Synagoge

21 τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημέτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες, ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν ὡς δεῖ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλαβόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτήδειον ἤγαγον, ὡς ἔστιν ἰδεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων αὐτοῖς συνταγμάτων, λέγω δʼ ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσολάβῳ [*](1. τὰ] τά τε coni, Hu 18. εἰς τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν κατασκευὴν Co, corr. Hu 19, βεβιασμένην AS, sed litterae βεβι vix perspicuae in A, μεταπλασμένην B, κατασκευασμένην cod. Paris, 2369, transmutabilom Co 20. τυγχά ////////////// καὶ Α τυγ. .......... καὶ B1, τυγχάνουσιν αἱ ...... καὶ B3, τυγχάνουσι ....... καὶ S, ἕλικες add. Co κοχλοεισυμφώνως)

22 ἐκθησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευάς μετά τινος ἐμῆς ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον, δευτέραν δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτονεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ’ ἡμῶν ἀνευρημένην. στερεοῦ γάρ παντὸς ἕτερον στερεόν, ὅμοιον τῷ δοθέντι, κατασκευάζεται πρὸς τὸν δοθέντα λόγον, ἐὰν δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές ἀνάλογον ληφθῶσιν, ὡς Ἥρων ἐν μηχανικοῖς καὶ καταπαλτικοῖς.

23 Ἔστω οὖν πλινθίον πεπηγὸς τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἐν αὐτῷ τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα τὰ ΑΕΘ ΜΖΚ ΝΗΛ ὀρθὰς ἔχοντα τάς πρὸς τοῖς Ε Ζ Η γωνίας, καὶ τὸ μὲν ΑΕΘ προσπεπηρὸς μενέτω, τὸ δὲ ΜΖΚ τὴν κίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΜΖ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος φέρεσθαι ἔχοντος σωλῆνα διʼ ὅλου, τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κ [*](4. — 7. καλουμένων interpolatori tribuit Hu 7. λέλυκε Hu pro καὶ λόγων κοχλοειδοῦς A1 ante rasuram, κογχλοειδοῦς B1, κογχοειδοῦς A2B3S 8. γραμμῆς B et S correctus [incertum an a Scaligero), γραμμικῆς AS1} 10. τὴν ante Ἐρατ. om. AΒ, add. S 11. τὴν περὶ τὸν νικομήδη S 14. στερεοῦ — 17. καταπαλτικοῖς] nec falsum est hoc theorema nec suspecta Heronis, qui citatur, auctoritas, tamen haec interpretamenti loco ab aliena man addita esse apparet 14. στερεοῦ παντὸς interpolator ex ἕτερον suspensa esse voluit (στερεοῦ γὰρ δοθέντος coniecerat Hu, στερεοῦ γὰρ παντὸς δεδομένου Co) 15. τῶν del. Hu 18. τὸ AB Γ∠ A, coniunx. BS 19. ἴσα A2 ex ῖ*α μζκ νηλ B3V2, ΜΖ ΚΜΗΛ Α, μζκ μηδ S. μζκ μηλ B1 20. τὰ πρὸς AB1, corr. B3S 21. ἐπὶ om. AB1S, add. B4V2 V2 Co 23. σωλῆνα Sca, σωληνίσκον Hu, octo fere litterae eyanidae in A, laune in BS)

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΑΡ πρὸς ΠΡ, καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΠΚ, καὶ ἡ ΘΡ πρὸς ΡΚ, καὶ ἡ ΠΘ πρὸς ΟΚ, καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ΡΟ, καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ, καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ, καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ τῶν ΑΓ ΛΞ ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν. καὶ ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς ΛΞ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς ΠΘ κύβου. εἰ δʼ ἄλλον τινὰ λόγον ἔχει ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον, ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ καὶ τὰ λοιπά ὁμοίως κατασκευάζειν. καὶ ἐκ τούτου φανεφὸν ὅτε ἀδύνατόν ἐστι τὸ προκείμενον διὰ τῶν ἐπιπέδων λύεσθαι.

24 η΄. Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Γ∠ ∠Α δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Λ Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Λ∠ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ [*](1. γδ κανόνος Sca et καὶ αὐτοῦ Hu, //////////// του A, post lacunam τοτ Β, τοῦ Σ 2. γηλ B3 in rasura, ΝΛΜ AS, γλη V2 Sca 3. κατὰ Sca. per Co, καὶ ABS 4. ὅταν βούληταί — 5. ποιῆσαι, ἡμίσειαν ἀπολαμβάνων τῆς ΑΓ τὴν ΛΞ coni. Hu 6. ΜΖ ΚΝΗΛ A, corr. BS 7. τὸ ΛΞ et 8. ταῖς ΠΟ A, distinx. BS 13. πρὸς ΠΚ] πρὸς ΚΗ AS, πρὸς κπ B, corr. V2 Sca 14. πρὸς ΟΚ] πρὸς ΘΚ AB1S, corr. B2V2 Sca πρὸς ΡΟ] πρὸς ΡϹ ABS, corr. B3V2 Sca 16. αἱ ΠΘ ΟΚ] αἱ ΗΘ ΕΚ AS, αἱ πθ εκ B1, corr. B3V2 Sca 19. ἔχοι ὁ κύβος Hu)

Ἐπεὶ γάρ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΓΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓρ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ. τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Μ∠ πρὸς ∠Κ, ὡς δὲ ἡ Μ∠ πρὸς ∠Κ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως BΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστιν τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΛ, τῆς δέ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΓΚ οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους [*](1 ante τῇ ΒΓ, ut plurimis aliis locis, cogitatione addendum est ἤχθω, quod ne forle in contextum inserendum esse putes, conf. etiam infra IV propos. 24 3. ἡ ante ΓΘ om. A1, add. A2BS 8. τῇ ΑΛ η τῇ ΓΖ] pro η coni. τουτέστιν Hu 10. ἐδείχθη] demonstratum hoc esse a Nicomede, non a se ipso Pappus dicere voluit; aliter autem idem ἐδείχθη infra sonat IV cap. 43 11. κοχλοειδοῦς A1, κογχλοἐπεὶ)

25 θ΄. Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα, πῶς ἐστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. ἐκθησόμεθα δέ” φησιν “τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.”

26 Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ ∠Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΓΑ, καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ καὶ κινείσθω [*](2. καὶ — 3. ἡ ΑΛ interpolata esse putat Hu, quamvis eadem infra IV cap. 43 et apud Eutocium redeant 3. ἡ ΑΛ] ἡ Α∠ AS, corr. B Sca 7. 8. τὸ ἀπὸ ΑΛ A1, tum post exitum versus 𝒢` [i. e. ἴσον) τῶι et ante mutium proximi versus ἀπὸ ΓΖ. ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ adscripsit A2, porro τῆι ΓΖ ἴσον ἄρα καὶ cel. A1 14. Θ A1 in marg. (S), om. B 17. ὃ ante ἐκθησόμεθα add. ABS, del. Hu 20. ἀλλήλαις B3S, ἀλλήλας A, om. B1 21. τὸ ΑΒ ΓΛ Α, coniunx. BS 22. ἐπεζεύχθωσαν BS, in A manui secunda [an alia recentior?) in particula membranarum antiquae Scripturae superducta scripsit ἐπεζεύχθκω, tum initio proximi versus sequitur σαν pr. m. exaratum 22. αἱ ΛΒ Γ∠ Α, corr. BS 23. B σημείῳ] octo decemve litterarui spatium inductum in A, β . . . . . . . B Sca, β σημείω B4, om. S)

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ∠Η ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ∠Η τῇ ΑΗ, καὶ διῆκται ἡ ΗΖ, τὸ άρα ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ ΗΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ. ὦν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠ΖΑ· ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ, ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ· τῶν ἄρα ΑΒ ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ ΓΕ.

27 ι΄. Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου καὶ καθʼ ἡμάς, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα.

Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ∠Β, καὶ κινείσθω κανόνιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β Γ. τούτων δὴ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα. καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β∠ πρὸς ∠Ε καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ. λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ∠Β πρὸς ∠Ε.

Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ Κ∠ τῇ ∠Λ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ (καὶ γὰρ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΑ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΜΗ, ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ, καὶ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ). κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ [*](2. ἡ ∠Β Hu pro ἡ Β∠ collato VIII, 26 et Eutocio 6. τῶν ΒΓ Α, distinx. BS, itme vs. 10 10, ἕως οὗ τὸ in A paene evanuerunt 11, 12. τὸ μεταξὺ A, corr. BSV2 19. ἐπι| ζεύχθω A, corr. BS 21. 22. ἐπεζεύχθω δὴ Pappus infra VIII cap. 26 et Eutocius 23. post ἐν ἡμικυκλίῳ add. γὰρ B3, οὖσα Hu 25. καὶ γὰρ ὡς — 28. ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ om. Pappus VIII cap. 26 et Eutocius 29. ὁ ante λόγος additum in ABS del. Hu τοῦ add. B3)

28 ια΄. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβών τὸ ∠, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγών τῇ ΕΓ τὴν ∠Β, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ, καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὸν ἀπὸ τοῦ ∠ τὴν ∠Ζ, τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἀπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκτεθεῖσθαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν, τὴν δὲ ∠Β μέσην γεωμετρικήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν.

Ὅτι μὲν οὖν ἡ Β∠ μέση ἐστὶ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἡ δὲ ΕΓ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι, φανερόν. ἐστι γὰρ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, ἡ ∠Β πρὸς ∠Γ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ἑαυτήν, οὕτως ἡ τῶν Α∠ ΑΕ ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν Α∠ ΕΓ, πρὸς τὴν τῶν ΕΓ Γ∠. πῶς δὲ καὶ ἡ ΖΒ μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς [*](1. τοῦ ante τῆς ΑΜ et 3. ante ἀπὸ τῆς ΑΜ add. Hu 4. τοῦ ante τοῦ ἀπὸ add B3 7. ἄρα πρὸς τὴν B3 Sca, ἄρα πρὸς τῆι A(S), omisit et haec et alia B1 14. ἐὼν οὖν et cetera om. Pappus l. c. et Eutocius 15. τὴν δν B3 V2 pro τὴν ΑΜ (ad DX Co) 16. τῶν ∠Μ AB1S S, corr. B3 Sca Co αἱ ∠Θ ∠Η AB1S, corr. B3 17. ΙΑ)

29 Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων καὶ μετὰ ταῦτα περὶ τῶν ἐν ἡμικυκλίῳ, εἶτα περὶ τῶν ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν κατὰ τούς παλαιούς, καὶ ὕστερον περὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούθως ταῖς γνώμαις αὐτων, καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν, ἵνα καὶ τὸν προκείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συστησώμεθα.

Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων.

30 ιβ΄ Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μέν ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρική, ἡ δὲ ἁρμονική.

Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ πρὸς τὸν θ΄ καὶ τὸν γ΄ ἀριθμόν), ἢ ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. πρῶτα δὲ ἀκούειν δεῖ τὰ ὑπερέχοντα.

Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως, ὅταν ἦ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων, οὕτως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ ἀριθμὸς πρός τε τὸν ιβ΄ καὶ τὸν γ΄), καὶ ἄλλως: ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Ἁρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης, ὅταν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῳ μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ γ΄ ἀριθμὸς πρὸς τε τὸν β΄ καὶ τὸν Ϛ΄), ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὄρος πρὸς τὸν τρίτον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Τούτων ὑποκειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τάς τρεῖς μεσότητας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριθμὸν προγραφέντων τῶνδε.

31 Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν.

Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ Γ∠, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ ∠, καὶ τῇ τὰ Β ∠ ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃήσθω ἡ ΒΖ, καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ∠Α ὀρθὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΒΕ ΕΑ τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ ∠ Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή. καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠, καὶ διὰ τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ∠Β, ἡ Β∠ πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ ἡ Β∠ ἴση τῇ ΒΖ.

32 ιγ΄. Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα ἄκραν λαβεῖν.

Τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γεγράφθω, καὶ αὕτη τετμήσθω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὶ κέντρον τὸ Β γραφομένης περιφερείας κατὰ τὸ ∠, καὶ κάθετος ἤχθω [*](3. Ϛ B3 pro ∠ (idem tacite corr. Co) 15 τὰ Β∠ AS, distinx. B 19. τὰ ∠Ε ABS, distinx. Hu 24. πλευραὶ B3 pro πλευρὰν (idem tacite corr. Co) 24. ιγ΄ add. Hu ἐλάττονα AB, corr. S 28. αὕτη B, αυτη sine spir. et acc. A, αὐτὴ S 29. διὰ B3 Sca, α A, α S, δ** Bt)

Καὶ φανερὸν ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ δοθεὶς τῆς ἀναλογίας λόγος ᾖ διπλάσιος, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ τετραπλασίαν εἶναι, ἡ ἴση τῇ ∠Β τιθεμένη διχοτομία ἐστὶν τῆς ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΕΒ ἐστὶν, ἐὰν δὲ μείζων ἢ διπλάσιος ὁ λόγος ἦ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἡμισείας, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ᾖ τοῦ διπλασίου, μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας.

33 Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν.

Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διά τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐτὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἐπιζευχθείσῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ· γίνεται δὴ ἡ ΑΒ. τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γάρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων.

34 ιδ΄. Πάλιν ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΑΒ ἡ ∠ΑΕ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν Α∠ τῇ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἰ Β∠ ΕΓΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ κάθετος ἐτι τὴν ΓΒ ἡ ΖΗ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ τῶν ΑΒ ΒΓ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τῶν ΓΒ ΒΗ ὑπεροχήν.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, ἡ ∠Α πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ (ἴση γάρ ἐστιν ἡ ΑΕ τῇ Α∠), καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΗ, οὕτως ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΓΗ διὰ τὸ ἰσογώνια [*](1. ἡ βγ B3 Sca Co, ἡ Βγώνια AB1S 2. κατὰ τὰ αὐτὼ del. Hu 4— 9. haec alienum a Pappo stilum produnt 4. initio notam ιγ΄ add. S 6. ἴσηι A, corr. BS τῇ om. AB1S, add. B4 Sca πρὸς διχοτομίᾳ B4 7. ἢ ante διπλ.] ἦι A1, ἢι A2 12. ἡ γδ B3 14. αὐτῆς A, corr. BS 15. κατὰ τὸ δ καὶ τῆ βδ B3 16. ἡ αδ B3 20. Ι∠ A1 in marg.. om. BS 22. εγζ B3 pro ΓΖ (idem tacite corr. Co) 23. λέγω ante ὅτι add. B4 27. 28. ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΖΗ A2 in marg. BS, om. A1)

35 Ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ ΒΗ δοθῶσιν ἄκραι, ζητῶμεν δὲ τὴν μέσην, ἐπιζεύξαντες τὴν Β∠, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες ἀπὸ τοῦ Η τὴν ΖΗ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Ε ἐπιζεύξαντες τὴν ΖΓΕ, ἕξομεν τὴν ΓΒ μέσην τῶν ΑΒ ΒΗ. καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά.

36 ιε΄. Δοθεισῶν δὲ τῶν ΕΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρήσομεν ἀπὸ τοῦ Ε πρὸς ὀρθὰς ἄξαντες τὴν ∠ΕΖ καὶ ἴσας θέντες τὰς ∠Ε ΕΖ, καὶ τὰς ΒΖ ∠Γ ἐπιζεύξαντες καὶ ἐκβαλόντες ἐπι τὸ Η. ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν BΓ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἀγομένη ΗΘ ἴσην ἀποτέμνει τῇ ζητουμένῃ τὴν ΘΒ. συμπεσοῦνται γὰρ αἱ Γ∠ ΒΖ ὡς ἐπὶ τὸ Η ἠγμέναι· δεῖ γὰρ ὑποτίθεσθαι τὴν ΒΕ μείζονα τῆς ΕΓ.

37 ιϚ΄. Δύο πάλιν δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΑΒ Γ, ὧν μείζων ἡ ΑΒ, μέσην ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ εὑρήσομεν οὕτως. κείσθω τῇ Γ ἴση ἡ ∠Β, καὶ ἡ ∠Α δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΕΒ ἴση κείσθω ἡ Ζ. καὶ φανερὸν ὅτι ἡ Ζ ἐστὶν ἡ ζητουμένη εὐθεῖα.

38 Ὁμοίως δὲ κἂν αἱ Ζ Γ δοθῶσιν, τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν προσθέντες τῇ Ζ τὴν γενομένην ἕξομεν ἴσην τῇ ΑΒ.

39 Ἤ πάλιν ἐὰν αἱ ΑΒ Ζ δοθῶσιν, ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἀπὸ τῆς Ζ ἀφαιρεθεῖσα ποιεῖ τὴν Γ τρίτην.

40 Ἔστω οὖν ἡ Ζ μέση τῶν ΑΒ Γ ἔν ἴσῃ ὑπεροχῇ· καὶ ἔσται ἀριθμητικὴ μεσότης τῶν ΑΒ Ζ Γ εὐθειῶν. γεγενήσθω δὲ καὶ ὡς ἡ Ζ πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς Η· καὶ ἔσται τῶν Ζ Γ Η εὐθειῶν γεωμετρικὴ μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως. κἂν διὰ τὸ προδειχθὲν δύο εὐθειῶν τῶν Γ Η, ὧν μείζων ἡ Γ, τὴν Θ ποιησόμεθα, ὥστʼ εἶναι ὡς τὴν Γ πρὸς τὴν Θ, οὕτως τὴν τῶν Γ Η ὑπεροχὴν πρὸς τὴν τῶν Η Θ ὑπεροχήν, ἔσται ἄρα καὶ τῶν Γ Η Θ εὐθειῶν ἁρμονικὴ μεσότης. ὁ αὐτὸς δὲ λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ, καὶ τῆς Γ πρὸς τὴν Θ, τῶν ἄκρων ὅρων ἐπί τε τῆς ἀριθμητικῆς μεσότητος καὶ τῆς ἁρμονικῆς· ἔσονται οὖν πέντε τὸν ἀριθμὸν ἐλάχισται εὐθεῖαι περιέχουσαι τὰς τρεῖς μεσότητας δυνάμεναι καὶ ἀσύμμετροι εἶναι πρὸς ἀλλήλας.