Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Scho╠łne, Teubner, 1900

[*](fol. 99v)

| Οὐ πολὺ ἀπᾴδειν νομίζομεν τὰς τῶν χωρίων διαιρέσεις τῶν γιγνομένων ἐν τοῖς χωρίοις μετρήσεων· καὶ γὰρ τὸ ἀπονεῖμαι χωρίον τοῖς ἴσοις ἴσον καὶ τὸ πλέον τοῖς ἀξίοις κατὰ τὴν ἀναλογίαν πάνυ εὔχρηστον καὶ ἀναγκαῖον θεωρεῖται. ἤδη γοῦν καὶ ἡ σύμπασα γῆ διῄρηται κατʼ ἀξίαν ὑπʼ αὐτῆς τῆς φύσεως· νέμεται γὰρ κατʼ αὐτὴν ἔθνη μέγιστα μεγάλην λελογχότα χώραν, ἔνια δὲ καὶ ὀλίγην μικρὰ καθʼ αὑτὰ ὑπάρχοντα· οὐχ ἧττον δὲ καὶ κατὰ μίαν αἱ πόλεις κατʼ ἀξίαν διῄρηνται· τοῖς μὲν ἡγεμόσι καὶ τοῖς ἄλλοις τοῖς ἄρχειν δυναμένοις μείζω καὶ κατὰ ἀναλογίαν, τοῖς δὲ μηδὲν τοιοῦτο δυναμένοις δρᾶν μικροὶ κατελείφθησαν τόποι, κῶμαί τε τοῖς μικροψυχοτέροις καὶ ἐποίκια καὶ ὅσα τοιαῦτά ἐστιν· ἀλλὰ τὰ μὲν παχυμερεστέραν πως καὶ ἀργοτέραν εἴληφε τὴν ἀναλογίαν· εἰ δέ τις βούλοιτο κατὰ τὸν δοθέντα λόγον διαιρεῖν τὰ χωρία, ὥστε μηδὲ ὡς εἰπεῖν κέγχρον μίαν τῆς ἀναλογίας ὑπερβάλλειν ἢ ἐλλείπειν τοῦ δοθέντος λόγου, μόνης προσδεήσεται γεωμετρίας· ἐν ἐφαρμογὴ μὲν ἴση, τῇ δὲ ἀναλογίᾳ δικαιοσύνη, ἡ δὲ περὶ [*](1 titulum supplevi 5 χωρίων: correxi 12 f. μὲν 〈γὰρ〉 13 καὶ f. delendum 17 παχυμερέστερον: correxi)

142
τούτων ἀπόδειξις ἀναμφισβήτητος, ὅπερ τῶν ἄλλων τεχνῶν ἢ ἐπιστημῶν οὐδεμία ὑπισχνεῖται.

α. Χωρίον τρίγωνον διελεῖν εἰς τρίγωνα χωρία ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ τὴν αὐτὴν ἔχοντα κορυφήν. ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε· καὶ δέον ἔστω διελεῖν αὐτὸ εἰς δύο χωρία τρίγωνα λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα, ὃν ε πρὸς γ, κορυφὴν δὲ τὸ Α. γεγονέτω καὶ ἔστω ἡ διαιροῦσα εὐθεῖα ἡ Α∠· λόγος ἄρα τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου πρὸς τὸ Α∠Γ τρίγωνον, ὃν ε πρὸς γ· καὶ συνθέντιλόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ Α∠Γ τρίγωνον, [*](fol. 100r) ὃν η πρὸς γ. καὶ ἔστιν | ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἡ ἄρα Γ∠ ἔσται μονάδων ε δʹ. λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ μονάδων ηU+2220δʹ. κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν Α∠, ἔσται γεγονὸς τὸ προκείμενον· τὸ μὲν γὰρ τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου ἐμβαδὸν εὑρήσομεν μονάδων νβU+2220, τὸ δὲ τοῦ Α∠Γ τριγώνου μονάδων λαU+2220. ἔχει δὲ τὰ νβU+2220 πρὸς τὰ λαU+2220 λόγον, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ γ.

β. Τὸ δοθὲν· τρίγωνον εἰς τὸν δοθέντα λόγον διελεῖν εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλῳ τῇ βάσει. ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε. καὶ

144
δέον ἔστω αὐτὸ διελεῖν, ὥστε τὸ πρὸς τῇ κορυφῇ τρίγωνον τριπλάσιον εἶναι τοῦ λοιποῦ τραπεζίου. ἔστω ἡ διαιροῦσα εὐθεῖα ἡ ∠Ε· τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ Α∠Ε τρίγωνον τοῦ ∠ΕΓΒ τραπεζίου· τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ὂν πρὸς τὸ Α∠Ε τρίγωνον λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ. ὡς δὲ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Ε τρίγωνον, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον ὂν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Α διὰ τὸ ὅμοια εἶναι τὰ τρίγωνα. καὶ ἔστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τετράγωνον μονάδων ρξθ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς Α∠ τετράγωνον μονάδων ρκϛU+2220δʹ· αὐτὴ ἄρα ἡ Α∠ ἔσται ὡς ἔγγιστα μονάδων ια δʹ. ὥστε ἐὰν ἀπολάβωμεν τὴν Α∠ μονάδων ια δʹ καὶ παράλληλον ἀγάγωμεν τὴν ∠Ε, ἔσται τὸ προκείμενον. ἵνα δὲ μὴ παράλληλον ἄγωμεν, ἐπειδήπερ ἐν τοῖς χωορίοις δύσεργον ὑπάρχει τὸ τοιοῦτον διὰ τὴν τῶν τόπων ἀνωμαλίαν, ἀποληψόμεθα καὶ τὴν ΑΕ μονάδων ὅσων ἂν ᾖ. ἔστιν δὲ, ἐὰν ποιήσωμεν ὡς τὴν ΑΒ πρὸς ΑΓ, τουτέστιν ὡς τὰ ιγ πρὸς ιε, οὕτως τὴν Α∠, τουτέστιν ια δʹ, πρὸς ἄλλην τινὰ· τουτέστι τὴν ΑΕ. ἔσται μονάδων ιβ να. [*](fol. 100v) | τοσούτου ἔσται ἡ ΑΕ. ἐπιζεύξαντες οὖν τὴν ∠Ε ἕξομεν τὴν διαιροῦσαν τὸ χωρίον. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη· ἐπεὶ ὁ λόγος, ἐν ᾧ διαιρεῖται, ἔστι γ πρὸς α, σύνθες γ καὶ α· γίγνεται δ. καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται φζ. παράβαλε παρὰ τὸν δ· γίγνεται ρκϛU+2220δ΄. τούτων πλευρὰ γίγνεται ὡς ἔγγιστα ια δ΄. ταῦτα ἐπὶ τὸν ιε· γίγνεται ρξηU+2220δ΄. ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ιγ· γίγνεται ιβ καὶ να. τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΑΕ καὶ ἐπίζευξον τὴν ∠Ε.

146

γ. Ἔστω δὴ τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχου τὴμ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὴ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΓΑ μονάδων ιε. καὶ ἀπειλήφθω ἡ Α∠, εἰ τύχοι, μονάδων ιβ. καὶ δέον ἔστω ἀπὸ τοῦ ∠ διαγαγεῖν τὴν ∠Ε διαιροῦσαυ τὸ ΑΒΓ πρίγωνον ἐν λόχῳ τῷ δοθάντι. ἔσπω δὴ ὁ λόγος, ὃν ἔχει τὰ ε πρὸς τὰ β. ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, ∠ ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετον αἱ ΒΖ ∠Η. ἔσται δὴ ἡ ΒΖ κάθετος, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων ια ε΄. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς Α∠, τουτέστιν ὡς ιγ πρὸς ιβ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ∠Η, καὶ ἔστιυ ἡ ΒΖ ια εʹ, ἡ ἄρα ∠Η ἔσται μονάδων ι καὶ κβ καὶ ἐπεὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Α∠Ε λόγον ἔχει, ὃν ε πρὸς γ, καὶ ἔστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον μονάδων πδ, τὸ ἄρα Α∠Ε τρίγωνον ἔσται μονάδων ν καὶ β. τοῦ δὲ Α∠Ε τριγώνου διπλάσιόν ἐσυι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ ∠Η τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΕ ∠Η ἔσται μονάδων ρ καὶ δ. καὶ ἔστιν ἡ ∠Η μονάδων ι καὶ κβ· ἡ ἄρα ΑΕ ἔσπαι μονάδων θU+2220δ΄. κἂν ἐπιζεύξωμεν τὴν ∠Ε, ἔσται τὸ προκείμενον. ἔστι δὲ ἡ μέθοδος τοιαύτη· ἐπεὶ ἡ ΒΖ κάθετός ἐστιν, ια ε΄ ἐπὶ τὰ ιβ· [*](fol. 101r) | καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς τὸν ιγ· γίνονται μονάδες ι καὶ κβ, καὶ ἐπεὶ λόγος, ἐν ᾧ διαιρεῖται, ὁ τῶν γ πρὸς τὰ β, σύνθες γ καὶ. β· γίγνεται ε· καὶ πολλαπλασίασον τὸν γ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου, τουτέστιν ἐπὶ τὰ πδ· γίχνεται σνβ. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν ε· γίγνεται νβοέ. ταῦτα δίς· γίγνεται ρ καὶ δ. μέρισον ταῦτα παρὰ τὸν ι καὶ κβ· γίγνονται μονάδες

148
θ∠δ΄. τοσούτου ἀπολαβὼν τὴν ΑΕ ἐπίζευξον τὴν ∠Ε· καὶ ἔσται τὸ προκείμενον.

δ. Τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ ἀφελεῖν ἀπʼ αὐτοῦ τρίγωνον τὸ ∠ΕΖ δοθὲν τῷ μεγέθει, ὥστε τὰ καταλειπόμενα τρίγωνα τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΓΕΖ ἴσα εἶναι ἀλλήλοις. ἐὰν δὴ τμηθῶσιν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ τοῖς ∠, Ζ, Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως τὴν ΒΖ πρὸς ΖΓ καὶ τὴν ΓΕ πρὸς ΕΑ, ἔσται τὰ Α∠Ε Β∠Ζ ΖΓΕ τρίγωνα ἴσα ἀλλήλοις. ἐπεζεύχθω οὖν ἡ ΑΖ καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΓ, ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΖΓ, οὕτως τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΑΖΕ· καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΖ, οὕτω τὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ΕΓΖ, ὅ ἐστι δοθέν. δοθὲν δὲ καὶ τὸ ΑΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΖΕΓ, ὅ ἐστι δοθὲν. καὶ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΖ τριγώνου ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΖ ἐπὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΖΓ· ἀλλὰ τοῦ μὲν ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΒΖ καθέτου ἀχθείσης τῆς ΑΗ διπλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΕΒ ΑΗ, τοῦ δὲ ἐμβαδοῦ τοῦ ΑΖΓ [*](fol. 101v) δι | πλάσιόν ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΓ ΑΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΒ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΑΗ ΖΓ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΗ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΒΖΓ· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΧΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· λόγος ἄρα τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΓΖ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΓΑ πρὸς ΑΕ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ∠ δοθέν ἐστι· θέσει ἄρα αἱ ∠Ε ΕΖ Ζ∠. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ

150
ΓΑ μονάδων ιε. ἔστω δὲ καὶ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον μονάδων πδ. λοιπὰ ἄρα τὰ Α∠Ε ∠ΒΖ ΕΖΓ τρίγωνα ἔσται ἀνὰ μονάδων κ. πολλαπλασίασον τὰ πδ ἐπὶ τὰ κ· γίνεται αχπ· ταῦτα τετράκι· γίγνεται ϛψκ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ κάθετός ἐστι μονάδων ιβ· ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρμδ· μέρισον τὰ ϛψκ παρὰ τὸν ρμδ· γίγνεται μϛ· καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἔσται ἄρα καὶ ἡ μὲν ΒΖ ὡς ἔγγιστα μονάδων η καὶ ἡ ΖΓ μονάδων εU+2220. καὶ ποίησον ὡς τὰ ιδ πρὸς τὸ τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιε πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται μονάδων ε κε. πάλιν ὡς τὰ ιδ πρὸς τὰ εU+2220, οὕτω τὰ ιγ πρὸς ἄλλον τινὰ· γίγνεται πρὸς μονάδας ε καὶ γ. γίγνεται ἡ Β∠ μονάδων ε καὶ γ.

ε. Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς Α∠ τῇ ΒΓ διελεῖν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον κῇ ΕΖ εὐθείᾳ, ὥστε λόγον τοῦ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠ δοθέντι ἴσον εἶναι δοθεισῶν τῶν ΕΖ Γ∠ καὶ εἰς τὸ αὐτὸ νευουσῶν σημεῖον τὸ Η· διὰ δὴ τοῦτο ἔσται ὡς τὸ ΑΒΕΖ πρὸς τὸ ΕΖΓ∠, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ. ὥστε λόγος καὶ τῆς ΒΖ πρὸς ΖΓ δοθείς· καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα [*](fol. 102r) τὸ Ζ· κατὰ τὰ αὐτὰ | δὴ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ β πρὸς τὰ γ· καὶ ἔστω ἡ μὲν ΒΓ μονάδων κε, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων κ, αἱ δὲ ΑΒ Γ∠ οἱαιδηποτοῦν. σύνθες τὰ β καὶ τὰ γ· γίγνεται [*](2 μ κδ: correxi 3 possis etiam μονάδας 9 [τὸ] del. m. 2 16 post λόγον add. εἶναι et post ΕΖΓ∠ add. δοθέντα m. 2; f. 〈θέσει〉 δοθεισῶν 17 post τῶν unam litteram del.) [*](2 (?) 22 τὸ ΕΖ: corr. m. 2 24 ὁ λόγος: sed ὁ del. m. 1)

152
ε· καὶ τὰ κε ἐπὶ τὸν β· γίγνεται ν· ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται ι· τοσούτων ἀπειλήφθω μονάδων ἡ ΒΖ. πάλιν τὰ κ ἐπὶ τὰ β· γίγνεται μ· ταῦτα παράβαλε παρὰ τὸν ε· γίγνεται η. τοσούτων ἀπόλαβε τὴν ΑΕ. καὶ ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ ΕΖ, ποιήσει τὸ προκείμενον.

ϛ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ ἐπιτετάχθω ἀπὸ τοῦ Η διαγαγεῖν τὴν ΗΘ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. διήχθω οὖν, ὡς ἐμάθομεν, ἡ ΕΖ διαιροῦσα τὸ χωρίον ἐν τῷ αὐτῷ| λόγῳ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ ΕΘ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ ΕΖ τῷ ΑΒΘΗ· ὥστε καὶ λοιπὸν τὸ ΕΖΗ τρίγωνον τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕ τῇ ΖΘ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΗΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Θ· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἀπειλήφθω ἡ ΒΖ μονάδων ι· τοσούτου γὰρ ἀπεδείχθη· καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΕ ἐστὶ μονάδων η, ἡ δὲ ΑΗ μονάδων ε, λοιπὴ ἄρα ἡ ΗΕ μονάδων γ. καὶ ἔστιν ἴση τῇ ΖΘ· ἀπειλήφθω οὖν ἡ ΖΘ μονάδων γ. ὥστε ὅλη ἡ ΒΘ ἔσται μονάδων ιγ· ἐπιζευχθείσης οὖν τῆς ΗΘ ἔσται τὸ προκείμενον.

[*](fol. 102v)

ζ. | Πάλιν δὲ τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ παραλλήλου οὔσης τῆς ΑΒ τῇ Γ∠ ἀγαγεῖν αὐταῖς παράλληλον τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ [*](3 ἡ ΒΓ: correxit m. 2 12 ΑΒ τῷ: supplevi 24 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. m. 1 26 ΑΕ: corr. m. 2)

154
ΓΑ ∠Β ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΕΒΖ πρὸς τὸ ΕΓΖ∠, λόγος ἄρα ἐστὶν καὶ τοῦ ΑΒΓ∠ πρὸς τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἔστιν τὸ ΑΓΒ∠ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΕΖΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΑΒ, ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ, λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ΒΑ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΗ πρὸς τὴν ΗΑ· καὶ διελόντι τῆς ΓΑ πρὸς ΑΗ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΓΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ· κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ ΒΗ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΗΒ τρίγωνον. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΖΒ πετράπλευρον δοθέν ἐστιν. καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΕΗΖ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΗΒ· ὥστε καὶ τοῦ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΗ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ· δοῦὲν ἄρα τὸ Ε. κατὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ Ζ. θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ἔστω ἡ μὲν ΑΓ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Β∠ μονάδων ιε, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ϛ, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ. τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ∠, ὡς ἐπάνω ἐμάθομεν, ἔσται μονάδων ρνϛ. ἔστω δὲ ὁ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς πὰ ε· σύνθες οὖν γ καὶ ε· γίγνεται η. καὶ τὰ ρνϛ ἐπὶ τὰ γ· γίγνεται υξη. ταῦτα μέρισον εἰς τὸν η. γίγνεται νηU+2220. τοσούτου ἔσται τὸ ΑΕΒΖ. καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν κ τὰ ϛ· λοιπὰ ιδ. καὶ τὰ ιγ ἐπὶ τὰ ϛ· γίγνεται οη. [*](6 τῆς Γ∠: correx 8 ἡ ΑΗ: corr. m. 2 25 ἔστω: ω ex αι fec. m. 1 29 τὰ η ἐπὶ: correxi)
156
[*](fol. 108r) παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· | γίγνεται ε καὶ δ. ἔσται ἡ ΑΗ μονάδων ε καὶ δ. πάλιν τὰς ιε ἐπὶ τὸν ϛ· γίγνεται παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ϛ γ. καὶ ἔσται ἡ ΒΗ μονάδων ϛ καὶ γ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ϛ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ ΑΗΒ τριγώνου ἔσται μονάδων ιε καὶ γ. τοῦ δὲ ΑΕΖΒ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν νηU+2220· ὅλου ἄρα τοῦ ΕΖΗ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων ογ ιγ. καὶ πολλαπλασίασον μονάδας ε καὶ δ ἐφ᾿  ἑαυτά· γίγνεται λα καὶ β. ἐπὶ τὰ ογ ιγ, καὶ τὰ γενόμενα παράβαλε παρὰ τὸν ιε καὶ γ, καὶ τῶν γενομένων πλευρὰν λαβέ· γίγνεται ιβ καὶ ιδʹ ὡς ἔγγιστα· καὶ ἀπὸ τῆς εὑρεθείσης πλευρᾶς ἄφελε τὰ ε καὶ δ· ἔσονται λοιπαὶ μονάδες ϛU+2220· ἀπόλαβε οὖν τὴν ΑΕ μονάδων ϛU+2220 καὶ ποίησον ὡς ιγ πρὸς ιε, οὕτως ϛU+2220 πρὸς τί· ἔσται δὲ πρὸς μονάδας ζU+2220· ἀπόλαβε τὴν ΒΖ μονάδων ζU+2220· ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

η. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἀπειλήφθω ἡ ΑΗ μονάδων β· καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΗΘ ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον. διήχθωσαν οὖν αἱ ΗΘ, ΕΖ τῷ αὐτῷ λόγῳ διαιροῦσαι τὸ τετράπλευρον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΖ, ΕΘ· ἔσται δὴ ὁμοίως ἴσον τὸ ΑΗΒΘ τῷ ΑΕΖΒ. ὥστε καὶ τὸ ΗΕΖ τρίγωνον [*](3 supplevi 4 ἡ ΑΗ: correi 8 et 10 οδ↑ι΄δʹ: correxi dubitanter; f. μ τεσσαρεσκαιδεκάτου δεουσῶν οδ 9 μ κ καὶ δ: correxi λα καὶ β: correxi 11—12 ιβ καὶ γ΄: correxi) [*](15 πρὸς μ ζι: sed ζ ex ι fec. m. 1)

158
ἴσον ἐστὶν τῷ ΗΘΖ τριγώνῳ. παράλληλος ἄρα ἡ ΗΖ τῇ ΕΘ. ἤχθω δὴ καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΗΚ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΚΖ τρίγωνον τῷ ΕΖΘ. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΖΚ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΘ. [*](fol. 103v) δοθὲν | ἄρα τὸ Θ· ἀλλὰ καὶ τὺ Η· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. ποίησον ὡς τὰ ιγ πρὸς τὰ ιε, οὕτως τὰ β πρὸς τί· γίγνεται β καὶ δ. ὅλη δὲ ἡ ΒΖ ἦν ζU+2220· λοιπὴ ἄρα ἡ ΚΖ ἔσται μονάδων ε καὶ ε. ἡ δὲ ΑΗ ε καὶ δ· καὶ σύνθες τὰς ϛU+2220 καὶ μονάδας ε καὶ δ· γίγνεται ιβ ιδ΄. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ μονάδας ε καὶ ε· καὶ τὰ γενόμενα μέρισον εἰς μονάδας ε καὶ δ· γίγνονται μονάδες. η δ΄. τοσούτου ἀπόλαβε τὴν ΖΘ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ποιήσει τὸ προκείμενον.

θ. Κύκλου δοθέντος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, γράψαι ἕτερον περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον αὐτῷ, οὗ διάμετρος ἡ Γ∠, διαιροῦντα τὸν ἐξ ἀρχῆς κύκλον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.

160
ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τῆς ΑΒ Γ∠ ἴτυος πρὸς τὸν περὶ διάμετρον τὴν Γ∠ κύκλον δοθείς, λόγος ἄρα καὶ τοῦ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ Γ∠ κύκλου δοθείς. ὡς δὲ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους, οὕτω τὰ ἀπὸ τῶν δίαμέτρων τετράγωνα· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ δοθείς· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΑΒ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ Γ∠. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ διάμετρος μονάδων κ, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος, ὃν ἔχει τὰ γ πρὸς τὰ ε. σύνθες τὰ γ καὶ τὰ ε· γίγνεται η· καὶ τὰ κ ἐφ᾿ ἐαυτά· γίγνεται υ· ἐπὶ τὸν ε· γίγνεται β. ταῦτα μέρισον παρὰ τὸν η· γίγνεται σν· τούτων πλευρὰν λαβὲ ὡς ἔγγιστα· γίγνεται ιε ιγ. τοσούτου ἔσται ἡ Γ∠ διάμετρος.

[*](fol. 104r)

ι. | Ὅσα μὲν οὖν τῶν ἐπιπέδων δυνατὸν ἦν ἀριθμοῖς διαιρεῖσθαι, προγέγραπται· ὅσα δὲ διαιρεῖσθαι μὲν ἀναγκαῖόν ἐστι, δι᾿ ἀριθμῶν δὲ οὐ δύναται, ταῦτα γεωμετρικῶς ἐκθησόμεθα.

Ἔστω τριγώνου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ καὶ ἐκβληθείσης αὐτοῦ μιᾶς πλευρᾶς τῆς ΒΓ ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διαγαγεῖν τὴν ∠ Ε διαιροῦσαν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἐν λόγῳ δοθέντι. γεγονέτω· ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΖ τριγώνου πρὸς τὸ ΖΕΒΓ τετράπλευρον, συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΖΕ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ΑΒΓ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΖΕ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΖΑ Ε. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ∠. εἰς δύο ἄρα θέσεις τὰς ΑΒ, ΑΓ πεπερασμένας κατὰ τὸ αὐτὸ τὸ Α ἀπὸ δοθέντος τοῦ ∠ διῆκταί τις εὐθεῖα [*](2 τὸν Γ∠: correxi 3 κύκλον: correxi 10 τὸ νε: correxi 12 ιε ιγ΄: correxi 13 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. m. 1 25 del. m. 2 26 θέσεις: θέσει δεδομένας m. 2 ΑΒ, ΑΕ: ?? Nath.)

162
χωρίον ἀποτέμνουσα δοθέν· δοθέντα ἄρα τὰ Ε, Ζ σημεῖα. τοῦτο δὲ ἐν τῷ βʹ τῆς τοῦ χωρίου ἀποτομῆς δέδεικται. δέδεικται ἄρα τὸ προκείμενον. κἂν τὸ ∠ σημεῖον μὴ ἐπὶ τῆς ΒΓ, ἀλλʼ ὡς ἔτυχεν, οὐδὲν διοίσει.

ια. Τετραπλεύρου δοθέντος τοῦ ΑΒΓ∠ καὶ τμηθείσης τῆς Α∠ κατὰ τὸ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ τέμνουσαν τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον ἐν τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν ∠Ε λόγῳ. γεγσνέτω· καὶ ἤχθω τῇ μὲν Α∠ παράλληλος ἡ ΓΗ, τῇ δὲ ΕΒ ἐπιζευχθείσῃ παράλληλος ἡ ΗΘ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΕ ΕΘ ΕΗ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΗΕ τρίγωνον τῷ ΕΒΘ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΕ. [*](fol. 104v) τὸ | ἄρα ΑΗΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΘΕ τετραπλεύρῳ· ὡς ἄρα τὸ ΑΗΕ τρίγωνον, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως τὸ ΑΒΘΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΓ∠ τρίγωνον. τετμήσθω δὴ καὶ ἡ ΓΘ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠, τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ, τουτέστι τὸ ΕΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΓΖ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΕ τετράπλευρον πρὸς τὸ ΕΖ∠Γ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον τῷ τῆς ΑΕ πρὸς τὴν Ε∠· ἐπεὶ οὖν δοθὲν τὸ Γ, θέσει ἄρα καὶ ἡ ΓΗ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΒΗ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. καὶ ἔστι παρὰ θέσει τὴν ΒΕ ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΓΘ· καὶ τέτμηται ἐν δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν ἐπιζεῦξαι τὴν ΒΕ καὶ τῇ μὲν ∠Ε παράλληλον ἀγαγεῖν τὴν ΓΗ, τῇ δὲ ΒΕ τὴν ΗΘ, καὶ τεμεῖν τὴν ΘΓ κατὰ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΑΕ [*](3 δέδεικται: ab Apollonio Pergaeo 4 ΒΕ: correxi 8 τηῖσ: correxi 9 supplevi 12 τὸ ΕΒΘ: correxi 22—23 παραθέσει: correxi dubitanter 27 τῆι ∠Ε ΒΕ: correxi)

164
πρὸς Ε∠, οὕτω τὴν ΘΖ πρὸς ΖΓ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ ποιήσει τὸ προκείμενον.

ιβ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεδόσθω τι τυχὸν σημεῖον τὸ Ε καὶ δέον ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ διαιροῦσαν τὸ τετράπλευρον ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. γεγονέτω· καὶ διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΘΕ τῷ αὐτῷ λόγῳ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον. δοθέντα ἄρα τὰ Η, Θ. δοθὲν δὲ καὶ [*](fol. 105r) τὸ Ε· θέσει | ἄρα ἡ ΕΖ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· διῃρήσθω ἡ Α∠ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ κατὰ τὸ Η, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ τέμνουσα τὸ τετράπλευρον ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ καὶ ταύτῃ παράλληλος ἡ ΗΖ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΕ. ἔσται δὴ αὕτη ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

ιγ. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ διδόμενον σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς ἔστω πλευρᾶς τοῦ τετραπλεύρου. καὶ ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τετράπλευρον τὸ ΑΒΓ∠, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ Ε· καὶ ἔστω διαγαγεῖν τὴν ΕΖ [*](8 τὸ ΗΘ: correxi 14 ἔστω: correxi)

166
ποιοῦσαν λόγον τοῦ ΑΒΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΓ∠ δοθέντα· καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ πρὸς τὸ ΑΒΖΗ δοθείς. δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ ΖΗ. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστιν ἡ Α∠ τῇ ΒΓ, ἔσται τὸ ΑΒΖΗ ἴσον τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΗ ΒΖ καὶ τῆς ἡμισείας τῆς ἀπὸ τοῦ Α καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὴν ΒΓ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ κάθετος· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΒ ΖΗ· θέσει ἄρα ἡ ΖΕ. τοῦτο γὰρ ἑξῆς. εἰ δὲ μή εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Θ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ τετράπλευρον. καὶ ὅλον ἄρα [*](fol. 105v) τὸ ΗΖΘ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ | Θ γωνία· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗΖ· ἀπῆκται ἄρα εἰς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἡ ΕΖ.

ιδ. Ἑξῆς δὲ δείξομεν, ὡς δεῖ πολυπλεύρου εὐθυγράμμου δοθέντος καὶ σημείου ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς διαγαγεῖν ἀπὸ τοῦ σημιείου εὐθεῖαν διαιροῦσαν τὸ χωρίον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ· ἔστω τὸ δοθὲν χωρίον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μιᾶς αὐτοῦ πλευρᾶς ἔστω τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΗΘ διαιροῦσα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ· ἐπεὶ οὖν λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΘΗΖ χωρίου πρὸς τὸ ΗΘΓ∠Ε δοθείς, καὶ συνθέντι ἄρα λόγος ἐστὶν τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ πρὸς τὸ ΗΘΓ∠Ε δοθείς· δοθὲν δὲ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΓ∠Ε ὧν τὸ ΗΓ∠Ε δοθέν ἐστι· λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΘΓ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. καὶ ἔστιν αὐτοῦ διπλάσιον, καθέτου ἀχθείσης τῆς ΗΚ ἐπὶ τὴν ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΓΘ ΗΚ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΗΚ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΓΘ. δοθὲν ἄρα τὸ Θ· θέσει ἄρα [*](1 δοθείς: corr. Nath)

168
ἡ ΘΗ. συντεθήσεται δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἔστω δοθεὶς λόγος τῆς ΛΜ πρὸς τὴν ΜΝ· καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΛΜ πρὸς ΜΝ, οὕτως τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ πρὸς ἄλλο τι χωρίον τὸ Ξ· καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ ἀφῃρήσθω ἴσον τῷ ΗΓ∠Ε· καὶ ἔστω λοιπὸν τὸ Ο. καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω ἡ ΗΚ· καὶ παραβεβλήσθω τὸ Ο παρὰ τὴν ΗΚ· καὶ ποιείτω πλάτος τὴν ἡμίσειαν τῆς ΓΘ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ· ἔσται δὴ ἡ ΗΘ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

[*](fol. 106r)

ιε. | Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μηδεμιᾶς πλευρᾶς, καὶ ἔστω τὸ Η· καὶ διήχθω ἡ ΗΘ, ὥστε ἐν δοθέντι λόγῳ διαιρεῖν τὸ χωρίον· δοθὲν ἄρα ἔσται τὸ ΚΘΓ∠Ε. καὶ εἰ μὲν παράλληλός ἐστι ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ, ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ· ἔσται λοιπὸν τὸ ΘΓΕΚ· ὥσ??ε θέσει ἐστὶν ἡ ΗΘ. εἰ δὲ οὔκ εἰσι παράλληλοι, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ· δοθὲν ἄρα τὸ Γ∠ΕΛ· καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΘΚΛ τρίγωνον δοθέν

170
ἐστιν. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ Η Λ γωνία· δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΛΘ· ἀπῆκται ἄρα πρὸς τὴν τοῦ χωρίου ἀποτομὴν· θέσει ἄρα ἡ ΗΘ.

ιϛ. Δύο θέσει παραλλήλων οὐσῶν τῶν ΑΒ, Γ∠ καὶ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΚΒ∠ ποιοῦσαν συναμφότερον τὴν ΑΒ, Γ∠ δοθεῖσαν. γεγονέτω· καὶ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ∠Ζ. δοθεῖσα ἄρα ἡ Γ∠Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· θέσει ἄρα ἡ ΑΖ. καὶ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Η· ἴσαι γάρ εἰσιν αἱ ΑΒ, ∠Ζ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΕΗ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν θεῖναι τῇ δοθείσῃ ἴσην τὴν ΓΖ καὶ ἐπιζεῦξαι τὴν ΑΖ καὶ δίχα τεμεῖν κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπιζεύξαντα τὴν ΕΗ ἐκβαλεῖν ἐφʼ ἑκάτερα· καὶ ἔσται ἡ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα.

[*](fol. 106v)

ιζ. | Σφαίρας δοθείσης καὶ λόγου τεμεῖν τὴν ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ἐπιπέδῳ τινὶ, ὥστε τὰς ἐπι-φανείας τῶν τμημάτων πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχειν τὸν αὐτὸν τῷ δοθέντι. ἔστω γὰρ ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς Α πρὸς τὴν Β. καὶ ἐκκείσθω ὁ μέγιστος κύκλος τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ, οὗ διάμετρος ἡ Γ∠. καὶ τετμήσθω ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, ὥστε εἶναι ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β, οὕτως τὴν ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠. καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΓ, Ζ∠· καὶ εἰλήφθω τὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας τὸ Θ· καὶ πόλῳ τῷ Ε, διαστήματι δὲ ἴσῳ τῷ ΓΖ κύκλος γεγράφθω ὁ ΚΛ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας. ἔσται δὴ τὰ ἀπειλημμένα τμήματα ἐν τῇ σφαίρᾳ ὑπὸ τοῦ ΚΛ κύκλου τὰς ἐπιφανείας ἔχοντα λόγον ἐχούσας πρὸς ἀλλήλας τὸν αὐτὸν τῷ τῆς [*](1 ἡ ΗΛ: correxi 14 ἑξῆς ἡ καταγραφή in mg. inf. 16—17 τὰς ἐπὶ τῶν: correxi 18 〈ὁ〉 addidi)

172
Α πρὸς τὴν Β· ἡ μὲν γὰρ πρὸς τῷ Θ πόλῳ ἐπιφάνεια τοῦ τμήματος ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ΓΖ, ἡ δὲ τοῦ λοιποῦ τμήματος ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶν τῇ ∠Ζ. οἱ δὲ εἰρημένοι κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ Ζ∠ τετράγωνα πρὸς ἄλληλα· ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ∠Ζ, οὕτως ἡ ΓΕ πρὸς τὴν Ε∠, τουτέστιν ἡ Α πρὸς τὴν Β. αἱ ἄρα εἰρημέναι ἐπιφάνειαι λόγον ἔχουσι πρὸς ἀλλήλας τὸν τῆς Α πρὸς τὴν Β ταῦτα γὰρ ἐν τῷ βʹ περὶ σφαίρας Ἀρχιμήδει δέδεικται (c. 3 t. I p. 207 Heib.).

[*](fol. 107r)

ιη. | Τὸν δοθέντα κύκλον διελεῖν εἰς τρία ἕσα θυσὶν εὐθείαις. τὸ μὲν οὖν πρόβλημα ὅτι οὐ ῥητόν ἐστι, δῆλον, τῆς εὐχρηστίας δὲ ἕνεκεν διελοῦμεν αὐτὸν ὡς ἔγγιστα οὕτω. ἔστω ὁ δοθεὶς κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ πλευρὰ ἡ ΒΓ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω ἡ ∠ΑΕ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΑ ∠Γ. λέγω ὅτι τὸ ∠ΒΓ τμῆμα τρίτον ἔγγιστά ἐστι μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΑ ΑΓ. ὁ ἄρα ΑΒΓΖΒ τομεὺς τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ ὅλου κύκλου. καὶ ἔστιν ἴσον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠ τριγώνῳ· τὸ ἄρα Β∠ΖΓΖ σχῆμα τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὅλου κύκλου, ᾧ δὴ μεῖζόν ἐστιν αὐτοῦ τὸ ∠ΒΓ τμῆμα ὄντος ὡς πρὸς τὸν ὅλον κύκλον. ὁμοίως δὲ καὶ ἑτέραν πλευρὰν ἰσοπλεύρου τριγώνου ἐγγράψαντες ἀφελοῦμεν ἕτερον τρίτον μέρος· ὥστε καὶ τὸ [*](6 ZH: correxi 7 inserui 16 τῶ Α: correxi 21—22 τόμους: corr. m. 2 24 Β∠ΖΓΖ: correxi 25 μεῖον: correxi)

174
καταλειπόμενον τρίτον μέρος ἔσται μέρος τοῦ ὅλου κύκλου.