Metrica

Hero of Alexandria

Hero of Alexandria, Metrica, Scho╠łne, Teubner, 1900

[*](sell. Cpolit. n.1 fol. 67r.)

Ἡ πρώτη γεωμετρία, ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει λόγος, περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη· χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν τε μετρήσεων καὶ διανομῶν· καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοηθέντα θεωρήματα, προσεδέηθησαν ἔτι περισσοτέρας ἐπισκέψεως, ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι, καίτοι Ἀρχιμήδους τε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβεβληκότων τῇ πραγματείᾳ. ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι, διʼ ἧς ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. καὶ πρὸς τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον ἦν ἐπινοῆσαι, διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ (π. σφ. [*](1 tituli litterae minio scriptae, dein inauratae 3—9 amplificata leguntur in Heronis pers. Geometria 106 p. 138, 31 sq. Hu. 3 cf. Herodotus II 109 10 προσεδεήθησαν sc. αἱ μετρήεις 14 διʼ ἧς: διότι Heiberg 14—15 cf. Archimedes π.)

4
καὶ κυλ. l, 33 vol. l p. 136 Heib.) καὶ ὅτι τὸ στερεὸν αὐτῆς δύο τριτημόριά ἐστι τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου (ibid. l, 34 corollarium vol. l p. 146 Herb.) καὶ ὅσα τούτων ἀδελφὰ τυγχάνει. ἀναγκαίας οὖν ὑπαρχούσης τῆς εἰρημένης πραγματείας καλῶς ἔχειν ἡγησάμεθα συναγαγεῖν, ὅσα τοῖς πρὸ ἡμῶν εὔχρηστα ἀναγέγραπται καὶ ὅσα ἡμεῖς προσεθεωρήσαμεν. ἀρξώμεθα δὲ ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων μετρήσεων, συμπαραλαμβάνοντες τοῖς ἐπιπέδοις καὶ τὰς ἄλλας ἐπιφανείας κοίλας ἢ κυρτὰς, ἐπειδήπερ πᾶσα ἐπιφάνεια ἐκ δύο διαστάσεων ἐπινοεῖται. αἱ δὲ συγκρίσεις τῶν εἰρημένων ἐπιφανειῶν γίγνονται πρός τι χωρίον εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον, εὐθύγραμμον μὲν, ἐπεὶ [*](fol. 67v) ἡ εὐθεῖα ἀμετάπτωτός | ἐστι παρὰ τὰς ἄλλας γραμμάς· πᾶσα γὰρ εὐθεῖα ἐπὶ πᾶσαν εὐθεῖαν ἐφαρμόζει, αἱ δὲ ἄλλαι κοῖλαι ἢ κυρταὶ οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. --- διὸ πρὸς ἑστηκός τι, λέγω δὲ τὴν εὐθεῖαν, ἔτι δὲ καὶ πρὸς τὴν ὀρθὴν γωνίαν τὴν σύγκρισιν ἐποιήσαντο· πάλιν γὰρ πᾶσα ὀρθὴ ἐπὶ πᾶσαν ὀρθὴν ἐφαρμόζει, αἱ δʼ ἄλλαι οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας. καλεῖται δὲ πῆχυς μὲν ἐμβαδὸς, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν ἔχῃ πήχεος ἑνός· ὁμοίως δὲ καὶ ἐμβαδὸς ποῦς καλεῖται, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἔχῃ ἑκάστην πλευρὰν ποδὸς ἑνός. ὥστε αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὰς συγκρίσεις λαμβάνουσι πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἢ τὰ τούτων μέρη. πάλιν δʼ αὖ τὰ στερεὰ σώματα τὰς συγκρίσεις λαμβάνει πρὸς χωρίον στερεὸν εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον, πάντη ἰσόπλευρον· τοῦτο δέ ἐστι κύβος ἔχων ἑκάστην πλευρὰν ἤτοι πήχεος ἑνὸς ἢ ποδὸς ἑνός· ἢ [*](7 προεθεωρήσαμεν: correxui 8 〈τῶν〉 τῶν Heiberg 10—11 ἐκ δύο στάσεων: corr. man. 3 16 post πάσας spatium 16)
6
πάλιν πρὸς τὰ τούτων μέρη. διʼ ἣν μὲν οὖν αἰτίαν πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἡ σύγκρισις γίνεται, εἴρηται, ἑξῆς δὲ ἀρξώμεθα τῶν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις μετρήσεων. ἵνα οὖν μὴ καθʼ ἑκάστην μέτρησιν πόδας ἢ πήχεις ἢ τὰ τούτων μέρη ὀνομάζωμεν, ἐπὶ μονάδων τοὺς ἀριθμοὺς ἐκθησόμεθα· ἐξὸν γὰρ αὐτὰς πρὸς ὃ βούλεταί τις μέτρον ὑποτίθεσθαι.

α. Ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ε, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων γ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπεὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ ἔστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ περιεχόμενον τοιοῦτο, τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑτερομήκους ἔσται μονάδων ιε. ἐὰν γὰρ ἑκατέρα πλευρὰ διαιρεθῇ ἡ μὲν ΑΒ εἰς τὰς μονάδας ε, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως εἰς τὰς γ μονάδας καὶ διὰ τῶν τομῶν παράλληλοι ἀχθῶσιν ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου [*](fol. 68r) πλευ|ραῖς, ἔσται τὸ χωρίον διῃρημένον εἰς χωρία ιε, ὧν ἕκαστον ἔσται μονάδος α. κἂν τετράγωνον δὲ ᾖ τὸ χωρίον, ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.

β. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν. καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων γ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ. εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. προσαναπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ [*](6 ἐκθησώμεθα: corr. Heiberg 8 spatium 8 litterarum; supplemento a man. 2 adscripto ἔχον addidi 10 αὐτὴν: correxi spatium 8 litterarum; suppglevi 11 spatium 12 litterarum; supplevi coll. Eucl. Elem. II def. 1. 12 spatium 13 litterarum; supplev. 〈εχουσῶν πλευρῶν〉 man. 2 13 spatium 9 litterarum; supplevi. 〈ὀρθογώνιον τὸ〉 man. 2 14 spatium 15 litterarum; supplevi. 〈ἑκατέρα τῶν πλευρῶν〉 m. 2 15 τὰς ε μονάδας)

8
ἐμβαδὸν, ὡς ἐπάνω δέδεικται, μονάδων ιβ. τὸ δὲ ΑΒΓ τρίγωνον ἥμισύ ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ παραλληλογράμμου· ἔσται οὖν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων ϛ· καὶ ἐπεὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία, τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνῳ. καὶ ἔστι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετράγωνα μονάδων κε· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἄρα ἔσται μονάδων κε· αὐτὴ ἄρα ἡ ΑΓ μονάδων ε. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη· τὰ μὲν γ ἐπὶ τὰ δ ποιήσαντα λαβεῖν τὸ ἥμισυ τούτων· γίνεται ϛ· τοσούτων τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. καὶ ---τὰ γ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα καὶ ὁμοίως τὰ δ ἐφʼ ἑαυτὰ ποιήσαντα συνθεῖναι· καὶ γίγνονται κε· καὶ τούτων πλευρὰν λαβόντα ἔχειντοῦ τριγώνου τὴνὑποτείνουσαν.

γ. Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι. τὴν δὲ ΒΓ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι [*](fol. 68v) τὴν δὲ ΒΓ | μονάδων ιβ. εὑρεῖν αὐτοὺς τὸ ἐμβαδὸν. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠. καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ Α∠ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΓΖ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές [*](1 spatium 19 litterarum; supplevit man. 2 2 spatium 20 litterarumu; supplevit man. 2 3 ΑΒ: corr. man. 2 spatium 18 litterarum; supplevit man. 2 4 spatium 17 litterarum; supplevi. 〈ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία καὶ . . .〉 man. 2 5 spatium 17 litterarum; supplevi. ΑΓ ὑποτεινούσης man. 2 6 ἀπὸ τῶ: corr. man. 2 7 spatium 25 litterarum; supplevi. 〈τ. μ ιϛ συναμφότερα· καὶ τὸ ἀπὸ〉 man. 2 8 spatium 17 litterarum; supplevi. 〈ἄρα ἔσται μονάδων ε〉 man. 2 9 spatium 21 litterarum; supplevi. τὰ μὲν β: correxi 11 spatium 17 litterarum; supplevi post αὐτὰ spatium 9 literarum; supplevi 13 spatium 20 litterarum; supplevi)

10
ἐστι καὶ κάθετος ἦκται ἡ Α∠, ἴση ἐστὶν ἡ Β∠ τῇ ∠Γ. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιβ· ἡ ἄρα Β∠ ἐστὶ μονάδων ϛ. ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι· ἡ ἄρα Α∠ ἔσται μονάδων η, ἐπειδήπερ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Β∠ ∠Α· ὥστε καὶ ἡ ΒΕἔσται μονάδων η. ἡ δὲ ΒΓ ἐστὶ μονάδων ιβ. τοῦ ἄρα ΒΓΕΖ παραλληλογράμμου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων 𝔮ϛ· ὥστε τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων μη. ἡ δὲ μέθοδός ἐστιν αὕτη· λαβὲ τῶν ιβ τὸ ἥμισυ· γίνονται ϛ· καὶ τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ· γίνονται ρ. ἄφελε τὰ ϛ ἐφʼ ἑαυτὰ, ἅ ἐστι λϛ· γίγνονται λοιπὰ ξδ. τούτων πλευρὰ γίνεται η· τοσούτου ἔσται ἡ Α∠ κάθετος. καὶ τὰ ιβ ἐπὶ τὰ η· γίνονται 𝔮ϛ. τούτων τὸ ἥμισυ. γίνονται μη· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.

δ. Τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων τὰς γωνίας δεῖ ἐπισκέψασθαι ὅπως τὰς ἀγομένας καθέτους ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς εἰδῶμεν, ἤτοι ἐντὸς τῶν γωνιῶν πίπτουσιν ἢ ἐκτός· ἔστω οὖν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεισῶν μοιρῶν. καὶ δέον ἐστὶν ἐπισκέψασθαι εἰ τύχοι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα ἢ ὀξεῖα· εἰ μὲν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς [*](fol. 68r) ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώ|νοις, δῆλον ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα· εἰ δὲ μεῖζον, δῆλον ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ὑποκείσθω δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν [*](5 spatium 3 litterarum; supplevit Heiberg 13 spatium 17 litterarum; supplevi 14 versus unus et dimidius vacui; supplevi) [*](15 spatium 18 litterarum; supplevi; [ἐπισκε] etiam m. 2.) [*](17 ἴδωμεν: corr. Heiberg 20 fortasse δέον ἔστω 21 spatium 5 litterarum; supplevit man. 2. 24 ἐλάσσων et μείζων: correxi) [*](26 δὲ: correxi ἀπὸ τῆι: correxi ἐλάσσων: correxi)

12
ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. εἰ γὰρ οὐκ ἔσται ὀξεῖα, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα. ὀρθὴ μὲν οὖν οὔκ ἐστιν· ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνοις· οὐκ ἔστιν δέ· οὐκ ἄρα ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. οὐδὲ μὴν ἀμβλεῖά ἐστιν· ἔδει γὰρ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ ΑΒ τετραγώνων· οὐκ ἔστιν δέ· οὐδὲ ἄρα ἀμβλεῖα ἐστιν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ὀρθή· ὀξεῖα ἄρα ἐστίν. ὁμοίως δὴ ἐπιλογιούμεθα καὶ ἐὰν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον ᾖ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία.

ε. Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. φανερὸν --- ὅτι ὀξεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλασσον ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετραγώνων. κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔλασσόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ὡς --- δέδεικται. καὶ ἔστι τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ μονάδων τξε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων σκε· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ μονάδων ρμ· τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔσται μονάδων ο. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ [*](1 τῶν ἀπὸ τὸ: correxi 13 [ὀξυγώνιον] Heiberg 14 lacuna 15 litterarum capax; supplevi 16 spatium 14 litterarum; supplevi ὅτι; cetera dubia, f. ἐκ τῶν προγεγραμμένων τῷ Α: corr. Heiberg 17 spatium 14 litterarum; supplevi 18 spatium 17 litterarum; supplevi 19 spatium 26 litterarum; supplevi 20 τοῖς ἀπὸ: correxi 21 spatium 14 litterarum; fortasse 〈ἐν τοῖς)

14
τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠ ∠Β· καὶ ἔστι τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ [*](fol. 69v) μονάδων ρξθ|, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Β∠ μονάδων κε· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ρμδ. αὐτὴ ἄρα ἡ Α∠ ἔσται μονάδων ιβ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ ἔσται μονάδων ρξη. καὶ ἔστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιον· τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔσται μονάδων πδ. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται τοιαύτη· τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ· καὶ τὰ ιδ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ𝔮ϛ· καὶ τὰ ιε ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται σκε· σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρ𝔮ϛ· γίγνεται τξε· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ σκε· γίγνεται λοιπὰ ρμ· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ο· παράβαλε παρὰ τὸν ιδ· γίγνεται ε· καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ἀφʼ ὧν ἄφελε τὰ ε ἐφʼ ἐαυτά· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ· τοσούτου ἔσται ἡ κάθετος. ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ιδ· γίγνεται ρξη· τούτων τὸ ἥμισυ πδ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ϛ. Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων υ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ μονάδων ρκα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρξθ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠ μονάδων ρι. τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔστιν μονάδων νε. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ια· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ιγ· ἡ ἄρα Α∠ ἔσται μονάδων ιβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ια· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α∠ ΒΓ ἔσται μονάδων ρλβ. αὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ Γ τριγώνου. τὸ ἄρα ΑΒΓ

16
τρίγωνον ἔσται μονάδων ξ ϛ. ἡ δὲ μέθοδος ἔσται ἡ αὕτη. τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρξθ· καὶ τὰ ια ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρκα· καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται υ. σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρκα· γίγνεται σ𝔮· ταῦτα ἄφελε [*](fol. 70r) ἀπὸ τῶν υ· λοιπὰ ρι. | τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται νε. παράβαλε παρὰ τὸν ια· γίγνεται ε. καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ἄφελε τὰ ε ἐφʼ ἑαυτά· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ. ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται ρλβ. τούτων τὸ ἥμισυ ξϛ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.

Μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμετρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα, ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιησόμεθα.

ζ. Ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον πλευρὰ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός. ἐπεὶ

18
γάρ ἐστιν ὡς ὁ ΑΒ πρὸς τὸν ΒΓ, οὕτως ὅ τε ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενον ἀριθμὸν καὶ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ὁ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνος πρὸς τὸν ὑπὸ ΑΒΓ, οὕτως ὁ ὑπὸ ΑΒΓ πρὸς τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον. ἐπεὶ οὖν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχουσιν, ἔσται ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ τετράγωνος ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ ἴσος ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐφʼ ἑαυτόν. τοῦ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός.

[*](fol. 70v)

η. | Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν χωρὶς καθέτου· οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ τὰ θ· γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας· λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η· λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ· λοιπαὶ γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε· γίγνονται ξ. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ· γίγνονται σμ· ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται ψκ· τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι, ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως· ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ, μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ· γίγνεται κϛ καὶ τρίτα δύο· πρόσθες τὰς κζ· γίγνεται νγ τρίτα δύο. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται κϛU+2220γ΄. ἔσται ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϛU+2220γ΄. τὰ γὰρ κϛU+2220γ΄ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛ΄· ὥστε τὸ διάφορον μονάδος [*](5 τὸν ἀπὸ: correxit m. 2 7 ἴσος τὸ: corr. man. 2 9 τὸ πὸ: corr. man. 2 11 ὑπὸ τὸν: correxi 20 τῶν δ: correxi τῶν γ:)

20
ἐστὶ μόριον λϛ΄. ἐὰν δὲ βουλώμεθα ἐν ἐλάσσονι μορίῳ τοῦ λϛ΄ τὴν διαφορὰν γίγνεσθαι, ἀντὶ τοῦ ψκθ τάξομεν τὰ νῦν εὑρεθέντα ψκ καὶ λϛ΄, καὶ ταὐτὰ ποιήσαντες εὑρήσομεν πολλῷ ἐλάττονα τοῦ λϛ΄ τὴν διαφορὰν γιγνομένην.

ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε· τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντας μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι.

[*](3 ταῦτα: correxit Curtze 4 ἔλαττον: corr. et suppl. Heiberg 7 cf. Dioptr. cap. XXX; Hultsch Ζeitschrift f. Math. u. Phyvsik 1864 225—249; Heronis reliqu. p. 235 sq. 8 ἀγαγόντας: correxi)
22

ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΝΓ καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ∠Η, ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ∠Η τοῦ ΑΒΗ τριγώνου· [*](fol. 71r) τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τρι|γώνου καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἡ ΓΒ, καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν Α∠ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ∠Β τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ· ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφʼ ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ. ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας ταῖς ΑΗ, ΒΗ, ΓH καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ΑΗ∠ ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ, ∠ΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ Γ ΛΒ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ Α∠Η ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ [*](7 suppl. m. 2 20 ΒΛ: ΛΒ suprascripsit m. 2 21 τῶ:)

24
ἴση· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΗ∠ τρίγωνον τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ. ὡς ἄρα ἡ ΒΓ πρὸς ΒΛ, ἡ Α∠ πρὸς ∠Η, τουτέστιν ἡ ΒΘ πρὸς ΕΗ, καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ πρὸς ΒΘ, ἡ ΒΛ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΚΕ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΒΛ τῇ ΕΗ, καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ· ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘΘΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΕΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΚ, τουτέστι πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ· ἐν ὀρθογωνίῳ γὰρ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἦκται ἡ ΕΗ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὗ πλευρὰ ἦν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἴσον ἔσται τῷ ὑπὸ ΓΘΒ ἐπὶ τὸ ὑπὸ ΓΕΒ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἑκάστη τῶν ΓΘ, ΘΒ, ΒΕ, ΓΕ· ἡ μὲν γὰρ ΓΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, ἡ δὲ ΒΘ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΓΒ, ἡ δὲ ΒΕ ἡ ὑπεροχὴ, [*](fol. 71v) | ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΓ, ἡ δὲ ΕΓ ἡ ὑπεροχὴ, ᾗ ὑπερέχει ἡ ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΑΒ, ἐπειδήπερ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΒΘ τῇ ΑΖ, ἐπεὶ καὶ τῇ Α∠ ἐστὶν ἴση. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ΑΓ μονάδων ιε. σύνθες τὰ ιγ καὶ ιδ καὶ ιε· καὶ γίγνεται μβ. ὧν ἥμισυ· γίγνεται κα. ὕφελε τὰς ιγ· λοιπαὶ η· εἶτα τὰς ιδ· λοιπαὶ ζ· καὶ ἔτι τὰς ιε· λοιπαὶ ϛ. τὰ κα ἐπὶ τὰ η, καὶ τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ζ, καὶ ἔτι τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ϛ· συνάγονται ζνϛ· τούτων πλευρὰ πδ. τοσούτου ἔσται τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν.

[*](7 〈ΘΒ〉 suppl. m. 2(?) 10 ΕΗ: immo ΗΕ 11 οὗ te πλευρὰν add. m. 2 12 τὸ ὑπὸ: corr. m. 2 18 〈ἡ〉)
26
[*](fol. 72r)

θ. | Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου, ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων η, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιβ· καὶ ἤχθω κάθετος ἡ Α∠. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΒ∠ μονάδων κ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδος α, καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ξδ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ξγ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ μονάδων ρ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἔσται μονάδων ϛτ. τούτου δὲ πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτόν· ὁ ὑπὸ τῶν ΒΓ Α∠ ἄρα ἐφʼ ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϛτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτὸ μονάδων αφοε· ὧν γὰρ τετραγώνων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ τριγώνου· ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει αφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου. [*](2 〈τῆς〉 addidi 18—19 [ἐφʼ ἑαυτὸν]: delevit man. 2 25 ἥμισυ: in ἡμίσεος mutavit et 〈πλευρὰ〉 add. m. 2 perperam 28 λαβόντα ex λαβεῖν τα fec. m. 1)

28
τῶν δὲ ξγ σύνεγγύς ἐστιν ἡ πλευρὰ ζU+2220δ΄ η΄ ιϛ΄. δεήσει οὖν τοσούτου ὑποστησάμενον τὴν κάθετον τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν· ἔστι δὲ λθU+2220η΄ ιϛ΄.

ι. Ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὰς [*](fol. 72v) ἔχον τὰς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίας, καὶ ἔστω ἡ | μὲν Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ ια, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν Γ∠. τετμήσθω δίχα ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Α∠ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε τῇ ΕΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΗΓ. κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ Α∠ ΒΗ· συναμφότερος συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση ἐστίν. δοθεῖσα δέ ἐστιν συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ. ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα αὐτῶν· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ, τουτέστι δύο αἱ ΒΗ καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ∠Ε τρίγωνον τῷ ΕΗΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕ∠ πεντάπλευρον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ ἴσον ἐστι. δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἡ δὲ Γ∠ εὑρεθήσεται οὕτως· ἤχθω κάθετος

30
ἡ ∠Θ. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ Α∠, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἀλλὰ καὶ ἡ ∠Θ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΑΒ· καὶ ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Γ∠. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· σύνθες τὰ ϛ καὶ τὰ ια· γίγνεται ιζ. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ηU+2220. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρβ· τοσούτου ἄρα τὸ ἐμβαδόν. ἡ δὲ ∠Γ οὕτως· ὕφελε ἀπὸ τῶν ια τὰ ϛ· καὶ γίγνεται λοιπὰ ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται κε· καὶ τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται ρμδ. πρόσθες τὰ κε· γίγνεται ρξθ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιγ· τοσούτων ἔσται ἡ ∠Γ.

[*](fol. 73r)

ια. | Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ∠ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων ιγ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α∠ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΕ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν, ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα· καὶ ἔσται μονάδων ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ ΑΒ, Γ∠ τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν

32
αἱ ΚΗΛ, ΜΘΝ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΚΗ τρίγωνον τῷ ΒΗΛ, τὸ δὲ ∠ΜΘ τῷ ΓΝΘ ὥστε κοινοῦ προστεθέντος τοῦ ΑΗΛΝΘ∠ ἑξαπλεύρου ἴσον ἔσται τὸ ΚΛΜΝ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΚ τῇ ΒΛ, ἡ δὲ ∠Μ τῇ ΓΝ, αἱ ἄρα ΑΚ ∠Μ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ. κοινῶν προστεθεισῶν τῶν Α∠ ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ, τουτέστι δύο αἱ ΚΜ, συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση. καὶ ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ· ἐστι γὰρ μονάδων κβ· ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ· αὐτὴ ἄρα ἡ ΚΜ μονάδων ια. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ· ἴση γάρ ἐστι τῇ Α Ζ· τὸ ἄρα ΚΛΝΜ παραλληλόγραμμον ἔσται μονάδων ρλβ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ τραπέζιον μονάδων ρλβ. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϛ τὰς ϛ· γίγνονται λοιπαὶ ι. τούτων τὸ ἥμισυ ε. καὶ ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται κε· καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται ρξθ. ἄφελε τὰ κε· λοιπὰ ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ· ἔσται ἡ κάθετος μονάδων ιβ. τὸ δὲ ἐμβαδὸν οὕτως· σύνθες τὰ ιϛ καὶ [*](fol. 73v) τὰ ϛ· γί|νονται κβ· ὧν ἥμισυ· γίγνονται ια· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον· γίγνεται ρλβ· τοσούτων ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

ιβ. Ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ κάθετος ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ· ἡ [*](2 ΓΗΘ: correxi 3 προστιθέντος: correxi 7 ΚΜΛΗ correxi 10 sq. spatium 8 litterarum; supplevi 12 lacuna 9 litterarum; supplevi 21 〈ταῦτα〉 m. 2.)

34
δὲ ΓΕ μονάδων ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων κα· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΕ ὀξυγώνιον τρίγωνον εἶναι ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος μονάδων ιβ. δίχα δὴ τμηθεισῶν τῶν ΑΒ Γ ∠ τοῖς Η, Θ καὶ καθέτων ἀχθεισῶν τῶν ΚΗΛ ΜΘΝ ὁμοίως τῷ ἐπάνω δείξομεν, ὅτι τὸ μὲν ΑΒΓ ∠ τραπέζιον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΛΜΝ παραλληλογράμμῳ, συναμφότερος δὲ ἡ ΒΓ Α ∠ διπλῆ ἐστι τῆς ΚΜ· καὶ ἔσται ἡ ΚΜ μονάδων ιϛU+2220· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ μονάδων ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΖ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρη. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν κζ τὰ ϛ· λοιπὰ γίγνεται κα. καὶ τριγώνου ὀξυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ καὶ κα καὶ κ εὑρήσθω ἡ ΑΖ κάθετος· ἔστιν δὲ μονάδων ιβ, ὡς ἐμάθομεν· καὶ σύνθες κζ καὶ ϛ· γίγνεται τὸ ἥμισυ ιϛU+2220· ταῦτα ἐπὶ ιβ· γίγνεται ρ𝔮η. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.

[*](fol. 74r)

ιγ. Ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ κ, ἠ δὲ ΑΓ ϛ, ἡ δὲ Β∠ μονάδων ιζ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΖ· ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ, ἡ δὲ Ζ∠ μονάδων ϛ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ.

36
καὶ ὁμοίως τοῖς ἐπάνω δειχθήσεται τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Β∠ΑΓ καὶ τῆς ΑΕ διπλάσιον τοῦ ΑΒΓ∠ τραπεζίου· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου ἔσται μονάδων ρλη. συντεθήσεται δὲ οὕτως· ἄφελε ἀπὸ τῶν ιζ τὰ ϛ· λοιπὰ ια· καὶ τριγώνου ἀμβλυγωνίου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ, ια, κ εὑρήσθω ἡ κάθετος· γίγνεται ιβ· καὶ σύνθες τὰ ιζ καὶ ϛ· γίγνεται κγ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιαU+2220· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρλη· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τραπεζίου.

ιδ· Ὁ δὲ ῥόμβος καὶ τὸ ῥομβοειδὲς τὴν μέτρησιν φανερὰν ἔχουσιν. δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον. ὧν δοθέντων ὁ μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκείμενος, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγωνίων [*](fol. 74v) |ἢ ἀμβλυγωνίων, καὶ διὰ τοῦτο δοθήσεται αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. τὰ μὲν οὖν ἀποδειχθέντα τετράπλευρα μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ παράλληλον εἶχε· τὸ δὲ παρὸν τὸ Α ΒΓ∠ τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίαν ἐχέτω ὀρθὴν, μηδεμίαν δὲ πλευρὰν μηδεμιᾷ παράλληλο ν καὶ ἔτι ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ Β Γ μονάδων ι, τὴν δὲ Γ∠ μονάδων κ, τὴν δὲ ∠Α μονάδων ιζ· δεῖξαι αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐπεζεύχθω ἡ Β∠· καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΑΕ. ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ ∠Γ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον· καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἔσται δοθέν· ἔστι γὰρ μονάδων φ· ἀλλὰ καὶ [*](2 διπλάσιον τὸ: corr. m. 2 5 τρίγωνον: corr. m. 2 10 in mg. numerus capitis non adscriptus 14—15 ὀξυγώνων: correxi 15 spatium 12 litterarum; supplevit m. 2 16 spatium 12 litterarum; supplevi. 〈ἕκαστον〉 perperam m. 2 17 spatium 17 litterarum; supplevit m. 2 18 spatium 13 litterarum; supplevit m. 2)

38
τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ δοθέν· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ Β∠· καὶ ἔστι μείζονα τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠. ὀξεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ὐπὸ ΑΒ∠· τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ Β∠ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ μείζονά ἐστιν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β ΒΕ. δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β ΒΕ· ὥστε καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ∠ΒΒΕ δοθέν ἐστι· καὶ ἔστι πλευρὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ∠Β ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ Β∠· δοθὲν ἄρα κα τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕΑ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Β∠· καὶ ἔστιν αὐτοῦ πλευρὰ τὸ ὑπὸ Β∠ ΑΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ Β∠ ΑΕ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον· ἀλλὰ καὶ τὸ ΒΓ∠· ὥστε καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ∠ τετράπλευρον δοθὲν ἔσται. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· τὰ ι ἐπὶ τὰ κ· γίγνεται σ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ρ. καὶ πάλιν τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά· [*](7 τῶ δὶς: corr. man. 2 13 ΒΕΑ: del. Β et τῆς supraripsit ripsit m. 2.)
40
γίγνεται υ. σύνθες· γίγνεται φ. καὶ τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτά· [*](fol. 75r) γίγνεται ρξθ. ταῦτα μετὰ τῶν φ γίγνεται χξθ· ἄφελε | τὰ ιζ ἐφʼ ἑαυτά· λοιπαὶ τπ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρ𝔮· ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται μ ϛρ. ταῦτα παρὰ τὸν φ· γίγνεται οβ έ· ἄφελε ταῦτα ἀπὸ τῶν ρξθ· γίγνονται λοιπαὶ 𝔮ϛU+2220ε΄ι΄. ταῦτα ἐπὶ τὸν φ· γίγνεται μ ηυ. τούτων πλευρὰ γίγνεται σκ· τούτων τὸ ἥμισυ γίγνεται ρι· τοσούτου ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τὸ ἐμβαδόν. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ μονάδων ρ· τοῦ ἄρα ΑΒΓ∠ τετραπλεύρου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται σι. ἔστιν ὅτι δὲ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν, δείξομεν ἑξῆς.

ιε. Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ∠ δοθεῖσαν ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓ∠ γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν Β∠ ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ Β∠ καὶ ἡ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ, Α∠ δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒ∠ τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσι· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν [*](5 〈ρ〉 im rasura scripsit man. 2 6 ἐπὶ τῶν: correxi spatium 6 litterarum: supplevi 8 ΑΒΓ: corr. et τριγώνου add. m. 2 10 spatium 4 litterarum: supplevit m. 2 [ἔστιν] delevi 〈σι〉 suprascr. m. 2 spatium 4 litterarum: supplevit m. 2)

42
ΒΘΕ. καὶ ἔστιν ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΑΘΕ· ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα τῶν πρὸς τοῖς Ε, Η. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΗΘ· ὥστε καὶ ἡ ΑΗ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΗΖ· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΒΓ· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΖ δοθεῖσά ἐστιν. συντεθήσεται [*](fol. 75v) δὴ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· | ἔστω γὰρ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ, ἡ δὲ ∠Α μονάδων ιζ. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ κάθετος δυνάμει 𝔮ϛU+2220έί, ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ έ, ἡ δὲ Β∠ δυνάμει φ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Γ∠ ἐστὶ μονάδων κ, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι, τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων μονάδων υ καὶ μονάδων ρ. ποίησον οὖν ὡς τὰ υ πρὸς ρ, τὰ 𝔮ϛ δ πρὸς τί· ἔσται πρὸς κδέ· τοσούτου ἔσται τὸ ἀπὸ ΕΘ. καὶ πολλα πλασιάσαντες τὰ οβ έ ἐπὶ τὰ κδ έ καὶ τῶν γενομένων τὴν πλευρὰν λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΒΕ ΕΘ προσθήσομεν τοῖς ἀπὸ ΒΕ, ΕΘ, τουτέστι τοῖς οβ έ καὶ κδ έ συντεθεῖσιν. καὶ ἕξομεν τὴν ΒΘ δυνάμει ρπ. καὶ σύνθες τὰ 𝔮ϛ U+2220 έ ί καὶ κδ έ· γίγνεται ρκα. καὶ πολλαπλασίασον τὰ ρπ ἐπὶ τὰ κδ έ· γίγνεται δυνάμει δτνϛ. μέρισον εἰς τὸν ρκα· γίγνεται λϛ. καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει κε, ἅ ἐστι μήκει ε. πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ· ἔστι δὲ ι· γίγνεται ιε· τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος. καὶ ἡ μὲν ΕΘ δυνάμει κδέ, ἡ δὲ ΗΘ μήκει ϛ, ἡ δὲ ΑΘ μήκει ια.

[*](9 𝔮ϛ U+2220 ε΄ι΄ ε: sed extremam litteram del. m. 1 14 sup- plevit m. 2 17 〈ΕΘ〉 add. m. 2 19 συνθέντες: corr. m. 2)[*](23 [λοιπὰ δυνάμει λϛ] del. m. 2 24 ὅσον: correxi 25 το- τοῦτον: correxi)
46

ρκθ καὶ ρξ· ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπὰ λθ καὶ δ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ· γίγνεται ϛυ· ὧν πλευρὰ γίγνεται π· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται μ. ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ ὁμοίως μ· ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

[*](fol. 76v)

Ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπί τε τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων τεταγμένων εἰπεῖν, προγέγραπται· ἐὰν δὲ δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν, δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν αὐτοῦ, ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ μεθόδῳ. ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν. τῶν γὰρ αὐτῶν πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς. καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω, ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων εὐθυγράμμων γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου, ἐπειδὴ τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ.

ιζ. Ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι. καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ Α∠. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΒ, τῆς Β∠, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ Β∠. ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Β. τοῦ δὲ ἀπὸ ∠Β τετραπλάσιόν [*](11 ὡς τὸ: corr. man. 2)

48
ἐστι τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἐπίτριτον ἄρα ἔσται τὸ ἀπὸ ΒΓ τοῦ ἀπὸ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ Α∠ λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, καὶ πάντα ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΙ, τουτέστιν τό τε ἀπὸ ΒΓ ἐφʼ ἑαυτὸ καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ [*](fol. 77r) ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ | δυνάμεως πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ λόγον ἔχει, ὃν δ πρὸς γ, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ιβ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τὸ ὑπὸ Α∠ ΒΓ ἐστὶν ἐφʼ ἑαυτό, τουτέστι δύο τρίγωνα ἐφʼ ἑαυτά. ἡ ἄρα ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς δύο τρίγωνα ἐφʼ ἑαυτὰ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς ιβ δύο δὲ τρίγωνα ἐφ᾿ ἑαυτὰ ἑνὸς τριγώνου ἐφʼ ἑαυτό ἐστιν τετραπλάσια. ἡ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ δυναμοδύναμις πρὸς ἓν τρίγωνον ἐφʼ ἑαυτὸ λόγον ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς γ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις, ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΓ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου ἐφʼ ἑαυτό· ὥστε καὶ αὐτὸ τὸ τρίγωνον δοθέν ἐστιν. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως. τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται μ· τούτων λαβὲ γ. γίγνεται αωοε. τούτων πλευρὰν λαβέ· καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ῥητὴν πλευρὰν, εἰλήφθω ὡς ἐμάθομεν ἔγγιστα μετὰ διαφόρου. καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν μγ γ΄.

[*](11 δυναμο in mg. supplevit m. 1 20 δυναμοδυνάμεως; correxi)
50

Λῆμμα. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Γ, δύο δὲ πέμπτων ὀρθῆς τὴν πρὸς τῷ Α. δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ ∠, καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ Γ∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β∠. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ Β∠, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒ∠. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνία τριῶν πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς διὰ τὸ τῆν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν δύο πέμπτων εἶναι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία ἓξ πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· πενταγώνου ἄρα ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ∠. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β∠· | [*](fol. 77v) τῆς ἄρα Α∠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ. καὶ ἔστι τῆς Α∠ ἡμίσεια ἡ ΑΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ.

ιη. Ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε. οὗ ἐκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζ∠ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΖΗ. ἔσται ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ∠ γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς· ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἀλλ᾿  ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον, ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν· ἔστι δὲ ὁ πα πρὸς ιϛ. συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΖΗ, ὃν θ πρὸς δ. καὶ διελόντι ὁ ΓΖ πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει ὃν ε πρὸς δ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν κε πρὸς ιϛ. καὶ λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν θ πρὸς

52
ιϛ· τῆς ἄρα ΓΗ πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν γ πρὸς δ· ὥστε τῆς Γ∠ πρὸς ΖΞ λόγος ἐστὶν, ὃν ϛ πρὸς δ, τουτέστιν ὃν γ πρὸς β· τὸ ἄρα ἀπὸ Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Γ∠ ΖΗ λόγον ἔχει, ὃν γ πρὸς β. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ τῆς Γ∠· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Γ∠ ΖΗ. καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΓΖ∠ τριγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΖ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστι πέμπτον μέρος τοῦ ΑΒΓ∠Ε πενταγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πεντάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ιε ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. τούτων τὸ τρίτον· γίνεται λγ γ΄. ταῦτα πεντάκις· [*](fol. 78r) γίγνεται ρξϛ β. τοσού | του ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ πενταγώνου ὡς ἔγγιστα· ἐὰν δὲ ἕτερον τετράγωνον ἑτέρου τετραγώνου πενταπλάσιον μᾶλλον ἐγγίζον λάβωμεν, ἀκριβέστερον εὑρήσομεν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.

ιθ. Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ μονάδας ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, Η∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΗ, Η∠· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ πλευρὰ δοθεῖσα· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον.

54
καὶ ἔστιν ἕκτον μέρος τοῦ ἑξαγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίνεται ρ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνονται μ. τούτων τὸ τέταρτον· γίγνεται βφ. ταῦτα εἰκοσάκι καὶ ἑπτάκι· γίγνεται μ ζφ. τούτων λαβὲ πλευρὰν ἔγγιστα· γίγνεται σνθ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου.

Λῆμμα. Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃν η πρὸς ζ. ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ. τουτέστιν ἴση τῇ [*](fol. 78v) ἐκ τοῦ κέν|τρου τοῦ κύκλου· καὶ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἡ Α∠. ἔσται ἄρα ἡ Α∠ ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ ἑπταγώνου πλευρᾷ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β∠, ΑΓ· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β. λόγος ἄρα τῆς Α∠ πρὸς ∠Β δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃν τοῦ μθ πρὸς ιϛ· καὶ μήκει λόγος τῆς Α∠ πρὸς ∠Β, ὃν ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς Β∠ διπλῆ ἡ ΒΓ· τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς ∠Α λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.

κ. Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Θ, ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε ἡ ΘΚ. λόγος ἄρα τῆς Θ∠ πρὸς ∠Ε, ὃν η πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὴν ∠Κ, ὃν η πρὸς γU+2220, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ζ. ὥστε τῆς ΘΕΚ πρὸς Κ∠ λόγος ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν ιδ γ΄ πρὸς τὸν ζ, τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα. [*](5 μ βφ: corr. m. 3 9 ὁ η: correxi 17 ὃν: correxi 27 [Ε] del. m. 1 (?))

56
ὥστε καὶ τῆς ∠Ε πρὸς ΚΘ λόγος, ὃν μβ πρὸς μγ, τουτέστιν ὃν πδ πρὸς πϛ. καὶ τοῦ ἀπὸ ∠Ε ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε ΚΘ λόγος ὁ αὐτός· ὥστε τοῦ ἀπὸ ∠Ε πρὸς τὸ ∠ΘΕ τρίγωνον λόγος, ὃν πδ πρὸς μγ. τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ ἑπτάγωνον λόγος ὁ τοῦ α πρὸς ζ· καὶ τοῦ ἀπὸ ∠Ε ἄρα πρὸς τὸ ἑπτάγωνον ιβ πρὸς μγ. καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ∠Ε δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑπτάγωνον. συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ· γίγνεται δτ. τούτων τὸ ιβ΄· γίγνεται τνη γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.