Metrica
Hero of Alexandria
Hero of Alexandria, Metrica, Schöne, Teubner, 1900
κα. | Ἔστω ὀκτάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Κ∠, ΚΕ καὶ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ. ἡ ἄρα ὑπὸ ∠ΚΕ γωνία ἡμίσους ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε τετάρτου ἐστὶν ὀρθῆς ἡ ὑπὸ ∠ΚΛ. συνεστάτω δὴ αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ Κ∠Μ· τετάρτου ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ Κ∠Μ· ἡμίσους ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΜΛ ἐστὶν ὀρθῆς. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Λ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ∠Λ τῇ ΜΛ. διπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ ∠Μ τοῦ ἀπὸ ΜΛ· ἡ ἄρα ∠Μ πρὸς ΜΛ λόγον ἔχει ἔγγιστα, ὃν ιζ πρὸς ιβ. ἴση δέ ἐστιν ἡ [*](1 ΜΒ: Β in rasura m. 2 (?) 4 inserui 17 ἑξῆς ἡ κα- ταγραφή in marg. inf. m. 1)
κγ. Ἔστω δεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Μ, καὶ ἐπεζεύχθωσαναἱ ΜΕ, ΜΖ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ΕΖ ἡ ΜΝ. [*](fol. 80r) | ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΜΖ γωνία δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΜΝ πέμπτου ἐστὶν ὀρθῆς. συνεστάτω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΜΕΞ· δύο ἄρα πέμπτων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΝΞΕ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΕΝΞ· λόγος ἄρα τῆς ΕΞ πρὸς ΝΞ, ὃν ε πρὸς δ, πρὸς δὲ τὴν ΕΝ, ὃν ε πρὸς [*](1 ἐνάγωνον: correxi 4 ἐνάγωνον (sic) m. 1 19 ΘΙΚ: sed Ι del. m. 1)
κδ. Ἔστω ἑνδεκάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜ, οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. περιγεγράφθω περὶ αὐτὸ κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Ν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΞΗ. τὸ ἄρα ΖΗΞ τρίγωνον δύο ἑνδέκατα τοῦ ἑνδεκαγώνου ἐστὶν. δέδεικται δὲ ἐν τοῖς περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν, ὅτι λόγος τῆς ΖΞ πρὸς ΖΗ ὡς ἔγγιστα ὁ τῶν κε πρὸς ζ, ὁ δὲ τῆς πρὸς ΗΖ λόγος, ὃν κδ πρὸς ζ· τοῦ ἄρα ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ΖΗΞ τρίγωνον λόγος ὁ τῶν μθ πρὸς πδ, τουτέστιν ὁ τῶν [*](fol. 80v) ζ πρὸς ιβ. τοῦ δὲ τριγώνου | πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγος, ὃν β πρὸς ια· ὥστε πρὸς τὸ ἑνδεκάγωνον λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ, ὃν ζ πρὸς ξϛ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ ΖΗ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἑνδεκάγωνον. συντεθήσεται δὴ οὕτως· τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ξϛ· γίγνεται ϛχ. τούτων τὸ ἕβδομον· γίγνεται Ϡ μβ ϛ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑνδεκαγώνου.
[*](1 ΝΞΖ: sed Ξ del. m. 1 3 τοῦ ἀπὸ Ε: supplevi 4 ΕΖΜ: supplevi 10 τοσοῦτον: correxi 17 cf. quae ad p. 58, 19 ad- scripsi 20 ΖΗΖ: correxi 25 ΖΗ∠· ὅθεν: correxi)Ὅσα δὲ τῶν πολυγώνων σχημάτων οὔκ ἐστιν ἰσόπλευρα καὶ ἰσογώνια, ταῦτα εἰς τρίγωνα καταδιαιρούμενα μετρεῖται· τὰ δὲ περιφερῆ τῶν ἐπιπέδων σχημάτων καὶ καθόλου τῶν ἐπιφανειῶν ὅσαι δύνανται μετρεῖσθαι, ἑξῆς κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐκθησόμεθα.
κϛ. Ἀρχιμήδης μὲν οὖν ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει c. 2 t. Ι p. 262 Heib.) δείκνυσιν, ὅτι ια τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα γίγνεται ὡς ἔγγιστα ιδ κύκλοις· ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ι, δεήσει τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ ποιῆσαι· γίγνονται ρ· ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται αρ· ὧν τὸ ιδ΄. γίγνεται οηU+2220ιδ΄. τοσούτου δεῖ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ κύκλου. ὁ δὲ αὐτὸς Ἀρχιμήδης δείκνυσιν ἐν τῷ περὶ πλινθίδων καὶ κυλίνδρων, ὅτι παντὸς κύκλου ἡ περίμετρος πρὸς τὴν διάμετρον μείζονα μὲν λόγον ἔχει ἢ ὃν ἔχει μ αωοε πρὸς μ ζυμα, ἐλάσσονα δὲ ἢ ὃν ἔχειν μ ζωπη πρὸς μ βτνα· ἀλλʼ ἐπεὶ οὗτοι οἱ ἀριθμοὶ πρὸς τὰς μετρήσεις οὐκ εὐθετοῦσι, καταβιβάζονται εἰς ἐλαἀριθμούς, ὡς τὸν κβ πρὸς τὰ ζ. ὥστε ἐὰν δοθῇ ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου εἰ τύχοι μονάδων ιδ καὶ βούληταί τις τὴν περίμετρον εὑρεῖν, δεῖ ποιῆσαι τὰ ιδ ἐπὶ τὰ κβ καὶ τούτων λαβεῖν τὸ ἕβδομον, καὶ ἀποφαίνεσθαι τοσούτου τὴν περίμετρον· ἔστι δὲ μονάδων μδ. [*](fol. 81v) καὶ ἀνάπα |λιν δὲ, ἐὰν δοθῇ ἡ περίμετρος μονάδων μδ καὶ βουλώμεθα τὴν διάμετρον εὑρεῖν, ποιήσομεν τὰ μδ ἑπτάκις καὶ τῶν γενομένων τὸ κβ΄ λαβόντες ἕξομεν τὴν διάμετρον· ἔστι δὲ ιδ. δείκνυσι δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει (c. 1 t. I p. 259 Heib.), ὅτι τὸ ὑπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου διπλάσιόν ἐστι τοῦ κύκλου· ὥστε
Ἐὰν δέῃ χωρίου τινὸς δοθέντος ἤτοι εὐθυγράμμου ἢ οἱουδηποτοῦν τούτῳ ἴσον κύκλον πορίσασθαι, λαβόντες τὸ ἐμβαδὸν τοῦ χωρίου· ἔστω δὲ μονάδων ρνδ· τούτων τὰ ιδ ἑνδέκατα· ἃ γίγνεται ρ𝔮ϛ· καὶ τούτων πάλιν λαβόντες πλευρὰν· ἔστι δὲ μονάδων ιδ· τοσούτου ἀποφανούμεθα τὴν τοῦ κύκλου διάμετρον.
Δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τὸ μεταξὺ τῶν περιφερειῶν αὐτῶν χωρίον δυνατόν ἐστιν εὑρεῖν μετρήσαντα ἑκάτερον τῶν κύκλων καὶ ἀφελόντα ἀπὸ τοῦ μείζονος τὸν ἐλάσσονα. ἵνα δὲ μὴ δύο κύκλων μέτρησιν ποιησώμεθα, δείξομεν οὕτως.
Ἔστωσαν δύο κύκλοι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, ὧν διάμετροι αἱ ΑΒ Γ∠. ἐπεὶ οὖν τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ μείζονος κύκλου καὶ ὁμοίως τοῦ ἀπὸ τῆς Γ∠ τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἐλάσσονος κύκλου, τῆς ἄρα τῶν ἀπὸ ΑΒ Γ∠ ὑπεροχῆς τὰ ια ιδ΄ γίγνεται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ εἰρημένου χωρίου, ὃ καλεῖται ἴτυς. ἡ δὲ τῶν ἀπὸ ΑΒΓ∠ ὑπεροχὴ τὸ τετράκις ἐστὶν ὑπὸ ΓΒ Β∠· ἐπειδήπερ καὶ τὸ τετράκις ὑπὸ ΓΒ Β∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΓΒ Β∠. συναμφότερος δὲ ἡ ΓΒ Β∠ ἴση ἐστὶ τῇ ΑΒ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ Β∠ τῇ ΑΓ ἴση ἐστὶν. ὥστε ἐὰν δοθῇ [*](4 ἀποφαινούμεθα: corr. m. 1 9 post ιδ spatium 2 litt- erarum; 〈ια〉 ins. m. 2 11 ἀποφαινομένου: correrxi 20 ιδ ια: corr. m. 2 23 ιδ ια: correxi 25 〈τὸ〉 inserui)
κζ. Εἰς δὲ τὴν τοῦ τμήματος μέτρησιν προγράψομεν ταῦτα. ἔστω ὁσαδηποτοῦν μεγέθη τετραπλάσια ἀλλήλων τὰ Α, Β, Γ, ∠ ἢ καὶ πλείονα ἀρχόμενα ἀπὸ μεγίστου τοῦ Α· λέγω ὅτι τὸ γ΄ τοῦ Α ἴσον ἐστὶν τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠· ἐπεὶ γὰρ τὸ Α τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ Β, τὸ Α ἄρα ἴσον ἐστὶ τέτταρσι τοῖς Β. τὸ ἄρα τρίτον τοῦ Α ἴσον ἐστὶ τῷ Β καὶ τῷ γ΄ τοῦ Β. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ γ΄ τοῦ Β ἴσον ἐστὶν τῷ Γ καὶ τῷ γ΄ τοῦ Γ. ὁμοίως δὴ καὶ τοῦ Γ τὸ γ΄ ἴσον ἐστὶ τῷ ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠. ὥστε τὸ γ΄ τοῦ Ἂ ἴσον ἐστι τοῖς ΒΓ∠ καὶ τῷ γ΄ τοῦ ∠.
κη. Ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἡ ∠Β, ἀπὸ δὲ μέσης τῆς Α∠ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ. ὅτι ἡ Β∠ τῆς ΕΖ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ Β∠, ΖΕ ἐπὶ τὰ Η, Θ, καὶ κάθετος ἡ ΖΚ. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ Α∠ τῆς ∠Ε, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Ε, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΖΚ. [*](3 τὰ in τὸ mut. m. 2 ιδ ια: correxi 10 in mg. τὸ τριτημόριον τοῦ Α m. 1 καὶ: ἔτι supra scr. m. 2 11 τῷ γ΄: ριτημορίῳ supra scr. m. 2 14 τέταρσι: correxi)
κθ. Ἔστω τμῆμα τὸ ἐπὶ τῆς ΑΓ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ ἡ ∠Β καὶ δίχα αἱ ΑΒ, ΒΓ περιφέρειαι κατὰ τὰ Ε, Ζ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ἔλασσόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἤχθω κάθετος μὲν ἐπὶ τὴν ΑΒ ἡ ΕΗ, παράλληλος δὲ τῇ Β∠ διὰ τοῦ Η ἡ ΘΚ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ ΘΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ Κ∠. ἡ ἄρα Β∠ τῆς ΘΚ ἐλάττων ἐστὶν ἢ ἐπίτριτος. τῆς δὲ ΗΚ ἔστι διπλῆ· ὥστε ἡ ΚΗ τῆς ΘΗ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλασίων· ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς ΘΗ, τὸ ΑΚΒ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΒΘ τρίγωνον· ἔλαττον ἄρα ἐστὶν ἢ διπλάσιον τὸ ΑΚΒ τρίγωνον τοῦ ΑΒΘ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΚΒ διπλάσιόν ἐστιν τὸ ΑΒ∠· ἔλαττον ἄρα ἢ τετραπλάσιον τὸ ΑΒ∠ τοῦ ΑΒΘ· τὸ δὲ ΑΒΘ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστι τοῦ ΑΕΒ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΗ τῆς ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ καθέτου. πολλῷ ἄρα τὸ Α∠Β ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΑΕΒ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ∠ΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τοῦ ΒΖΓ τριγώνου· τὸ ἄρα ΑΒΓ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων.
λ. | Τὸ δὲ τμῆμα τοῦ κύκλου τὸ ἔλαττον ἡμικυκλίου οἱ μὲν ἀρχαῖοι ἀμελέστερον ἐμέτρουν. συντιθέντες [*](1 Η∠Β: sed ∠ in ras. m. 2 (?) 6 〈ἢ〉 add. m. 2 18 〈ἡ〉 add. m. 2)
λα. Οἱ δὲ ἀκριβέστερον ἐζητηκότες προστιθέασι τῷ [*](fol. 83v) εἰρημένῳ ἐμβαδῷ τοῦ τμήματος | τὸ ιδ΄ μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς βάσεως. οὗτοι δὴ τῇ ἑτέρᾳ φαίνονται ἠκολουθηκότες ἐφόδῳ, καθʼ ἣν ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια τριπλασία ἐστὶ τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου καὶ τῷ ζ΄ μέρει μείζων· ἐὰν γὰρ ὁμοίως ὑποστησώμεθα τὴν μὲν ΑΒ διάμετρον μονάδων ιδ, τὴν δὲ ∠Γ κάθετον ζ, ἔσται ἡ περιφέρεια τοῦ ἡμικυκλίου μονάδων κβ· ἐπὶ τὸν ζ· γίγνεται ρνδ. ὧν ἥμισυ γίγνεται οζ. καὶ τοσούτου τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἡμικυκλίου ἀποφαίνεσθαι. [*](2 τούτου: corr. m. 2 〈τοῦ〉 addidit m. 2 5 ταύτην: corr. m. 2)
λβ. Πᾶν τμῆμα κύκλου μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος [*](fol. 84r) ἴσον. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸ | ΑΒΓ καὶ ἀπὸ μέσης τῆς ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ∠Β καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. λέγω ὅτι τὸ ΑΒΓ τμῆμα μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον τοῦ ΑΒΓ τριγώνου· τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ ΒΓ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ ΕΒ ΒΖ ΖΓ. τὸ ἄρα ΑΒΓ τρίγωνον ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον τῶν ΑΕΒ ΒΖΓ τριγώνων. ἔστω οὖν τῷ μὲν ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον τὸ Η χωρίον, τοῖς δὲ ΑΒΕ ΒΖΓ τριγώνοις ἴσον τὸ ΘΚ. τὸ ἄρα Η τοῦ ΘΚ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετραπλάσιον, --- [*](1 συνθέντες: corr. Heiberg 4 τὰ ιδ΄: correxi 16 μεῖζον: correxi 23 ἐπίτριτος: corr. m. 2 28 τοῦ ΘΚ: correxi; τὸν m. 2)
Λῆμμα. Ἔστω τῷ μὲν Η ἴσον τὸ ΑΒ, τοῖς δὲ Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ τὸ ΒΓ∠, τὸ δὲ ΑΒ τοῦ ΒΓ ἔλασσον ἢ τριπλάσιον ἔστω· πῶς ἀναστρέψαντι τὸ ΑΓ, τουτέστι τὸ Η μετὰ τῶν Θ, Κ, Λ, Ν, Μ, Ξ, τοῦ ΑΒ, τουτέστι τοῦ Η, μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον; ἔστω γὰρ τὸ Α∠ τοῦ ∠Γ τριπλάσιον· τὸῦ ΑΓ ἄρα τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ∠Γ. ἀναστρέψαντι ἄρα τὸ ΑΓ τοῦ Α∠ ἐπίτριτόν ἐστιν. τὸ ΑΓ ἄρα τοῦ ΑΒ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐπίτριτον.
[*](1 〈μείζονά ἐστιν ἢ ἐπίτριτα. τῷ δὲ Η〉 Heiberg 5 πλω. ἄρα: correxit m. 2 16 αὐτῶν: αὐτοῦ Heiberg 18 ἀπὸ: correxi 22 τὸ ΒΓ∠: [∠] seclusit Nath 25 〈ἢ〉 add. m. 2 26 τοῦ ΑΓ: corr. m.2)λγ. | Ἐὰν δὲ δέῃ τμῆμα μετρῆσαι μεῖζον ἡμικυκλίου, μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα κύκλου τὸῦ ΑΒΓ, οὗ ἡ μὲν ΑΓ βάσις ἔστω μονάδων ιδ, ἡ δὲ Β∠ κάθετος μονάδων ιδ. προσαναπεπληρώσθω ὁ κύκλος καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠ ἐπὶ τὸ Ε. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Β∠Ε, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς Α∠ μονάδων ἐστὶ μθ, ἔσται ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε μονάδων μθ. καὶ ἔστιν ἡ Β∠ μονάδων ιδ ἡ ἄρα ∠Ε ἔσται μονάδων γU+2220· ἔστιν δὲ καὶ ἡ ΑΓ μονάδων ιδ· τοῦ ἄρα ΑΕΓ τμήματος, ὅ ἐστιν ἔλασσον ἡμικυκλίου, τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων, ὡς ἐμάθομεν, λδ η΄. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Β∠ ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ δὲ ∠Ε γU+2220, ἡ ἄρα ΒΕ διάμετρος ἔσται μονάδων ιζU+2220· τοῦ ἄρα κύκλου τὸ ἐμβαδὸν ὡς ἐμάθομεν ἔσται σμU+2220η΄. ὧν τὸ τοῦ ΑΕΓ τμήματος ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λδη΄. λοιπὸν ἄρα τὸ τοῦ ΑΒΓ τμήματος ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων σϛU+2220.
λδ. Ἔστω δὲ ἔλλειψιν μετρῆσαι, ἧς ὁ μὲν μείζων ἄξων μονάδων ιϛ, ὁ δὲ ἐλάσσων ιβ. ἐπεὶ οὖν ἐν τοῖς κωνοειδέσιν Ἀρχιμήδους δείκνυται (c. 5 t. l p. 312 Heib.) ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ἀξόνων δύναται κύκλον ἴσον τῇ ἐλλείψει, δεήσει τὰ ιϛ ἐπὶ τὰ ιβ πολλαπλασιάσαντα [*]( τοῦ ΑΒΓ: correxi 19 ante λδ η΄ delevit μν m. 1 20 γε: corr. m. 2 28 〈διάμετρον〉 κύκλου ἴσου coni. Heiberg)
λε. Ἔστω δὴ παραβολὴν μετρῆσαι τὴν ΑΒΓ, ἧς ἡ μὲν βάσις ἐστὶ μονάδων ιβ, ὁ δὲ Β∠ ἄξων μονάδων ε. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ ΒΓ. τῷ ἄρα ἐμβαδῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἴσον ἐστὶ τὸ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ ΑΓ [*](fol. 85v) Β∠, | τουτέστι μονάδων λ. ἀπέδειξεν δὲ Ἀρχιμήδης ἐν τῷ ἐφοδικῷ, ὡς προείρηται, ὅτι πᾶν τμῆμα περιεχόμενον ὑπό τε εὐθείας καὶ ὀρθογωνίου κώνου τομῆς, τουτέστι παραβολῆς, ἐπίτριτόν ἐστι τριγώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, τουτέστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. τοῦ δὲ ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων λ. τὸ ἄρα τῆς παραβολῆς ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων μ.
λϛ. Ἔστω κυλίνδρου ἐπιφάνειαν μετρῆσαι χωρὶς τῶν βάσεων, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῶν βάσεών ἐστι μονάδων ιδ, τὸ δὲ ὕψος μονάδων ε. ἐὰν δὴ νοήσωμεν τετμημένην τὴν ἐπιφάνειαν κατά τινα πλευρὰν τοῦ κυλίνδρου καὶ ἀνηπλωμένην, τουτέστιν ἐκτεταμένην εἰς ἐπίπεδον, ἔσται τι παραλληλόγραμμον, οὗ τὸ μὲν μῆκος ἔσται ἡ περιφέρεια τῆς βάσεως τοῦ κυλίνδρου, τὸ δὲ πλάτος τὸ τοῦ κυλίνδρου ὕψος. ἐπεὶ οὖν ἡ διάμετρος τοῦ κύκλου ἐστὶ μονάδων ιδ, ἡ ἄρα περιφέρεια ἔσται μονάδων μδ· τὸ ἄρα τοῦ παραλληλογράμμου μῆκος ἔσται μονάδων μδ. τὸ δὲ πλάτος μονάδων ε· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ παραλληλογράμμου ἔσται μονάδων σκ.
λζ. | Κώνου δὲ ἰσοσκελοῦς τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν ἀκολούθως ἐκπετάσαντες αὐτήν· ἐὰν γὰρ νοήσωμεν ὁμοίως κατὰ πλευρὰν ἀνηπλωμένην καὶ εἰς ἐπίπεδον ἐκτεταμένην, ἔσται τις κύκλου τομεὺς ὥσπερ ὁ ΑΒΓ∠ ἔχων τὴν μὲν ΑΒ πλευρὰν ἴσην τῇ πλευρᾷ τοῦ κώνου, τὴν δὲ ΒΓ περιφέρειαν ἴσην τῇ περιφερείᾳ τῆς βάσεως τοῦ κώνου. ἐὰν οὖν πάλιν δοθῇ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως τοῦ κώνου μονάδων ιδ, ἡ δὲ πλευρὰ μονάδων ι, ἔσται ἡ μὲν ΒΓ περιφέρεια μονάδων μδ, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ι. δέδεικται δὲ Ἀρχιμήδει ἐν τῇ τοῦ κύκλου μετρήσει, ὅτι πᾶς τομεὺς ἥμισύς ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τῆς τοῦ τομέως περιφερείας καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, οὗ ἔστιν ὁ τομεύς· τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΒ ΒΓ ἐστὶ μονάδων υπ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν τοῦ τομέως ἔσται μονάδων σκ.
λη. Τὴν δὲ ἐπιφάνειαν τῆς σφαίρας ὁ αὐτὸς ἐμέτρησεν Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (l c. 23 t. l p. 136 Heib.) ἀποδείξας τετραπλασίονα οὖσαν τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ·
λθ. Τμήματος δὲ σφαίρας τὴν ἐπιφάνειαν μετρήσομεν οὕτως. ἔστω τμῆμα σφαίρας, οὗ βάσις ὁ ΑΒΓ∠ κύκλος ἔχων τὴν μὲν ΑΓ διάμετρον μονάδων κδ, τὴν δὲ ΕΖ κάθετον μονάδων ε. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἐστὶ μονάδων ΚΛ, ἡ ἄρα ΑΖ ἐστὶ μονάδων ιβ. ἡ δὲ ΖΕ μονάδων ε· ἡ ἄρα ΑΕ ἐστὶ μονάδων ιγ διὰ τὸ ὀρθὴν εἶναι τὴν πρὸς τῷ Ζ γωνίαν. ἀπέδειξεν δὲ ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἐν τῷ περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου (I c. 42sq. t. l p. 176 Heib.) ὅτι παντὸς τμήματος σφαίρας ἡ ἐπιφάνεια ἴση ἐστὶ κύκλῳ, οὗ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ πόλου τῆς βάσεως τοῦ τμήματος· ἡ δὲ ΑΕ ἐκ τοῦ πόλου ἐστὶ τοῦ ΑΒΓ∠ κύκλου· καὶ ἔστι μονάδων ιγ. ἡ ἄρα διάμετρος τοῦ
Ὅσα μὲν οὖν ἦν σχήματα τεταγμένων ἐπιφανειῶν, αὐτάρκως νομίζομεν μεμετρῆσθαι, ἀναγκαῖον δὲ ὡς [*](fol. 87r) οἶμαι πρὸς τὰς | ἀτάκτους εἰπεῖν ἐπιφανείας, ὡς δέον αὐτὰς μετρεῖσθαι. εἰ μὲν οὖν ἐπιφάνεια ἐπίπεδός ἐστιν, ἡ δὲ περιέχουσα αὐτὴν γραμμὴ ἄτακτος ὑπάρχει, δεήσει ἐπʼ αὐτῆς τῆς γραμμῆς λαβεῖν τινὰ συνεχῆ σημεῖα, ὥστε τὰς ἐπιζευγνυούσας αὐτὰ κατὰ τὸ ἑξῆς εὐθείας γραμμὰς μὴ κατὰ πολὺ ἀποᾴδειν τῆς περιεχούσης τὸ σχῆμα γραμμῆς, καὶ οὕτως ὡς πολύγωνον μετρεῖν εἰς τρίγωνα καταδιαιροῦντα. εἰ δὲ οὔκ ἐστιν ἐπίπεδος ἡ ἐπιφάνεια, ἀλλʼ ὥσπερ ἀνδριάντος ἢ ἄλλου τινὸς τοιούτου, δεῖ λαβόντα χάρτην ὅτι λεπτότατον ἢ σινδόνα περιτείνειν κατὰ μέρος ἐπὶ τὴν ἐπιφάνειαν αὐτοῦ, ἄχρι ἂν περιειληθῇ, εἶτα ἐκτείναντα τὸν χάρτην ἢ τὴν σινδόνα εἰς ἐπίπεδον μετρεῖν περιεχομένην ὑπὸ ἀτάκτου γραμμῆς, ὡς προείρηται, καὶ ἀποφαίνεσθαι τὸ ἐμβαδὸν τῆς ἐπιφανείας. εἰ δέ τινές εἰσιν ἕτεραι ἐπιφάνειαι ἢ σχήματα ἐπιφανειῶν, μετρηθήσεται ἐκ τῶν προειρημένων· καὶ γὰρ αὐτάρκως νομίζομεν τὰς ἐκ δυεῖν διαστάσεων ἐπιφανείας μεμετρηκέναι.
[*](9 f. ἐπὶ ταύτης 23 subscriptum: Ἥρωνος Ἀλεξανδρέως ἐπιπέδων μέτρησις εὐτυχῶς.)| Μετὰ τὴν τῶν ἐπιφανειῶν μέτρησιν εὐθυγράμμων τε καὶ μὴ κατὰ τὸ ἀκόλουθον ἐπὶ τὰ στερεὰ σώματα χωρητέον, ὧν καὶ τὰς ἐπιφανείας ἐν τῷ πρὸ τούτου βιβλίῳ ἐμετρήσαμεν ἐπιπέδους τε καὶ σφαιρικάς, ἔτι τε κωνικὰς καὶ κυλινδρικάς, πρὸς δὲ τούτοις ἀτάκτους, ὧν τὰς ἐπινοίας ὥσπερ παραδόξους οὔσας τινὲς εἰς Ἀρχιμήδην ἀναφέρουσιν κατὰ διαδοχὴν ἱστοροῦντες. εἴτε δὲ Ἀρχιμήδους εἴτε ἄλλου τινός, ἀναγκαῖον καὶ ταύτας προσυπογράψψαι, ὅπως κατὰ μηδὲν ἐνδεὴς ἡ πραγματεία τυγχάνῃ τοῖς βουλομένοις αὐτὰ μεταχειρίζεσθαι.
Στερεὸν εὐθύγραμμον ὀρθογώνιον μετρῆσαι δοθείσης ἑκάστης αὐτοῦ πλευρᾶς, μήκους τε καὶ πλάτους καὶ βάθους ἢ πάχους· οὐδὲν γὰρ διοίσει εἰ ἢ κοῖλον ὑπάρχον μετρεῖσθαί τι σῶμα ἢ ναστόν. βάθος μὲν γὰρ καλεῖται ἐπὶ τῶν κοίλων σωμάτων, πάχος δὲ ἐπὶ τῶν ναστῶν. ἔστω δὲ τὸ μὲν μῆκος μονάδων κ, τὸ δὲ πλάτος μονάδων ιβ, τὸ δὲ πάχος μονάδων π. ἐὰν δὴ διʼ ἀλλήλων τοὺς ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσωμεν, γίγνονται μονάδες ατ. τοσούτων δὲ καὶ τὸ στερεὸν [*](1 titulum supplevi 11 προυπογράψαι: correxi 16 [εἰ]: ??. m. 1 19 sq. numeri corrupti)
α. Ἔστω δὴ κῶνον μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως ἔστω μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος η. ὕψος δὲ τοῦ κώνου καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετον ἀγομένην, ἐάν τε ὀρθὸς ὁ κῶνος ὑπάρχῃ ἐάν [*](fol. 88v) τε σκαληνός. νενο|ήσθω δὴ κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ κώνῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ. τούτου δὴ τοῦ κυλίνδρου τὸ στερεὸν ἔσται δοθέν. ἥ τε γὰρ διάμετρος αὐτοῦ τῆς βάσεως δοθεῖσά ἐστιν καὶ τὸ ὕψος δοθέν. καὶ ἔστιν, ὡς ἐμάθομεν, μονάδων χκη δ. ἀλλʼ ἐπεὶ πᾶς κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον, ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου μονάδων σθ ια ὁμοίως οὖν καὶ πυραμίδος πάσης τὸ στερεὸν ληψόμεθα δοθείσης τῆς βάσεως αὐτῆς καὶ τῆς ἀπὸ τῆς κορυφῆς καθέτου ἀγομένης ἐπὶ τὸ τῆς βάσεως ἐπίπεδον, ἐπειδήπερ πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον.
[*](9 post ἴσας duae litterae erasae 16—17 ἀπὸ τῆς ὀρθῆς βάσεως; correxi)β. Ἔστω δὴ κύλινδρον σκαληνὸν μετρῆσαι, οὗ ἡ μὲν διάμετρος τῆς βάσεως μονάδων ι, τὸ δὲ ὕψος μονάδων η. ὕψος δὲ καλῶ τὴν ἀπὸ τῆς ἐφέδρας αὐτοῦ κάθετον ἀγομένην ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον. νενοήσθω δὴ πάλιν κύλινδρος ὀρθὸς ἀπὸ τῆς αὐτῆς βάσεως τῷ προειρημένῳ κυλίνδρῳ ὕψος ἔχων τὸ αὐτὸ· ἐπεὶ οὖν οἱ ἰσοϋψεῖς κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις, οἱ δὲ εἰρημένοι κύλινδροι ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος, ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὀρθὸς κύλινδρος τῷ σκαληνῷ. τοῦ δὲ ὀρθοῦ τὸ στερεόν ἐστιν δοθέν· τό τε γὰρ ὕψος αὐτοῦ δοθέν ἐστιν καὶ ἡ διάμετρος τῆς βάσεως· καὶ ἔστι μονάδων χκη δ. καὶ τοῦ σκαληνοῦ ἄρα τὸ στερεὸν τοσούτου ἔσται.