αὐτοῖς ἐπιπέδοις διήχθωσαν αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ διὰ τῶν ΑΕ ΓΖ ἐκβαλλομένου ἐπιπέδου ἴσας γωνίας ποιοῦσαι τὰς ὑπὸ ΒΑΕ ∠ΓΖ· ὅτι καὶ αἱ ΑΒ Γ∠ παράλληλοί εἰσι, τουτἐστιν ὅτι ἐκβληθὲν τὸ διὰ τῶν Β Α Γ σημείων ἐπίπεδον ποιεῖ ἐν τῷ διὰ τῶν △ Γ Ζ ἐπιπέδῳ τὴν Γ∠. Εἰ γὰρ ἑτέραν ποιήσει ἐκεῖ, περιέξει μετὰ τῆς ΓΖ γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΒΑΕ, ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον ἴση γὰρ ὑπύκειται ἡ ὑπὸ ΒΑΕ τῇ ὑπὸ ∠ΓΖ.

79 μγ΄ Ἐκ τούτου φανερὸν ὅτι, ἐὰν ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις κύκλοι ὦσιν ὡς ὑπογεγραμμένοι, καὶ ἐν αὐτοῖς παράλληλοι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ Γ∠ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῶν Ε Ζ κέντρων ὅμοια τμήματα κύκλων ἀπολαμβάνουσαι, παράλληλος ἔσται ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΕ τῇ ∠Ζ.

Ἴσαι γάρ γίνονται διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τμημάτων αἵ τε Α Γ καὶ αἱ Β ∠ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις, καὶ παράλληλοι αἱ ΑΒ Γ∠ ἐν παραλλήλοις ἐπιπέδοις.

80 μδ΄ Ἄν δὲ αἱ τά ὅμοια τῶν τμημάτων κύκλων ἀπολαμβάνουσαι παράλληλοι μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ὦσιν, αἱ ἀπὸ τῶν κέντρων ἐπὶ τὰ μὴ ὁμοίως κείμενα πέρατα τῶν παραλλήλων ἐπιζευγνύμεναι παράλληλοι ἔσονται.

Δείκνυται γὰρ καὶ ὁμοίως ὡς ἐπὶ τῆς προκειμένης καταγραφῆς.

81 με΄. Ἔστωσαν ἐν σφαίρᾳ ἴσοι καὶ παράλληλοι κύκλοι οἱ ΑΒ Γ∠, καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τῶν κέντρων ἵσαι καὶ παράλληλοι αἱ AB Γ∠· ὅτι αἱ ἐπιζευγνύουσαι τὰ πέρατα αὐτῶν τὰ Α Γ, Β ∠ ἴσαι τέ εἰσιν καὶ παράλληλοι καὶ ὀρθαὶ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα.

Ἔστι δὲ φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων· ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΕ ΓΖ παράλληλοι ἔσονται. καὶ εἰσὶν ἴσαι ἀλλήλαις: ὥστε καὶ αἱ ΑΓ ΕΖ ἴσαι τε καὶ παράλληλοί εἰσιν. ὁμοίως καὶ αἱ ΕΖ Β∠. καὶ ἔστιν ἡ ΕΖ ὀρθὴ πρὸς τὰ τῶν κύκλων ἐπίπεδα (περὶ γὰρ τοὺς αὐτοὺς πόλους εἰσίν, καὶ ἡ διὰ τῶν πόλων αὐτῶν ἀγομένη ὀρθή ἐστιν πρὸς ἑκάτερον αὐτῶν καὶ διὰ τῶν κέντρων αὐτῶν τε καὶ τῆς σφαίρας ἐλεύσεται, ὡς ἔστιν ἐν σφαιρικοῖς) καὶ αἱ ΑΓ Β∠ ἄρα ἴσαι τε καὶ περάλληλοι καὶ ὀρθαί εἰσι πρὸς τοὺς κύκλους.