Geodaesia [Sp.]

Παντὸς τριγώνου σκαληνοῦ δοθέντος, μὴ μέντοι ὀρθογωνίου, εὑρίσκειν τὴν κάθετον. ποίει οὕτως· δεῖ δὴ πρότερον εὑρίσκειν τὰς ἐπὶ τῆς βάσεως γινομένας διὰ τῆς καθέτου ἀποτομὰς ἀνίσους οὔσας, τὴν μὲν μείζονα, τὴν δὲ ἐλάσσονα, ποιεῖν δὲ οὕτως· πολλαπλασίαζε ἑκάστης πλευρᾶς ἀριθμὸν ἀπογραφόμενος ἰδίᾳ καὶ ἰδίᾳ τάξας πρότερον τὴν μὲν τῶν πλευρῶν βάσιν, τὴν δὲ μείζονα ὑποτείνουσαν, τὴν δὲ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν· τοῦτο δʼ ἔσται σοι δῆλον, εἴπερ ὁ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἀριθμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν β πλευρῶν.

τὴν μείζονα τῶν πλευρῶν τάττε βάσιν, καὶ εἰ μὲν βούλει τὴν μείζονα εὑρίσκειν ἀποτομήν, συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως γινόμενον μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων τὰ ἡμίση μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως, καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι [*](1 ποίει οὕτως] A, ποίει οὕτω C, ἔστι καὶ ἄλλως ποιῆσαι BD. τὴν—ἐαυτήν] τὰ λ ἐφ᾿ ἑαυτά C. 2 σκε] σκε A. σύνεγγυς] ὡς σύνεγγυς γ A. καὶ—3 κϛ] om. C, καὶ ἔστι τοσοῦτον ἡ κάθετος mg. 3 πολυπλασίασον A. 4 ἐπὶ] ins. A. τὸ U+2220ʹ μέρος C. γίνεται] ABD, om. C. 5 τ𝒢—γίνεται] A, om. BCD. τοσούτων] ἑκατὸν ἐνενήκοντα πέντε A. 7 σχαλινοῦ C. 8 σκαλινοῦ C. μέντοι] μέντοι γε A. 9 οὕτω C. 11 τὴν μὲν] τουτέστι τὴν μὲν A. 12 ποίει C. οὕτω C. πολυπλασίαζε A. πλευρᾶς] π AB, πλευρῶν D. 13 ἀπογραφόμενον C, ἐφʼ ἑαυτὸν ἀπογραφόμενος A. 14 ἐλάττονα BD. 15 ὑποτείνουσαν] om. C. deinde add πλὴν εἴπερ ἐστὶ τὸ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον A. δὲ C. ἔστω BD. 18 τῶν] οὖν τῶν C. βούλει] comp. D, βούλλει B. 19 πολαπλασιασμοῦ A. 21 ἀπὸ] om. A. 22 ἐλάσσονος A. 23 U+2220″ C.)

εἰ δὲ τὴν ἐλάσσονα θέλεις εὑρίσκειν ἀποτομήν, τὸ ἀνάπαλιν ποίει· συντίθει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς βάσεως μετὰ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάσσονος ὑποτεινούσης καὶ ἀπὸ τῶν γινομένων ἀφαίρει τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης καὶ τῶν καταλειπομένων λάμβανε τὰ ἡμίση καὶ ταῦτα μέριζε παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως, καὶ τὸν ἐκ τοῦ μερισμοῦ γινόμενον γίνωσκε εἶναι τὴν ἐλάσσονα ἀποτομήν.

εὑρίσκοντι οὖν σοι τὰς τοιαύτας ἀποτομὰς ῥᾴδιον ἔσται σοι καὶ τὴν κάθετον θηρᾶσθαι· ἢ γὰρ ἀφαιρῶν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ἀποτομῆς ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἕξεις τὴν κάθετον ἢ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ἀποτομῆς ἀφαιρῶν ἐκ τοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης.

Ἔστω δὲ καὶ διʼ ὑποδείγμετος σαφηνείας χάριν τρίγωνον σκαληνόν, οὗ αἱ πλευραὶ ζ ϛ ια. τούτων τὰ ια τάττω βάσιν διὰ τὸ ἀμβλυγώνιον εἶναι τὸ τοιοῦτον τρίγωνον· ὁ γὰρ ἀπὸ ταύτης τῆς πλευρᾶς ἤγουν τῆς ἐχούσης ια πολλαπλασιασμὸς μείζων ἐστὶ τοῦ ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν λοιπῶν δύο πλευρῶν· τὰ ϛ ἐλάσσονα ὑποτείνουσαν καὶ τὰ ζ μείζονα. τούτων τῶν πλευρῶν ἑκάστην πολλαπλασιάζω ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ γίνονται βάσεως μὲν ρκα, ἐλάττονος ὑποτεινούσης λϛ, μείζονος δὲ μθ.

θέλω δὲ εὑρεῖν τὴν μείζονα ἀποτομήν. συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρο. τούτων ἀφαιρῶ τὸν πολλαπλασιασμὸν τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ λϛ· λοιπὰ [*](1 τῆς βάσεως τὴν μείζονα ἀποτομήν A, supra add. β—α—γ. ἐλάττονα C. 3 ἀπὸ τοῦ] om. C. 4 ἀπὸ] om. A. 6 U+2220″ C. 13 ἐλάσσονος A. ἐλάσσονος A. 14 ὑποτεινούσης] ὑποτεινούσης πολλαπλασιασμοῦ ἕξεις αὐτήν C. 15 διʼ] ἐπὶ A. 16 σκαλινὸν C. ϛ ζ A. 17 ὁ—19 πλευρῶν] om. C. 18 ἤγουν] A, om BC. πολυπλ/οσ A, πολλαπλάσιος BD. 19 τῶν λοιπῶν] τοῦ Λου BD. δύο] β A. 20 ϛ] δὲ ϛ τάττω C. καὶ τὰ] οὖσαν τὰ δὲ C. 21 γίνονται] A, γίνεται BCD. 21—22 μὲν. βάσεως C. 22 ἐλάττονος] ἐλάττονος δὲ C. 25 γίνονται] C, γίνεται ABD. 26 ἐλάσσονος BD. τὰ] om. C.)

εἰ δὲ θέλω τὴν ἐλάττονα εὑρεῖν πρότερον ἀποτομήν, συντίθημι τὸν τῆς βάσεως πολλαπλασιασμὸν μετὰ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ἐλάττονος ὑποτεινούσης· γίνονται ὁμοῦ ρνζ. τούτων ἀφαιρῶ τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς μείζονος ὑποτεινούσης ἤγουν τὰ μθ· λοιπὰ ρη· τούτων τὰ U+2220΄ νδ. ταῦτα μερίζω παρὰ τὸν ἀριθμὸν τῆς βάσεως ἤγουν τὰ ια, καὶ γίνονται δ καὶ ῑ ἑνδέκατα· καὶ ἔστιν ἡ ἐλάσσων ἀποτομή. λοιπὴ ἄρα ἡ μείζων ἀποτομὴ ἔσται ϛ καὶ ᾱ ἑνδεκάτου, καὶ ἔστιν ἡ τῶν ἀποτομῶν εὕρεσις ἀμφοτέρωθεν σύμφωνος.

εἶτα λαβὼν τὸν ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ἀποτομῶν καὶ ἀφαιρῶν τοῦτον ἀπὸ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ μιᾶς τῶν ὑποτεινουσῶν τῆς τῇ ἀποτομῇ ἀναλογούσης καὶ τοῦ καταλιμπανομένου τετράγωνον λαμβάνων πλευρὰν ἔχω τὴν κάθετον.