Metrica
Hero of Alexandria
Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900
Ἡ πρώτη γεωμετρία, ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει λόγος, περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη· χρειώδους δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν τε μετρήσεων καὶ διανομῶν· καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοηθέντα θεωρήματα, προσεδέηθησαν ἔτι περισσοτέρας ἐπισκέψεως, ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι, καίτοι Ἀρχιμήδους τε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβεβληκότων τῇ πραγματείᾳ. ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι, διʼ ἧς ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα. καὶ πρὸς τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον ἦν ἐπινοῆσαι, διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ (π. σφ. [*](1 tituli litterae minio scriptae, dein inauratae 3—9 amplificata leguntur in Heronis pers. Geometria 106 p. 138, 31 sq. Hu. 3 cf. Herodotus II 109 10 προσεδεήθησαν sc. αἱ μετρήεις 14 διʼ ἧς: διότι Heiberg 14—15 cf. Archimedes π.)
α. Ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ε, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων γ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. ἐπεὶ πᾶν παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον περιέχεσθαι λέγεται ὑπὸ δύο τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν εὐθειῶν καὶ ἔστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ περιεχόμενον τοιοῦτο, τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑτερομήκους ἔσται μονάδων ιε. ἐὰν γὰρ ἑκατέρα πλευρὰ διαιρεθῇ ἡ μὲν ΑΒ εἰς τὰς μονάδας ε, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως εἰς τὰς γ μονάδας καὶ διὰ τῶν τομῶν παράλληλοι ἀχθῶσιν ταῖς τοῦ παραλληλογράμμου [*](fol. 68r) πλευ|ραῖς, ἔσται τὸ χωρίον διῃρημένον εἰς χωρία ιε, ὧν ἕκαστον ἔσται μονάδος α. κἂν τετράγωνον δὲ ᾖ τὸ χωρίον, ὁ αὐτὸς ἁρμόσει λόγος.
β. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν. καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων γ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ. εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου καὶ τὴν ὑποτείνουσαν. προσαναπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, οὗ τὸ [*](6 ἐκθησώμεθα: corr. Heiberg 8 spatium 8 litterarum; supplemento a man. 2 adscripto ἔχον addidi 10 αὐτὴν: correxi spatium 8 litterarum; suppglevi 11 spatium 12 litterarum; supplevi coll. Eucl. Elem. II def. 1. 12 spatium 13 litterarum; supplev. 〈εχουσῶν πλευρῶν〉 man. 2 13 spatium 9 litterarum; supplevi. 〈ὀρθογώνιον τὸ〉 man. 2 14 spatium 15 litterarum; supplevi. 〈ἑκατέρα τῶν πλευρῶν〉 m. 2 15 τὰς ε μονάδας)
γ. Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι. τὴν δὲ ΒΓ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν τῶν ἴσων μονάδων ι [*](fol. 68v) τὴν δὲ ΒΓ | μονάδων ιβ. εὑρεῖν αὐτοὺς τὸ ἐμβαδὸν. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠. καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ, διὰ δὲ τῶν Β, Γ τῇ Α∠ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΓΖ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές [*](1 spatium 19 litterarum; supplevit man. 2 2 spatium 20 litterarumu; supplevit man. 2 3 ΑΒ: corr. man. 2 spatium 18 litterarum; supplevit man. 2 4 spatium 17 litterarum; supplevi. 〈ἡ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία καὶ . . .〉 man. 2 5 spatium 17 litterarum; supplevi. ΑΓ ὑποτεινούσης man. 2 6 ἀπὸ τῶ: corr. man. 2 7 spatium 25 litterarum; supplevi. 〈τ. μ ιϛ συναμφότερα· καὶ τὸ ἀπὸ〉 man. 2 8 spatium 17 litterarum; supplevi. 〈ἄρα ἔσται μονάδων ε〉 man. 2 9 spatium 21 litterarum; supplevi. τὰ μὲν β: correxi 11 spatium 17 litterarum; supplevi post αὐτὰ spatium 9 literarum; supplevi 13 spatium 20 litterarum; supplevi)
δ. Τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων τὰς γωνίας δεῖ ἐπισκέψασθαι ὅπως τὰς ἀγομένας καθέτους ἀπὸ τῶν γωνιῶν ἐπὶ τὰς πλευρὰς εἰδῶμεν, ἤτοι ἐντὸς τῶν γωνιῶν πίπτουσιν ἢ ἐκτός· ἔστω οὖν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεισῶν μοιρῶν. καὶ δέον ἐστὶν ἐπισκέψασθαι εἰ τύχοι τὴν πρὸς τῷ Α γωνίαν, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀμβλεῖα ἢ ὀξεῖα· εἰ μὲν οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς [*](fol. 68r) ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώ|νοις, δῆλον ὅτι ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία· εἰ δὲ ἔλασσον, ὀξεῖα· εἰ δὲ μεῖζον, δῆλον ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία. ὑποκείσθω δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν [*](5 spatium 3 litterarum; supplevit Heiberg 13 spatium 17 litterarum; supplevi 14 versus unus et dimidius vacui; supplevi) [*](15 spatium 18 litterarum; supplevi; [ἐπισκε] etiam m. 2.) [*](17 ἴδωμεν: corr. Heiberg 20 fortasse δέον ἔστω 21 spatium 5 litterarum; supplevit man. 2. 24 ἐλάσσων et μείζων: correxi) [*](26 δὲ: correxi ἀπὸ τῆι: correxi ἐλάσσων: correxi)
ε. Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ιδ, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιε. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. φανερὸν --- ὅτι ὀξεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Β γωνία· τὸ γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον ἔλασσον ἐστὶ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ τετραγώνων. κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔλασσόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ὡς --- δέδεικται. καὶ ἔστι τὰ μὲν ἀπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ μονάδων τξε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων σκε· λοιπὸν ἄρα τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ μονάδων ρμ· τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔσται μονάδων ο. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ιδ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶ [*](1 τῶν ἀπὸ τὸ: correxi 13 [ὀξυγώνιον] Heiberg 14 lacuna 15 litterarum capax; supplevi 16 spatium 14 litterarum; supplevi ὅτι; cetera dubia, f. ἐκ τῶν προγεγραμμένων τῷ Α: corr. Heiberg 17 spatium 14 litterarum; supplevi 18 spatium 17 litterarum; supplevi 19 spatium 26 litterarum; supplevi 20 τοῖς ἀπὸ: correxi 21 spatium 14 litterarum; fortasse 〈ἐν τοῖς)
ϛ. Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ Α∠. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒΒΓ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠. καὶ ἔστιν τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ μονάδων υ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ μονάδων ρκα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ ρξθ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ τῶν ΓΒΒ∠ μονάδων ρι. τὸ ἄρα ἅπαξ ὑπὸ τῶν ΓΒ Β∠ ἔστιν μονάδων νε. καὶ ἔστιν ἡ ΒΓ μονάδων ια· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδων ε. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ μονάδων ιγ· ἡ ἄρα Α∠ ἔσται μονάδων ιβ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ μονάδων ια· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Α∠ ΒΓ ἔσται μονάδων ρλβ. αὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ Γ τριγώνου. τὸ ἄρα ΑΒΓ
Μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμετρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα, ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιησόμεθα.
ζ. Ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τοῦ ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον πλευρὰ ὁ ὑπὸ ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός. ἐπεὶ
η. | Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν χωρὶς καθέτου· οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου πλευραὶ μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ τὰ θ· γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίγνεται ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας· λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η· λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ· λοιπαὶ γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε· γίγνονται ξ. ταῦτα ἐπὶ τὸν δ· γίγνονται σμ· ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται ψκ· τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου. ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι, ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως· ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ, μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ· γίγνεται κϛ καὶ τρίτα δύο· πρόσθες τὰς κζ· γίγνεται νγ τρίτα δύο. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται κϛU+2220γ΄. ἔσται ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϛU+2220γ΄. τὰ γὰρ κϛU+2220γ΄ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛ΄· ὥστε τὸ διάφορον μονάδος [*](5 τὸν ἀπὸ: correxit m. 2 7 ἴσος τὸ: corr. man. 2 9 τὸ πὸ: corr. man. 2 11 ὑπὸ τὸν: correxi 20 τῶν δ: correxi τῶν γ:)
ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε· τριγώνου δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντας μίαν κάθετον καὶ πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν, δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν πορίσασθαι.
[*](3 ταῦτα: correxit Curtze 4 ἔλαττον: corr. et suppl. Heiberg 7 cf. Dioptr. cap. XXX; Hultsch Ζeitschrift f. Math. u. Phyvsik 1864 225—249; Heronis reliqu. p. 235 sq. 8 ἀγαγόντας: correxi)ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΝΓ καὶ ἔστω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ∠Η, ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒ ∠Η τοῦ ΑΒΗ τριγώνου· [*](fol. 71r) τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τρι|γώνου καὶ τῆς ΕΗ, τουτέστι τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ∠ΕΖ κύκλου, διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. ἡ ΓΒ, καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν Α∠ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ∠Β τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ· ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν ἐφʼ ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ. ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰσὶν δὲ καὶ αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας ταῖς ΑΗ, ΒΗ, ΓH καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ΑΗ∠ ταῖς ὑπὸ τῶν ΑΗΓ, ∠ΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας εἶναι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ Γ ΛΒ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ Α∠Η ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΓΒΛ [*](7 suppl. m. 2 20 ΒΛ: ΛΒ suprascripsit m. 2 21 τῶ:)
θ. | Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου, ἔστω μὴ ῥητῆς ὑπαρχούσης τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν. ἔστω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν μὲν ΑΒ μονάδων η, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ι, τὴν δὲ ΑΓ μονάδων ιβ· καὶ ἤχθω κάθετος ἡ Α∠. ἀκολούθως δὴ τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ ΓΒ∠ μονάδων κ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδος α, καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ μονάδων ξδ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται μονάδων ξγ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ μονάδων ρ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἔσται μονάδων ϛτ. τούτου δὲ πλευρά ἐστιν ὁ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτόν· ὁ ὑπὸ τῶν ΒΓ Α∠ ἄρα ἐφʼ ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϛτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτὸ μονάδων αφοε· ὧν γὰρ τετραγώνων αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ τριγώνου· ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει αφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου. [*](2 〈τῆς〉 addidi 18—19 [ἐφʼ ἑαυτὸν]: delevit man. 2 25 ἥμισυ: in ἡμίσεος mutavit et 〈πλευρὰ〉 add. m. 2 perperam 28 λαβόντα ex λαβεῖν τα fec. m. 1)
ι. Ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὰς [*](fol. 72v) ἔχον τὰς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίας, καὶ ἔστω ἡ | μὲν Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ ια, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν Γ∠. τετμήσθω δίχα ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Α∠ ἐπὶ τὸ Ζ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε τῇ ΕΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΗΓ. κοιναὶ προσκείσθωσαν αἱ Α∠ ΒΗ· συναμφότερος συναμφότερος ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση ἐστίν. δοθεῖσα δέ ἐστιν συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ. ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα αὐτῶν· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ, τουτέστι δύο αἱ ΒΗ καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα. ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ∠Ε τρίγωνον τῷ ΕΗΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕ∠ πεντάπλευρον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓ∠ τραπεζίῳ ἴσον ἐστι. δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἡ δὲ Γ∠ εὑρεθήσεται οὕτως· ἤχθω κάθετος
ια. | Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ∠ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων ιγ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ιϛ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ τὴν κάθετον. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΕΓ∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α∠ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΕ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν, ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα· καὶ ἔσται μονάδων ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ ΑΒ, Γ∠ τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθωσαν
ιβ. Ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀξεῖαν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ κάθετος ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ· ἡ [*](2 ΓΗΘ: correxi 3 προστιθέντος: correxi 7 ΚΜΛΗ correxi 10 sq. spatium 8 litterarum; supplevi 12 lacuna 9 litterarum; supplevi 21 〈ταῦτα〉 m. 2.)
ιγ. Ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ κ, ἠ δὲ ΑΓ ϛ, ἡ δὲ Β∠ μονάδων ιζ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΖ· ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ, ἡ δὲ Ζ∠ μονάδων ϛ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ.
ιδ· Ὁ δὲ ῥόμβος καὶ τὸ ῥομβοειδὲς τὴν μέτρησιν φανερὰν ἔχουσιν. δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον. ὧν δοθέντων ὁ μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκείμενος, τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγωνίων [*](fol. 74v) |ἢ ἀμβλυγωνίων, καὶ διὰ τοῦτο δοθήσεται αὐτῶν τὸ ἐμβαδόν. τὰ μὲν οὖν ἀποδειχθέντα τετράπλευρα μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ παράλληλον εἶχε· τὸ δὲ παρὸν τὸ Α ΒΓ∠ τὴν μὲν πρὸς τῷ Γ γωνίαν ἐχέτω ὀρθὴν, μηδεμίαν δὲ πλευρὰν μηδεμιᾷ παράλληλο ν καὶ ἔτι ἑκάστην τῶν πλευρῶν δοθεῖσαν, τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ Β Γ μονάδων ι, τὴν δὲ Γ∠ μονάδων κ, τὴν δὲ ∠Α μονάδων ιζ· δεῖξαι αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐπεζεύχθω ἡ Β∠· καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΑΕ. ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΓ Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν καὶ ὀρθὴ ἡ πρὸς τῷ ∠Γ, δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον· καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ τῆς Β∠ ἔσται δοθέν· ἔστι γὰρ μονάδων φ· ἀλλὰ καὶ [*](2 διπλάσιον τὸ: corr. m. 2 5 τρίγωνον: corr. m. 2 10 in mg. numerus capitis non adscriptus 14—15 ὀξυγώνων: correxi 15 spatium 12 litterarum; supplevit m. 2 16 spatium 12 litterarum; supplevi. 〈ἕκαστον〉 perperam m. 2 17 spatium 17 litterarum; supplevit m. 2 18 spatium 13 litterarum; supplevit m. 2)
ιε. Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ∠ δοθεῖσαν ἔχον ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓ∠ γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν Γ∠ κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν Β∠ ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ Β∠ καὶ ἡ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ, Α∠ δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒ∠ τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΑΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν περιέχουσι· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν [*](5 〈ρ〉 im rasura scripsit man. 2 6 ἐπὶ τῶν: correxi spatium 6 litterarum: supplevi 8 ΑΒΓ: corr. et τριγώνου add. m. 2 10 spatium 4 litterarum: supplevit m. 2 [ἔστιν] delevi 〈σι〉 suprascr. m. 2 spatium 4 litterarum: supplevit m. 2)
ρκθ καὶ ρξ· ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπὰ λθ καὶ δ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ· γίγνεται ϛυ· ὧν πλευρὰ γίγνεται π· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται μ. ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ. ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ ὁμοίως μ· ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠ τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
[*](fol. 76v)Ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπί τε τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων τεταγμένων εἰπεῖν, προγέγραπται· ἐὰν δὲ δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν, δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν αὐτοῦ, ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ μεθόδῳ. ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν. τῶν γὰρ αὐτῶν πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς. καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω, ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων εὐθυγράμμων γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου, ἐπειδὴ τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ.
ιζ. Ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι. καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ. ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ Α∠. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΒ, τῆς Β∠, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ Β∠. ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Β. τοῦ δὲ ἀπὸ ∠Β τετραπλάσιόν [*](11 ὡς τὸ: corr. man. 2)
Λῆμμα. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν πρὸς τῷ Γ, δύο δὲ πέμπτων ὀρθῆς τὴν πρὸς τῷ Α. δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ ἐπὶ τὸ ∠, καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ Γ∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ Β∠. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ Β∠, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒ∠. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνία τριῶν πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς διὰ τὸ τῆν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν δύο πέμπτων εἶναι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒ∠ γωνία ἓξ πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· πενταγώνου ἄρα ἐστὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ∠. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β∠· | [*](fol. 77v) τῆς ἄρα Α∠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ. καὶ ἔστι τῆς Α∠ ἡμίσεια ἡ ΑΓ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ.
ιη. Ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠Ε. οὗ ἐκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζ∠ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΖΗ. ἔσται ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ∠ γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς· ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἔστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἀλλ᾿ ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετραγώνου πενταπλάσιον, ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν· ἔστι δὲ ὁ πα πρὸς ιϛ. συναμφοτέρος ἄρα ὁ ΓΖ ΖΗ λόγον ἔχει πρὸς τὸν ΖΗ, ὃν θ πρὸς δ. καὶ διελόντι ὁ ΓΖ πρὸς ΖΗ λόγον ἔχει ὃν ε πρὸς δ. καὶ τοῦ ἀπὸ ΓΖ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν κε πρὸς ιϛ. καὶ λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὃν θ πρὸς
ιθ. Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ ἀνὰ μονάδας ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, Η∠. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΓΗ, Η∠· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ πλευρὰ δοθεῖσα· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον.
Λῆμμα. Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃν η πρὸς ζ. ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΒΓ περὶ κέντρον τὸ Α, καὶ ἐνηρμόσθω εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ. τουτέστιν ἴση τῇ [*](fol. 78v) ἐκ τοῦ κέν|τρου τοῦ κύκλου· καὶ κάθετος ἐπʼ αὐτὴν ἡ Α∠. ἔσται ἄρα ἡ Α∠ ὡς ἔγγιστα ἴση τῇ τοῦ ἑπταγώνου πλευρᾷ. ἐπεζεύχθωσαν αἱ Β∠, ΑΓ· ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β. λόγος ἄρα τῆς Α∠ πρὸς ∠Β δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃν τοῦ μθ πρὸς ιϛ· καὶ μήκει λόγος τῆς Α∠ πρὸς ∠Β, ὃν ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς Β∠ διπλῆ ἡ ΒΓ· τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς ∠Α λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.
κ. Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Θ, ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε ἡ ΘΚ. λόγος ἄρα τῆς Θ∠ πρὸς ∠Ε, ὃν η πρὸς ζ, πρὸς δὲ τὴν ∠Κ, ὃν η πρὸς γU+2220, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ζ. ὥστε τῆς ΘΕΚ πρὸς Κ∠ λόγος ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν ιδ γ΄ πρὸς τὸν ζ, τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα. [*](5 μ βφ: corr. m. 3 9 ὁ η: correxi 17 ὃν: correxi 27 [Ε] del. m. 1 (?))