Synagoge

41 Ἅμα καὶ διʼ ἀριθμῶν ἐλαχίστων πέντε συνίστασθαι κατά τε τοὺς πολλαπλασίους λεγομένους λύγους καὶ ἐπιμορίους καὶ τοὺς λοιπούς, ἀδιαιρέτου γοῦν τῆς μονάδος ὑποκειμένης. ἐπὶ μὲν γὰρ τοῦ διπλασίου λόγου τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ ἐν διπλασίῳ λόγῳ δοθείσης ὑποδείγματος [*](1. αἱ ΖΓ A, distinx. BS 3. αἱ add. Hu ΑΒΖ A, α β ζ BS, corr. Co 5. τῶν ΑΒΓ A, τῶν α β γ BS, corr. Co 6. τῶν ΑΒ ΖΓ ABS, distinx. Co 8. τῶν ΖΓΗ A, distinx. BS 9. 10. τῶν ΓΗ ὧν μείζων ΗΓ A, distinx. BS 10. ποιησώμεθα Hu pro πορισώμεθα ὥστ᾿ A, ὥστε B, ὡς S 11. τὴν τῶν γ η B3, τὴν ΓΗ AS, τὴν γ η B1 12. ante τῶν ΗΘ add. Θ οὕτως ὁ (ὁ del. A2, ἡ add. S) τὴν ΓΗ ὑπεροχὴν πρὸς τὴν AS, θ οὕτω τὴν add. B1, dcl. B4 (erratum igitur partim correxit B1, partim B4) 12. τῶν ΗΘ A, distinx. BS ἄρα Hu pro μὲν τῶν ΓΗΘ A, distinx. BS 17. δυνάμεναι — ἀλλήλας] vera haec sunt; nec tamen ab ipso Pappo scripta, sed ab interprete addita esse videntur 18. Ἅμα καὶ etc.] haec usque ad cap. 42 extremum Pappi collectioni ab alio scriptore interserta esse videntur Ἅμα] Ἔστω δὲ coni. Hu πέντε S, Ε AB 20. γοῦν Hu, nimirum Co, οὖν ABS 22. ἐν — δοθείσης del. Hu auctore Co (alia est ratio loci qui sequitur p. 80, 12))

42 κἂν χωρὶς ἑκάστην τις ἐθέλῃ ἐκτίθεσθαι, διὰ τῶν προγεγραμμένων εὔδηλον, τῶν τριῶν ὅρων ἐπὶ μὲν τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος ὄντων ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς γ΄ β΄ α΄, ἐπὶ δὲ τῆς γεωμετρικῆς δ΄ β΄ α΄, καὶ τῶν κατὰ τὸν διδόμενον λόγον πυθμένων εἰς τοὺς ἰσάκις πολλαπλασίους καὶ τοὺς ἐπιμορίους μεταλαμβανομένων καὶ τοὺς λοιπούς. οἷον ἐπὶ τοῦ διπλασίου λόγου, τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ λόγον ἐχούσης ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τάξομεν ἀντὶ μὲν τῶν β΄ τὰ δ΄, ἀντὶ δὲ τοῦ α΄ τὰ β΄ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τῷ β΄. καὶ ἐπεὶ δεῖ τὸν μέσον αὐτῶν τῷ ἴσῳ ὑπερέχειν καὶ ὑπερέχεσθαι, γίνεται ἡ Ζ εὐθεῖα μονάδων τριῶν μέσον. καὶ ὁ τῆς Ζ πρὸς τὴν Γ λόγος ἡμιόλιος, ὡς γ΄ πρὸς β΄. ὁ αὐτὸς δὲ τούτῳ καὶ ὁ τῆς Γ πρὸς τὴν Η γενόμενος οὐ ποιεῖ τὸ πρόβλημα τῆς μονάδος ἀδιαιρέτου μενούσης. πάντα ἄρα τρίς καὶ γίνεται ἀντὶ μὲν τοῦ δ΄ ὁ ιβ΄, ἀντὶ δέ τοῦ γ΄ ὁ θ΄ ἀριθμός, καὶ ἀντὶ τοῦ β΄ ὁ Ϛ΄. καὶ γίνεται ἡ Η εὐθεῖα μονάδων δ΄ καὶ ἡ Θ δηλονότι μονάδων τριῶν καὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων ἀριθμοὶ ιβ΄ θ΄ Ϛ΄ δ΄ γ΄.

43 ιζ΄. Ταῦτα μὲν οὖν περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων κατὰ τοὺς παλαιούς, ὅτι δὲ καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ δυνατόν ἐστιν [*](2. ιβ S, δώδεκα AB καὶ ὁ ἐννέα καὶ ὁ ἓξ B (sed deinde cum AS καὶ ὁ δ καὶ ὁ γ) 3. τριπλασίονος A2 ex τριπλασί** (erasis litteris ου. ut videtur) 4. καὶ ὁ ΙΒ AB3, om. B1, καὶ ὁ ιδ S καὶ ἡ ς καὶ ἡ Γ καὶ ἡ Β A, καὶ οἱ ἓξ καὶ οἱ γ καὶ οἱ δύο B1, corr. B3S (nisi quod B3 intacta reliquit ἓξ et δύο) 7. προγεγραμμένων B, προ////// μένων A (sed vestigia litterarum γ.γρ... etiam nunc agenoscuntur), προλελεγμένων S 8. ἀριθμητικῆς μεσότητος BS, ἀρ//////////|μεσό//τος A ὄντων Hu, ////ν A, ....ν B, ...ων S 9. α (aute ἐπὶ) B3S, Δ A, om. B1 ἐπὶ δὲ B1 et τῆς B4, tot fere litterae evanuerunt in A, unde lacuna in S δ β α B4 Co pro Ϛ Γ Β 10. καὶ τῶν — 12. λοπούς] nonnulla desiderari videntur Commandino; ante καὶ τῶν add. ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς Ϛ΄ γ΄ β΄ Hu 13. λόγον ἐχούσης Hu pro οὔσης 44. μὲν τῶν Hu)

Ἐκκείσθω γὰρ τὸ ἡμικύκλιον ἔχον τὴν Β∠ κάθετον καὶ τὴν ΕΒ ἐκ κέντρου, καὶ τὴν ∠Ζ κάθετον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἡ ΘΗ καὶ ἐκβληθείσης τῆς ΕΓΗ κείσθω τῇ ΒΗ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠ΚΘ· λέγω ὅτι ἐν τῇ ἁρμονικῇ μεσότητι ἡ ΕΚ μέση ἐστὶν τῶν ΒΕ ΕΖ, μεγίστης οὔσης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Β Ζ γωνίαι παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Ζ τῇ ΘΗ, καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΒΗ. τρίγωνον τῷ ΕΖ∠ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΒΘΚ τρίγωνον τῷ ΖΚ∠ τριγώνῳ, ἔστιν ἄρα ὡς ᾑ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΗΒ πρὸς Ζ∠. ἴση δὲ ἡ ΒΗ τῇ ΒΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΘ πρὸς ∠Ζ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ∠Ζ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ, καὶ ἔστιν ἡ μὲν ΒΚ ὑπεροχὴ τῶν ΒΕ ΕΚ εὐθειῶν, ἡ δὲ ΚΖ ὑπεροχὴ τῶν ΚΕ ΕΖ εὐθειῶν· ἐστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ τῶν ΒΕ ΕΚ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΚΕ ΕΖ ὑπεροχήν· ἁρμονικὴν ἄρα μεσότητα περιέχουσιν αἱ ΒΕ ΕΚ ΕΖ εὐθεῖαι. μέσης οὔσης τῆς ΕΚ καὶ μεγίστης τῆς ΒΕ καὶ ἐλαχίστης τῆς ΕΖ. ἐδείχθησαν δὲ καὶ αἱ μὲν Α∠ EΓ Γ∠ τὴν ἀριθμητικήν, αἱ δὲ Α∠ Β∠ ∠Γ τὴν γεωμετρικήν· αἱ τρεῖς ἄρα μεσότητες ἐντεταγμέναι εἰσὶν καὶ ἐν ἡμικυκλίῳ.

44 ιη΄. Ἐπεὶ δὲ καὶ Νικόμαχος ὁ Πυθαγορικὸς καὶ ἄλλοι τινὲς οὐ μόνον περὶ τῶν πρώτων τριῶν μεσοτήτων εἰρήκασιν, αἳ χρήσιμοι τυγχάνουσιν μάλιστα πρὸς τὰς τῶν παλαιῶν ἀναγνώσεις, ἀλλὰ καὶ περὶ ἄλλων τριῶν κατὰ τοὺς παλαιούς, καὶ ἔτι ταῖς ἓξ ταύταις ἄλλαι ὑπὸ τῶν νεωτέρων προσεύρηνται τέσσαρες, πειρασόμεθα καὶ περὶ τούτων εἰπεῖν ἐπιτονώτερον, ἀκολουθήσαντες μέντοι γε τοῖς πρότερον, οἵτινες ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου ποιούμενοι τὴν μετάβασιν τρεῖς ἐξέθεντο τὰς προειρημένας --- ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος μείζονα μετροῦντες ἄλλας τρεῖς διαφερούσας τῶν πρώτων.

45 Ὅταν μὲν γὰρ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώτου ὅρου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, τὴν μεσότητα ὑπεναντίαν τῇ ἁρμονικῇ καλοῦσιν.

Ὅταν δʼ ᾖ ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, ἡ μεσότης καλεῖται πέμπτη καὶ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ (τινὲς γὰρ αὐτὴν οὕτως ὀνομάζουσιν).

Ὅταν δὲ ὡς ὁ δεύτερος ὅρος ᾖ πρὸς τὸν πρῶτον, ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου, καλεῖται ἡ μεσότης ἕκτη, λέγεται δὲ καὶ αὐτὴ ὑπεναντία τῇ γεωμετρικῇ διά τὴν αὐτὴν τῶν λόγων ἀντακολουθίαν· ὡς εἶναι κατʼ αὐτοὺς μεσότητας ἕξ.

46 Ὑπὸ δὲ τῶν νεωτέρων, ὡς εἴπομεν, ἄλλαι τέσσαρες τὸν ἀριθμὸν εὑρέθησαν πῆ μὲν συμφερόμεναι, κέχρηνται δὲ καὶ ὅροις ἰδίοις οἱ ταύτας εὑρόντες νεώτεροι· καλοῦσι γὰρ τὴν μὲν τοῦ πρώτοῦ ὅρου παρὰ τὸν δεύτερον ὑπεροχὴν πρώτην, τὴν δὲ τοῦ δευτέρου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν δευτέραν, τὴν δὲ τοῦ πρώτου παρὰ τὸν τρίτον ὑπεροχὴν [*](4. ΙΗ A1 in marg. (S), om. B 5. ταῖς ἐξαυταῖς A, ταῖς ἓξ αὐταῖς BS, corr. Hu 5. 6. ἄλλας — προσευρῆσθαι τέσσαρας AB, corr, Hu nam προσευρῆσθαι συμβαίνει τέσσαρας alienum videtur a Pappi usu) 9—11. lacunam statuit et verba ἀπὸ — πρώτων interpolatori tribuit Hu (conf. p. 87 adnot. 1) 14, τὴν om. S 17. πέμπτη Hu auctore Co pro πέμπτον 21. αὐτὴ S, αυτῆι (sine spir.) A, αὐτῇ B1, αὔτη voluit αὕτη) B3 24. τέσσαρες BS, ∠ A 25. πῆ S, πῆι A,)

Καὶ ὅταν ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἑβδόμην ἐκάλεσαν.

Μένοντος δὲ τοῦ αὐτοῦ λόγου τῶν ὑπεροχῶν, ὅταν γίνηται οὕτως ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, τὴν μεσότητα ὀγδόην ὀνομάζουσιν.

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν πρώτην, ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα ἐνάτην,

Ὅταν δὲ ᾖ ὡς ἡ τρίτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν, ὁ δεύτερος ὅρος πρὸς τὸν τρίτον, τὴν μεσότητα δεκάτην ὠνόμασαν.

47 Τούτων δὴ τῶν ὅρων ὑποκειμένων τὰς γενέσεις τῶν δέκα μεσοτήτων ἐκθησόμεθα καὶ διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας, ὡς εἴπομεν. ἀναλογία δὲ συνέστηκεν ἐκ λόγων. λόγου δὲ παντὸς ἰσότης ἀρχή.

Ἡ τοίνυν γεωμετρικὴ μεσότης ἐκ τῆς ἰσότητος τὴν πρώτην λαβοῦσα γένεσιν αὐτή τε αὑτὴν καὶ τὰς ἄλλας συστήσει μεσότητας, ἐνδεικνυμένη, καθά φησιν ὁ θειότατος Πλάτων, τὴν τῆς ἀναλογίας φύσιν αἰτίαν τῆς ἁρμονίας πᾶσι καὶ τῆς εὐλόγου καὶ τεταγμένης γενέσεως· λέγει γὰρ ἕνα δεσμὸν εἶναι [*](3. τοῦ ante τρίτου repetit A, corr. BS 5. ἕβδομον AB1S, corr. B4 7. 8. ὅταν γίνηται οὕτως Hu, in A octo fere litterae, chartae fragmento superducto, legi non possunt, quam lacunam sequuntur κατ᾿ αὐτοὺς ὁ πρῶτος etc., unde lacuna et tum eadem scriptura repetita est in BS 8. ὅρος add. Hu 8. 9. τὴν μεσότητα ὀγδόην] τὴν μ, tum undecim fere litterae eo quo statim diximus modo deletae in A, τὴν αὐτὴν μεσότητα ὀγδόην B, τὴν μεσότητα ὄγδοον S 11. ενατον (sine spir. et acc.] A, corr. B (in quo ab alia manu ἔννατον scriptum erat. sed id rursus deletum), ἔννατο S 47. ἀναλογία — 18 ἀρχή, manifestum interpretamentum, quod ex Procli commentario in Platonis Timaeum p. 342 ed. Schneider. repetitum esse videtur, del. Hu 20. αυτη τε αυτὴν A, corr, B (αὕτη τε αὐεὴν S) συνίσταται coni. Hu (constituit Co) 23. λέγει γὰρ — p, 88, 2 φύσις priorum verborum paraphrasim conlinent fortasse ab interpolatore scriptam)

48 Τρεῖς ἀνάλογον ἔστωσαν ὅροι οἱ Α Β Γ καὶ συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Γ μετὰ β΄ τῶν Β ἴσος ἐκκείσθω ὁ ∠, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ὅροι ἀνάλογόν εἰσιν.

Ἐπεὶ γάρ ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ὁ ΑΒ πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ ΒΓ πρὸς τὸν Γ· καὶ πάντες ἄρα οἱ ἡγούμενοι πρὸς πάντας τοὺς ἑπομένους εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ὡς συναμφότερος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ. καὶ ἔστιν συναμφοτέρῳ μὲν τῷ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ ἴσος ὁ ∠, συναμφοτέρῳ δὲ τῷ Β Γ ἴσος ὁ Ε, καὶ τῷ Γ ὁ Ζ· καὶ οἱ ∠ Ε Ζ ἄρα ἀνάλογόν εἰσιν ἐν τῷ συναμφοτέρου τοῦ Α Β πρὸς τὸν Β λόγῳ.

49 Διόπερ ἴσων μὲν ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ οἱ ∠ Ε Ζ ἐν τῇ διπλασίᾳ γένοιντʼ ἂν ἀναλογίᾳ· συναμφότερος γὰρ ὁ Α Γ μετὰ δύο τῶν Β διπλάσιος συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, συναμφότερος δὲ ὁ Β Γ τοῦ Γ διπλάσιος· τῶν δὲ Α Β Γ ἐν τῇ διπλασίᾳ ἀναλογίᾳ ὑποκειμένων, μεγίστου μὲν ὄντος ἐν αὐτοῖς τοῦ Α οἱ ∠ Ε Ζ ἔσονται ἐν τῇ τριπλασίᾳ, ἐλαχίστου [*](1. μαθημάτων] immo γεννημάτων Hu 4. πρὸσ|θεωρήθεντος A1 ex πρὸσ|θεωρήματος, πρὸς θεωρηθέντος B1, corr. B3S 5. συναμφοτέρων AB1, corr. B3S 6. τῶι ΑΓ AS, distinx. B 7. δὲ τῷ β γ, B, δὲ τῶι Β AS 9. ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Γ, omissis reliquis, AB1S, corr. B4 Co 10. ὡ συναμφότερος A, corr. BS 11. ὁ βγ B3 in rasura S, τὸ ΒΓ A 12. 13. εἰσὶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ forsitan interpolator addiderit; conf. tamen infra cap. 53 13. ὁ ante συναμφότερος additum in ABS, del. Hu ὁ ΑΒ — τοῦ ΒΓ ABS, distinx. Hu (item posthac) 14. τὸν βγ (ante οὕτως) BS, τεῦ ΒΓ A 15. τῶι ΑΒ ABS (sed statim posthac recte A τοῦ Β Γ), 16. δὲ τῷι ΒΓ AS, distinx. B 18. ἐν τῷ — λόγῳ del. Hu τοῦ ΑΒ AB, distinx. B λόγῳ om. S 19. Διόπερ ἴσον etc.] De hoc cap. 49 idem iudicandum esse videtur quod supra)

50 ιθ΄. Η ἁρμονικὴ μεσότης διὰ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται καὶ τῆς ἰσότητος ἐν τῇ τάξει τῆς ἀναλογίας διαφόρως κἀνταῦθα κἀν τοῖς ἑξῆς παραλαμβανομένης. ὑποκείσθωσαν ὅροι τρεῖς ἀνάλογον οἱ Α Β Γ, καὶ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἐνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠ δύο δὲ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν ἁρμονικὴν ποιοῦσι μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ ἀνάλογόν εἰσιν οἱ Α Β Γ, ἔσονται καὶ ὡς δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως δύο οἱ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας δύο οἱ Α μετὰ τριῶν τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ πρὸς τοὺς Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ [*](1. συναμφότερος BS, συναμ| A reliquis obductis ὁ ΑΒ AS, ὁ β γ B 2. Α τοῦ Β Co pro ὁ τοῦ Α 3. δὲ η ΘΑ τοῦ Β A (et B1, ut videtur), δὲ ὁ τοῦ Β B4, δὲ θα τοῦ β S, corr. Hu auctore Co καὶ ὁμοίως ἀπὸ coni Hu 5. εἶεν οἱ B4S, εἶναι A ∠ (ante Β Γ, ἡ κατὰ) A, corr. BS 7. τοῖς δ β α B3 in rasura, τοῖς ∠Ν ΑΓ AS 8. ΙΘ A1 in marg. (S), om. B διʼ S 9. οὕτω hoc loco etiam A, sicut BS fere constanter ante consonas 9. καὶ τῆς — 44. παραλαμβανομένης interpolatori tribuit Co 10. κἀν Hu pro καὶ 11. παρα λαμβανομένης AB3, παραλαμβανομένοις B1S 12. οἱ ΑΒΓ A, distinx. BS 13. τρισὶ τοῖς δύο AB1 cod. Co, corr. B3S Co Γ (aute ἴσος) A2 in rasura quattuor litterarum 14. δυσὶ δὲ τοῖς B 17. οἱ ΑΒ Γ A, distinx. BS 20. δύο οἱ α B Co, δύο ὁ ΙΑ A (δύο ὁ εα cod. Co, δύο οἱ εα S) 23. μετὰ τοῦ — p. 92, 1 οἱ Α om. AB1S, add. B4 in marg. (eadem in suo codice legisse videtur Co))

51 κ΄. Ἡ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντία μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ὅρων ἀνάλογον ὑποκειμένων τῶν Α Β Γ δύο μὲν τοῖς Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, δύο δὲ τοῖς Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ ὁ Ε, ἑνὶ δὲ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν εἰρημένην ποιοῦσι μεσότητα.

Πάλιν γὰρ ὁμοίως τοῖς προδεδειγμένοις ἔσται ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως δύο οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β. καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α μετὰ τοῦ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν δύο οἱ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή. εἷς δὲ ὁ Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπιρέχουσι δύο οἱ A καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ δύο τῶν Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν ∠, οὕτως ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὕπερ ἐστὶ κατὰ τὴν μεσότητα τὴν τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίαν. δῆλον δʼ ὅτι καί, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ, εἴη ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς ἡ μεσότης τοῖς Ϛ΄ ε΄ β΄. ἡ αὐτὴ καταγραφή.

52 Ἡ πέμπτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθωσαν ἀνάλογον ὅροι τρεῖς οἱ Α Β Γ, καὶ ἑνὶ μὲν [*](2. τῶν ∠Ε A, distinx. BS 3. ὑπεροχῆε ἐστιν AB1S, corr. B3 4. τοῦ ΒΓ AS, distinx. B τῶν ΕΖ A, ditinx. BS, item paulo post vs. 6 7. λέγοιτα μὲν ἐλαχίστοις A, corr. BS 9. Κ A1 in marg. (S), om. B 40. οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) ὅρων Hu auctore Co pro τῶν 11. δύο μὲν B1S, λυομεν (sine acc.) A, δυσὶ μὲν B3 11. 12. τῶι Γ ὁ Ε ἴσος A, sed Ε del. prima m. 15—17. ὡς ὁ ///////////| οἱ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β καὶ εἰσὶν δύο μὲν οἱ Α ///////////)

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ τοῦ Β πρὸς τὸν Β, οὕτως ὁ Β μετὰ τοῦ Γ πρὸς τὸν Γ, ἔσται καὶ συναμφότερος ὁ ἡγούμενος ὁ Α Β μετὰ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ πρὸς τὸν ἑπόμενον συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β. καὶ ἔστι συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ε Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ τρεῖς οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ δύο τῶν Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή· ὡς ἄρα ὁ Ζ πρὸς τὸν E, οὕτως ἡ τῶν ∠ E ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὅπερ τῇ πέμπτῃ συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ λέγοιτʼ ἂν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς ε΄ δ΄ β΄, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ. ἡ αὐτὴ δὲ καταγραφή.

53 Ἡ ἕκτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. ἐκκείσθω ἡ αὐτὴ τῶν Α Β Γ ὅρων ἀναλογία, καὶ ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ τρισὶ τοῖς Β καὶ δύο τοῖς Γ ἴσος ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ Ε, ὁ δὲ Ζ ἔστω ἡ ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχει συναμφότερος ὁ ΑΒ τοῦ Γ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ τὴν προκειμένην ποιοῦσι μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ διὰ τὴν ἀναλογίαν ἐστὶν ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β πρὸς συναμφότερον τὸν Α Β, οὕτως ὁ Β μετὰ δύο τῶν Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, καὶ πάντες οἱ ἡγού- [*](2. καὶ δυσὶ (δύο Hu) τοῖς — τῷ β add. B4 (Co) 3. πέμπτην S, Ε AB 5. ὁ α B2S, ἡ Α B1S 6. ὁ Β (ante μετὰ τοῦ Γ) A1 ex ὁ Α 7—9. ὁ ΑΒ — τοῦ ΒΓ — τὸν ΒΓ etc. AS, distinx. B 7. 8. συναμφοτέρου τοῦ Hu, τοῦ συναμφοτέρου AB1S, τοῦ συναμφοτέρου τοῦ B3 10. πρὸς τὸν β add. B4 12. τῶν Ε Ζ Co, τῶν ∠Ε A, τῶν δ ε BS 12. ὁ δὲ Β — 14 τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ε ὑπεροχή om. B1 (add. B3) 12. ᾗ B3, ὡς AS 13. τρεῖς Β AS, δύο οἱ β B3 14. τῶν ∠Ε (post τπθτέστομ ἡ) A, distinx. S, τῶν ε ζ B3 cod. Co 15. ὡς ἄρα — ὑπεροχὴ add. Co, ὡς ἄρα ὁ ε πρὰς τὸν ζ. οὕτως ἡ τῶν δ ε ὑπεροχὴ add. B3 cod. Co 16. τῶν ΕΖ et 17. τοῖς Ε∠Β A, distinx. BS 18. ἡ αὐτὴ)

55 κβ΄. Ἡ ἐνάτη μεσότης δι᾿ ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. τῶν Α Β Γ ἀνάλογον ὑποκειμένων ἑνὶ μὲν τῷ Α καὶ δύο τοῖς Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, ἑνὶ δὲ τῷ Α καὶ ἑνὶ τῷ Β καὶ ἑνὶ τῷ Γ ὁ E, ἑνὶ δὲ τῷ B καὶ ἐνὶ τῷ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ζ τὴν ἐνάτην περιέχουσιν μεσότητα.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, οὕτως συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, καὶ πάντες πρὸς πάντας, ὡς ὁ Α μετὰ δύο τῶν Β καὶ τοῦ Γ πρὸς συναμφότερον τὸν Β Γ, τουτέστιν ὡς ὁ ∠ πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, ἀλλὰ συναμφότερος μὲν ὁ Α Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ συναμφοτέρου τοῦ Β Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β ὑπεροχή ἐστιν ᾗ ὑπερέχει εἷς ὁ Α καὶ δύο οἱ Β καὶ εἷς ὁ Γ ἑνὸς τοῦ Α καὶ ἑνὸς τοῦ Β καὶ ἑνὸς τοῦ Γ, [*](2. Α Β οὕτως — 3. συναμφότερον τὸν om. AB1S, add. B4 (Co) 6. συναμφότερον τὸν ΖΕ AB1S cod. Co, corr. B3 (Co) 9. τῶν ∠Ζ A, distinx. BS 9. 10. ὁ ΑΒ AS, distinx. B 12. τῶν ∠Ε A. distinx. BS 12. 13. πρὸς τὸν Ζ ἡ τῶν ∠Ε ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ∠Ζ ὑπερ AB1 (item S cod. Co, nisi quod pro ∠Ζ S habet δ ε ζ et cod. Co α ζ), corr. B3 (Co) 15. τοῖς Η ∠ Γ AB1S cod. Co, corr. B3 (Co) 16, ΚΒ A1 in marg. (S), om. B ενάτη A(B1), ἐννάτη B3S διʼ add.)

56 κγ΄. Ἡ δεκάτη μεσότης ἐκ τῆς ἀναλογίας οὕτως συνίσταται. πάλιν τριῶν ἀνάλογον ὄντων τῶν Α Β Γ τοῖς μὲν Α Β Γ ἴσος ἔστω ὁ ∠, τοῖς δὲ Β Γ ὁ Ε, τῷ δὲ Γ ὁ Ζ· λέγω ὅτι οἱ ∠ Ε Ζ κατὰ τὴν δεκάτην εἰσὶ μεσότητα.

Ἐπεὶ γὰρ ὡς συναμφότερος ὁ Β Γ πρὸς τὸν Γ, τουτέστιν ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως συναμφότερος ὁ Α Β πρὸς τὸν Β, καὶ ἔστιν συναμφότερος ὁ Α Β ὑπεροχὴ ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Α Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχή, ὁ δὲ Β, ᾗ ὑπερέχουσιν οἱ Β Γ τοῦ Γ, τουτέστιν ἡ τῶν Ζ ὑπεροχή, ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Ε πρὸς τὸν Ζ, οὕτως ἡ τῶν ∠ Ζ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν Ε Ζ ὑπεροχήν, ὃ τῇ δεκάτη συμβέβηκεν μεσότητι. καὶ ποιοῦσιν αὐτὴν ἐλάχιστοι ἀριθμοὶ οἱ γ΄ β΄ α΄, μονάδων ὑποτεθεισῶν τῶν Α Β Γ.

57 Ἔκκεινται δὲ τοῦ προχείρου χάριν καὶ οἱ ἀριθμοὶ ἑξῆς, καθʼ οὓς ἕκαστος ὅρος τῆς ἀναλογίας πολλαπλασιαζόμενος ποιεῖ μεσότητα ἑκάστην, καὶ παράκεινται οἱ ἐλάχιστοι περιέχοντες αὐτάς. οἷον ἐπὶ τοῦ τῆς ἕκτης μεσότητος πλινθίου ὁ μὲν πρῶτος στίχος ὁ α΄ γ΄ β΄ σημαίνει τοῦθʼ ὅτι ὁ πρῶτος ὅρος τῆς ἀναλογίας ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος τρὶς καὶ ὁ τρίτος δὶς συντεθέντες τὸν πρῶτον τῆς μεσότητος ὅρον ὁ δὲ δεύτερος τοῦ πλινθίου στίχος ὁ α΄ β΄ α΄ σημαίνει ὅτι ὁ πρῶτος τῆς ἀναλογίας ὅρος ἅπαξ καὶ ὁ δεύτερος δὶς καὶ ὁ τρίτος ἅπαξ τὸν δεύτερον ὅρον ἀποπληροῦσι τῆς μεσότητος. ὁ δὲ τρίτος τοῦ πλινθίου στίχος ἐπὶ μὲν [*](3. ενάτης (sine spir.) A, ἐνάτης B, ἐννάτης S 5. ἡ αὐτὴ καταγραφή del. Hu 6. κγ΄ add. S οὕτω ABS (conf. ad p. 90, 9) 8. τοῖς δὲ ΒΓ A, distinx. BS (paulo ante τῶν Α Β Γ et μὲν Α Β Γ recte etiam A) 9. οἱ ∠ΕΖ A, distinx. BS 10. ὁ ΒΓ AS, distinx. B, ac similiter posthac 13. οἱ ΑΒΓ — τῶν ∠Ζ A, distinx. BS, ac similiter posthac 24. μεσότητας A(S), corr. B 22. σἷον Hu, ut Co pro ὁ τὸν 23. ὁ α γ β B3, ὁ ΑΒΓ AB1S 24. τρὶς S. τρεῖς AB)

58 κδ΄. Τὸ δὲ τρίτον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν γωνίαν, καὶ διήχθω τις ἡ Α∠, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ε, καὶ δίχα τμηθείσης τῆς ΕΑ κατὰ τὸ Ζ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΖΓ δεῖξαι συναμφοτέρας τὰς ∠ΖΓ δύο πλευρὰς ἐντὸς τοῦ τριγώνου μείζονας τῶν ἐκτὸς συναμφοτέρων τῶν ΒΑΓ πλευρῶν.

Καὶ ἔστι δῆλον. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΓΖΑ, τουτέστιν αἱ ΓΖΕ, τῆς ΓΑ μείζονές εἰσιν, ἴση δὲ ἡ ∠Ε τῇ ΑΒ, αἱ ΓΖ∠ ἄρα δύο τῶν ΓΑΒ μείζονές εἰσιν.

59 Ἦν δὲ τὸ προκείμενον ὑγιέστερον προτεῖναι καὶ οὕτως. ὀρθογωνίου τυχόντος ὑποκειμένου τοῦ ΑΒΓ λαβεῖν τι σημεῖον ἐντὸς τοῦ τριγώνου, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ δύο εὐθείας ἀγαγεῖν, μίαν μὲν τέμνουσαν τὴν ΒΓ, τὴν δὲ λοιπὴν ἐπὶ τὸ Γ ἐρχομένην, ὥστε συναμφοτέρας μείζονας εἶναι τῶν ἐκτός, [*](2. καὶ ante ληφθέντος add. S 3. ἐκ τῆς τρίτης (scil. μερίδος) Hu, εκτης (sic) A(B1), ἐκτὸς B3, ἐκ S οἱ Η ∠ Α AB1S, corr. B3 4. ὡς γὰρ — 42. λόγον interpolatori tribuit Hu 5. τέσσαρες S, ∠ AB 7. ἓξ BS, Ϛ A ὑπεροχὴν A, ν erasum in B, et abest a S 10. post ἑκάτερος add. τὴν μίαν A1, expunx, A2 ἑκατέρου alius quidam interpolatis iam verbis imperite inseruit 14, κδ΄ add. S 15. 16 τὴν Β γ//////// δι|ήχθω τίς A 17. δίχα τμηθείσης B4 Sca, διχὰ τμ/////// A, tot fere litterarum lacuna in B1S 18. δεῖξαι συνπμ-)

60 κε΄. Ἐν παντί τριγώνῳ, πλὴν τοῦ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσοσκελοῦς τοῦ τὴν βάσιν ἐλάσσονα τῆς πλευρᾶς ἔχοντος, δυνατόν ἐστι συσταθῆναί τινας ἐπὶ τῆς βάσεως ἐντὸς δύο εὐθείας ἴσας ταῖς ἐκτὸς ὁμοῦ λαμβανομέναις. Ἔστω πρότερον ἀνισοσκελὲς τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μείζονα ἔχον τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ, καὶ τετμήσθω συναμφότερος ἡ ΑΒΓ δίχα κατὰ τὸ ∠, καὶ εἰλήφθω μεταξὺ τῶν ∠ Β τυχὸν σημεῖον τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Η, καὶ τῇ ΕΑ παράλληλος ἡ ΗΘ καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΓ ἐκβεβλήσθω. ἐπεὶ μείζονες αἱ μὲν ΕΒΖ τῆς ΕΖ αἱ δὲ ΓΖΗ τῆς ΓΗ, συναμφότερος ἔρα ἡ ΕΒΓ μετὰ τῆς ΗΖ μείζονές εἰσι συναμφοτέρων τῶν ΕΖ ΗΓ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΖΗ· μείζων ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΕΒΓ συναμφοτέρου τῆς ΕΗΓ, καὶ μᾶλλον τῆς ΗΓ. ἔστω συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση ἡ ΗΛ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Η διὰ τοῦ Λ γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΛΚΟ· τέμνει δὴ ἑκατέραν τῶν ΓΘ ΘΗ, ἐπεὶ ἡ ΑΕ, τουτέστιν ἡ ΘΗ, [*](1. ὁ προταθείς (is cui problema propositum est?) iure suspectum videatur et ab interpolatore additum, qui verbi ἀποδείξῃ subiectum cogitatione suppleri non intellegeret τυχοῦσαν τῆι Α∠ AB1S, corr. B4 2. θεὶς] ὁ εισ A, ὁ εἷς B1S, θεῖς B3 2. 3. κατὰ Ζ A, τὸ add. BS 5. ἀλλ᾿ ὅτι Hu pro ἀλλὰ 8. ἐρυκειν ουπροτείνοντας A, ἐρυκείνου προτείνοντας B1S, ἐρυκείνου προτείνοντος B3, corr. Hu 10. κε A1 in marg. (S), om. B 16. τῶν ∠Β AS, distinx. B 18. τῆν Ε Α A, coniunx. BS 49. ἐπιζευχθεῖσα* ἡ Η Γ A2 ex ἐπιζευχθεῖσα** Η Γ μὲν add. Hu 24. τῶν ΕΖΗΓ A, distinx. BS 24. κέντρον τὸ Ν AV1, corr. BSV2 26. ἑκατέραν τῶν γθ θη B4 (Co), ἑκα|τερ//////// A, ἑκατέ . . . . . . . . . η B1, ἐκατέρων τῶν . . . . S, ἑκατέραν τῶν ΑΓ ΗΘ Sca)

Ἔστιν δὲ φανερόν· ἡ μὲν γὰρ ΗΘ τῇ ΑΕ, ἡ δὲ ΚΗ τῇ ΗΛ, τουτέστιν συναμφοτέρῳ τῇ ΕΒΓ ἴση, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς.

61 κϚ΄. Ἔστω δὴ νῦν ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τὴν μὲν ΑΒ ἴσην ἔχον τῇ ΒΓ, τὴν δὲ ΑΓ μείζονα ἑκατέρας αὐτων, καὶ περὶ κέντρον τὸ Α διὰ τοῦ Β γεγράφθω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΕ∠, καὶ διήχθω τις ἡ ΑΕΖ τέμνουσα τὴν ΒΓ ἐκτὸς τῆς περιφερείας, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΕΖ τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΗΘ, καὶ ἐπʼ αὐτῆς τυχὸν τὸ Κ, καὶ τῇ ΑΖ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΓ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Μ, καὶ τῇ ΕΗ ἴση ἀφῃρήσθω ἡ ΒΝ· ἔσται οὖν ἡ ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΚΛ, ἴση συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, καὶ λοιπὴ ἡ ΝΓ ἐλάσσων τῆς ΚΛ. καὶ ἐπεὶ αἱ μὲν ΘΖΗ τῆς ΘΗ μείζονές εἰσιν, αἱ δὲ ΓΘΚ τῆς ΓΚ, συναμφότεροι ἄρα αἱ ΓΖΗ μετὰ τῆς ΘΚ μείζονές εἰσιν συναμφοτέρων τῶν ΓΚ ΗΘ. κοινὴ ἀφῃρήσθω ἡ ΘΚ· λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΓΖΗ μείζων τῶν ΓΚΗ. κοινὴ προσκείσθω ἡ ΑΗ· συναμφότεροι

Ἔστι δὲ φανερόν. ἡ μὲν γὰρ ΚΛ ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΑΒΝ, ἡ δὲ ΚΞ τῇ ΚΜ, τουτέστιν τῇ ΝΓ, καὶ γίνεται ἀπειραχῶς.