Ἡ πρώτη γεωμετρία, ὡς ὁ παλαιὸς ἡμᾶς διδάσκει
λόγος, περὶ τὰς ἐν τῇ γῇ μετρήσεις καὶ διανομὰς
κατησχολεῖτο, ὅθεν καὶ γεωμετρία ἐκλήθη· χρειώδους
δὲ τοῦ πράγματος τοῖς ἀνθρώποις ὑπάρχοντος ἐπὶ
πλέον προήχθη τὸ γένος, ὥστε καὶ ἐπὶ τὰ στερεὰ
σώματα χωρῆσαι τὴν διοίκησιν τῶν τε μετρήσεων καὶ
διανομῶν· καὶ ἐπειδὴ οὐκ ἐξήρκει τὰ πρῶτα ἐπινοηθέντα
θεωρήματα, προσεδέηθησαν ἔτι περισσοτέρας
ἐπισκέψεως, ὥστε καὶ μέχρι νῦν τινὰ αὐτῶν ἀπορεῖσθαι,
καίτοι Ἀρχιμήδους τε καὶ Εὐδόξου γενναίως ἐπιβεβληκότων
τῇ πραγματείᾳ. ἀμήχανον γὰρ ἦν πρὸ τῆς
Εὐδόξου ἐπινοίας ἀπόδειξιν ποιήσασθαι, διʼ ἧς ὁ κύλινδρος
τοῦ κώνου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ
καὶ ὕψος ἴσον τριπλάσιός ἐστι, καὶ ὅτι οἱ κύκλοι πρὸς
ἀλλήλους εἰσὶν ὡς ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα πρὸς
ἄλληλα. καὶ πρὸς τῆς Ἀρχιμήδους συνέσεως ἄπιστον
ἦν ἐπινοῆσαι, διότι ἡ τῆς σφαίρας ἐπιφάνεια τετραπλασία
ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἐν αὐτῇ (π. σφ.
συναγαγεῖν, ὅσα τοῖς πρὸ ἡμῶν εὔχρηστα
ἀναγέγραπται καὶ ὅσα ἡμεῖς προ
δὲ ἄλλαι κοῖλαι ἢ κυρταὶ οὐ πᾶσαι ἐπὶ πάσας.
ἐμβαδὸς, ὅταν χωρίον τετράγωνον ἑκάστην πλευρὰν
ἔχῃ πήχεος ἑνός· ὁμοίως δὲ καὶ ἐμβαδὸς ποῦς καλεῖται,
ὅταν χωρίον τετράγωνον ἔχῃ ἑκάστην πλευρὰν ποδὸς
ἑνός. ὥστε αἱ εἰρημέναι ἐπιφάνειαι τὰς συγκρίσεις
λαμβάνουσι πρὸς τὰ εἰρημένα χωρία ἢ τὰ τούτων μέρη.
πάλιν δʼ αὖ τὰ στερεὰ σώματα τὰς συγκρίσεις λαμβάνει
πρὸς χωρίον στερεὸν εὐθύγραμμόν τε καὶ ὀρθογώνιον,
πάντη ἰσόπλευρον· τοῦτο δέ ἐστι κύβος ἔχων
ἑκάστην πλευρὰν ἤτοι πήχεος ἑνὸς ἢ ποδὸς ἑνός· ἢ
ἐκθησόμεθα· ἐξὸν γὰρ αὐτὰς πρὸς ὃ βούλεταί
τις μέτρον ὑποτίθεσθαι.
α. Ἔστω χωρίον ἑτερόμηκες
ὀρθογώνιον
ε, ἡ δὲ ΑΓ ὁμοίως
β. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον
τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν. καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων
γ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων δ. εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου
καὶ
τετραγώνῳ.
γ. Ἔστω τρίγωνον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν
ΑΒ τῇ ΑΓ καὶ ἑκατέραν
τὴν δὲ ΒΓ τῇ ΑΓ | μονάδων ιβ. εὑρεῖν αὐτοὺς
ἄρα ἐστὶν τὸ ΒΓΕΖ παραλληλόγραμμον τοῦ ΑΒΓ
τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ ἔχει τὴν αὐτὴν καὶ ἐν
ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ἐστίν. καὶ ἐπεὶ ἰσοσκελές
ἡ δὲ ΒΓ ἐστὶ μονάδων ιβ. τοῦ ἄρα ΒΓΕΖ παραλληλογράμμου
τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων 𝔮ϛ· ὥστε τοῦ
ΑΒΓ τριγώνου τὸ ἐμβαδόν ἐστι μονάδων μη. ἡ δὲ
μέθοδός ἐστιν αὕτη· λαβὲ τῶν ιβ τὸ ἥμισυ· γίνονται
ϛ· καὶ τὰ ι ἐφʼ ἑαυτὰ· γίνονται ρ. ἄφελε τὰ ϛ ἐφʼ
ἑαυτὰ, ἅ ἐστι λϛ· γίγνονται λοιπὰ ξδ.
δ. Τῶν δὲ ἀνισοσκελῶν τριγώνων
δεῖ ἐπισκέ
γωνίαν, ἤτοι ὀρθή ἐστιν ἢ ἀ
δὴ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον ἔλασσον τῶν
πρὸς τῷ Α γωνία. οὐδὲ μὴν ἀμβλεῖά ἐστιν· ἔδει γὰρ
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζον εἶναι τῶν ἀπὸ τῶν
ΓΑ ΑΒ τετραγώνων· οὐκ ἔστιν δέ· οὐδὲ ἄρα ἀμβλεῖα
ἐστιν. ἐδείχθη δὲ ὅτι οὐδὲ ὀρθή· ὀξεῖα ἄρα ἐστίν.
ὁμοίως δὴ ἐπιλογιούμεθα καὶ ἐὰν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον
μεῖζον ᾖ τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ ΑΓ τετραγώνων,
ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία.
ε. Ἔστω τρίγωνον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον τὴν
μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ
ΒΓ ὡς
ἔσται μονάδων ε. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ
μονάδων ρξη. καὶ ἔστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου διπλάσιον·
τὸ
γίγνεται τξε· ἀπὸ τούτων ἄφελε τὰ σκε·
πολυπλασίασον ἐπὶ τὸν ιδ· γίγνεται ρξη· τούτων τὸ
ἥμισυ πδ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδόν.
ϛ. Ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἔχον
τὴν μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, τὴν δὲ ΒΓ μονάδων ια,
τὴν δὲ ΑΓ μονάδων κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ
τὸ ἐμβαδόν. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ καὶ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος
ἤχθω ἡ Α∠. τὸ
ὑπὸ
αὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΑΒ ἡ αὕτη. τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ρξθ· καὶ τὰ ια ἐφʼ
ἑαυτά· γίγνεται ρκα· καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται υ.
σύνθες τὰ ρξθ καὶ τὰ ρκα· γίγνεται σ𝔮· ταῦτα ἄφελε
παράβαλε παρὰ τὸν ια· γίγνεται ε. καὶ τὰ ιγ ἐφʼ
ἑαυτά· γίγνεται ρξθ. ἄφελε τὰ ε ἐφʼ ἑαυτά· λοιπὰ
ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται ιβ. ἔσται ἡ κάθετος
μονάδων ιβ. ταῦτα ἐπὶ τὰ ια· γίγνεται ρλβ. τούτων τὸ
ἥμισυ ξϛ· τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.
Μέχρι μὲν οὖν τούτου ἐπιλογιζόμενοι τὰς γεωμετρικὰς ἀποδείξεις ἐποιησάμεθα, ἑξῆς δὲ κατὰ ἀνάλυσιν διὰ τῆς τῶν ἀριθμῶν συνθέσεως τὰς μετρήσεις ποιησόμεθα.
ζ. Ἐὰν ὦσι δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, ΒΓ, ἔσται τοῦ
ἀπὸ ΑΒ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ΒΓ τετράγωνον
πλευρὰ
τετράγωνον. ἐπεὶ οὖν τρεῖς ἀριθμοὶ ἀνάλογον ἔχουσιν,
ἔσται ὁ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσος τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου
τετραγώνῳ· ὁ ἄρα ἀπὸ τοῦ ΑΒ τετράγωνος ἐπὶ τὸν
ἀπὸ τοῦ ΒΓ ἴσος ἔσται τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐφʼ ἑαυτόν.
τοῦ ἄρα ἀπὸ ΑΒ ἐπὶ τὸν ἀπὸ ΒΓ τετράγωνον πλευρά
ἐστιν ὁ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ περιεχόμενος ἀριθμός.
η. | Ἔστι δὲ καθολικὴ μέθοδος ὥστε τριῶν πλευρῶν
δοθεισῶν οἱουδηποτοῦν τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν
εὑρεῖν χωρὶς καθέτου· οἷον ἔστωσαν αἱ τοῦ τριγώνου
πλευραὶ μονάδων ζ, η, θ. σύνθες τὰ ζ καὶ τὰ η καὶ
τὰ θ· γίγνεται κδ. τούτων λαβὲ τὸ ἥμισυ· γίγνεται
ιβ. ἄφελε τὰς ζ μονάδας· λοιπαὶ ε. πάλιν ἄφελε
ἀπὸ τῶν ιβ τὰς η· λοιπαὶ δ. καὶ ἔτι τὰς θ· λοιπαὶ
γ. ποίησον τὰ ιβ ἐπὶ τὰ ε· γίγνονται ξ. ταῦτα ἐπὶ
τὸν δ· γίγνονται σμ· ταῦτα ἐπὶ τὸν γ· γίγνεται ψκ·
τούτων λαβὲ πλευρὰν καὶ ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τριγώνου.
ἐπεὶ οὖν αἱ ψκ ῥητὴν τὴν πλευρὰν οὐκ ἔχουσι,
ληψόμεθα μετὰ διαφόρου ἐλαχίστου τὴν πλευρὰν οὕτως·
ἐπεὶ ὁ συνεγγίζων τῷ ψκ τετράγωνός ἐστιν ὁ ψκθ
καὶ πλευρὰν ἔχει τὸν κζ, μέρισον τὰς ψκ εἰς τὸν κζ·
γίγνεται κϛ καὶ τρίτα δύο· πρόσθες τὰς κζ· γίγνεται
νγ τρίτα δύο. τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται κϛU+2220γ΄. ἔσται
ἄρα τοῦ ψκ ἡ πλευρὰ ἔγγιστα τὰ κϛU+2220γ΄. τὰ γὰρ κϛU+2220γ΄
ἐφʼ ἑαυτὰ γίγνεται ψκ λϛ΄· ὥστε τὸ διάφορον μονάδος
ἡ δὲ γεωμετρικὴ τούτου ἀπόδειξίς ἐστιν ἥδε· τριγώνου
δοθεισῶν τῶν πλευρῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν.
δυνατὸν μὲν οὖν ἐστιν ἀγαγόντας μίαν κάθετον καὶ
πορισάμενον αὐτῆς τὸ μέγεθος εὑρεῖν τοῦ τριγώνου
τὸ ἐμβαδόν, δέον δὲ ἔστω χωρὶς τῆς καθέτου τὸ ἐμβαδὸν
πορίσασθαι.
ἔστω τὸ δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΝΓ καὶ ἔστω ἑκάστη
τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ δοθεῖσα· εὑρεῖν τὸ ἐμβαδόν. ἐγγεγράφθω
εἰς τὸ τρίγωνον κύκλος ὁ ∠ΕΖ, οὗ κέντρον
ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΗ, ΒΗ, ΓΗ, ∠Η,
ΕΗ, ΖΗ. τὸ μὲν ἄρα ὑπὸ ΒΓ ΕΗ διπλάσιόν ἐστι
τοῦ ΒΗΓ τριγώνου, τὸ δὲ ὑπὸ ΓΑ ΖΗ τοῦ ΑΓΗ
τριγώνου,
ἡ ΓΒ, καὶ τῇ Α∠ ἴση κείσθω ἡ ΒΘ· ἡ ἄρα
ΓΒΘ ἡμίσειά ἐστι τῆς περιμέτρου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου
διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν Α∠ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ ∠Β
τῇ ΒΕ, τὴν δὲ ΖΓ τῇ ΓΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ
ΕΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν
ΓΘ ΕΗ πλευρά ἐστιν τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ ἐπὶ τὸ
ἀπὸ τῆς ΕΗ· ἔσται ἄρα τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τὸ
ἐμβαδὸν ἐφʼ ἑαυτὸ γενόμενον ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΘΓ
ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ. ἤχθω τῇ μὲν ΓΗ πρὸς ὀρθὰς
ἡ ΗΛ, τῇ δὲ ΓΒ ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ. ἐπεὶ
οὖν ὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΗΛ, ΓΒΛ, ἐν
κύκλῳ ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗΒΛ τετράπλευρον· αἱ ἄρα
ὑπὸ ΓΗΒ, ΓΛΒ δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι. εἰσὶν δὲ καὶ
αἱ ὑπὸ ΓΗΒ, ΑΗ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι διὰ τὸ δίχα
τετμῆσθαι τὰς πρὸς τῷ Η γωνίας τα
καὶ ἴσας εἶναι τὰς ὑπὸ τῶν ΓΗΒ, ΑΗ∠ ταῖς ὑπὸ τῶν
ΑΗΓ, ∠ΗΒ καὶ τὰς πάσας τέτρασιν ὀρθαῖς ἴσας
εἶναι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΗ∠ τῇ ὑπὸ
συνθέντι, ὡς ἡ ΓΘ πρὸς ΒΘ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΚ·
ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΘ
ΓΘ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ,
ἡμίσεια τῆς περιμέτρου τῆς ΓΒ, ἡ δὲ ΒΕ ἡ ὑπεροχὴ,
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒ
λοιπαὶ ζ· καὶ ἔτι τὰς ιε· λοιπαὶ ϛ. τὰ κα ἐπὶ τὰ η,
καὶ τὰ γενόμενα ἐπὶ τὸν ζ, καὶ ἔτι τὰ γενόμενα ἐπὶ
τὸν ϛ· συνάγονται ζνϛ· τούτων πλευρὰ
θ. | Ἐπεὶ οὖν ἐμάθομεν τριγώνου τῶν πλευρῶν
δοθεισῶν εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ῥητῆς οὔσης
μονάδων ιβ· καὶ ἤχθω κάθετος ἡ Α∠. ἀκολούθως δὴ
τοῖς ἐπὶ τοῦ ὀξυγωνίου εἰρημένοις ἔσται τὸ δὶς ὑπὸ
ΓΒ∠ μονάδων κ· ἡ ἄρα Β∠ ἔσται μονάδος α, καὶ
τὸ ἀπʼ αὐτῆς ἄρα μονάδος α. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς
ΑΒ μονάδων ξδ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ ἔσται
μονάδων ξγ. ἀλλὰ
καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ
μονάδων ρ· τὸ ἄρα
ἀπὸ ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ
Α∠ ἔσται μονάδων
ϛτ. τούτου δὲ πλευρά
ἐστιν ὁ ὑπὸ
ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτόν·
ὁ ὑπὸ τῶν
ΒΓ Α∠ ἄρα ἐφʼ
ἑαυτὸν ἔσται μονάδων ϛτ. τὸ ἄρα ἥμισυ τοῦ ὑπὸ
ΒΓ Α∠ ἐφʼ ἑαυτὸ μονάδων αφοε· ὧν γὰρ τετραγώνων
αἱ πλευραὶ διπλασίονες ἀλλήλων εἰσίν, τὰ ἀπʼ
αὐτῶν τετραπλάσιά ἐστιν τῶν ἀπὸ τῶν ἡμίσεων. τὸ
δὲ ἥμισυ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΓΑ∠ τὸ ἐμβαδόν ἐστι τοῦ
τριγώνου· ἔστιν ἄρα τὸ τοῦ τριγώνου ἐμβαδὸν δυνάμει
αφοε. ἔξεστι δὲ τῶν ξγ τὴν πλευρὰν σύνεγγυς
λαβόντα εὑρεῖν τὸ ἐμβαδὸν ὡς ῥητῆς οὔσης τῆς καθέτου.
ι. Ἔστω τραπέζιον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀρθὰς
μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ ια, ἡ δὲ ΑΒ μονάδων ιβ·
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ ἔτι τὴν Γ∠. τετμήσθω
δίχα ἡ Γ∠ κατὰ τὸ Ε, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω
διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΗ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Α∠ ἐπὶ τὸ Ζ.
ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε τῇ ΕΓ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΗΓ.
κοιναὶ προσκείσθωσαν
αἱ
Α∠ ΒΗ· συναμφότερος
συναμφότερος
ἄρα ἡ ΑΖ ΒΗ
συναμφοτέρῳ
τῇ Α∠ ΒΓ ἴση
ἐστίν. δοθεῖσα
δέ ἐστιν
συναμφότερος
ἡ Α∠ ΒΓ.
ἐπεὶ καὶ ἑκατέρα
αὐτῶν· δοθεῖσα ἄρα καὶ συναμφότερος ἡ ΑΖ ΒΗ,
τουτέστι δύο αἱ ΒΗ καὶ ἡ ΒΗ ἄρα ἐστὶ δοθεῖσα.
ἀλλὰ καὶ ἡ ΑΒ· δοθὲν ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον.
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ∠Ε τρίγωνον τῷ
ΕΗΓ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΒΗΕ∠ πεντάπλευρον·
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΖΗ παραλληλόγραμμον ὅλῳ τῷ ΑΒΓ∠
τραπεζίῳ ἴσον ἐστι. δοθὲν δὲ ἐδείχθη τὸ ΑΒΖΗ
παραλληλόγραμμον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠
ἡ δὲ Γ∠ εὑρεθήσεται οὕτως· ἤχθω κάθετος
σύνθες τὰ ϛ καὶ τὰ ια· γίγνεται ιζ. τούτων τὸ ἥμισυ·
γίγνεται ηU+2220. ταῦτα ἐπὶ τὰ ιβ· γίγνεται ρβ· τοσούτου
ἄρα τὸ ἐμβαδόν. ἡ δὲ ∠Γ οὕτως· ὕφελε ἀπὸ τῶν ια
τὰ ϛ· καὶ γίγνεται λοιπὰ ε. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται
κε· καὶ τὰ ιβ ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνεται ρμδ. πρόσθες τὰ κε·
γίγνεται ρξθ. τούτων πλευρὰ γίγνεται
ια. | Ἔστω τραπέζιον ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ∠ ἴσην
ἔχον τὴν ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ ἑκατέρα αὐτῶν ἔστω μονάδων
ιγ, ἡ δὲ Α∠
μονάδων ϛ, ἡ δὲ ΒΓ
μονάδων ιϛ· εὑρεῖν
αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν καὶ
τὴν κάθετον. ἤχθω
τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ
ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω
ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΑΖ· παραλληλόγραμμον
ἄρα
ἐστὶ τὸ ΑΕΓ∠. ἴση
ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν Α∠ τῇ ΕΓ, ἡ δὲ Γ∠ τῇ ΑΕ·
ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΑΕ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΕΓ μονάδων
ϛ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΕ μονάδων ι. ἐπεὶ οὖν ἰσοσκελές
ἐστι τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ἔχον ἑκάστην πλευρὰν δοθεῖσαν,
ἔσται ἄρα καὶ ἡ ΑΖ κάθετος δοθεῖσα· καὶ ἔσται μονάδων
ιβ, ὡς προδέδεικται. τετμήσθωσαν δὴ δίχα αἱ
ΑΒ, Γ∠ τοῖς Η, Θ, καὶ κάθετοι ἐπὶ τὴν ΒΓ
αἱ ἄρα ΑΚ ∠Μ ἴσαι εἰσὶν ταῖς ΒΛ ΝΓ. κοινῶν προστεθεισῶν
τῶν Α∠ ΛΝ ἔσται συναμφότερος ἡ ΚΜΛΝ,
τουτέστι δύο αἱ ΚΜ, συναμφοτέρῳ τῇ Α∠ ΒΓ ἴση. καὶ
ἔστι δοθεῖσα συναμφότερος ἡ Α∠ ΒΓ· ἐστι γὰρ μονάδων
κβ· ἔσονται ἄρα καὶ αἱ δύο αἱ ΚΜ μονάδων κβ·
ἄρα ἡ ΚΜ
ἄφελε ἀπὸ τῶν ιϛ τὰς ϛ· γίγνονται λοιπαὶ ι. τούτων
τὸ ἥμισυ ε. καὶ ταῦτα ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται κε· καὶ
τὰ ιγ ἐφʼ ἑαυτὰ· γίγνονται ρξθ. ἄφελε τὰ κε· λοιπὰ
ρμδ. τούτων πλευρὰ γίγνεται
ιβ. Ἔστω τραπέζιον ὀξυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠ ὀξεῖαν
ἔχον τὴν πρὸς τῷ Β γωνίαν, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ
μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ μονάδων κ, ἡ δὲ Α∠ μονάδων
ϛ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων κζ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον
καὶ τὸ ἐμβαδόν. ἤχθω τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΕ καὶ
κάθετος ἡ ΑΖ. ἡ μὲν ἄρα ΑΕ ἔσται μονάδων κ· ἡ
ΑΒΓ
ιβ, ἐπεὶ καὶ ἡ
ΑΖ· τὸ ἄρα ἐμβαδὸν
τοῦ τραπεζίου
ἔσται μονάδων
ρη. συντεθήσεται
δὲ ἀκολούθως
τῇ ἀναλύσει οὕτως·
ἄφελε ἀπὸ
τῶν κζ τὰ ϛ· λοιπὰ γίγνεται κα. καὶ τριγώνου ὀξυγωνίου
τῶν πλευρῶν δοθεισῶν ιγ καὶ κα καὶ κ εὑρήσθω
ἡ ΑΖ κάθετος· ἔστιν δὲ μονάδων ιβ, ὡς ἐμάθομεν·
καὶ σύνθες κζ καὶ
ιγ. Ἔστω τραπέζιον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ∠
ἔχον ἀμβλεῖαν τὴν πρὸς τῷ Β, καὶ ἔστω ἡ μὲν ΑΒ
μονάδων ιγ, ἡ δὲ Γ∠ κ, ἠ δὲ ΑΓ ϛ, ἡ δὲ Β∠ μονάδων
ιζ. εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν κάθετον καὶ τὸ ἐμβαδόν.
ἤχθω κάθετος ἡ ΑΕ καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ ΑΖ·
ἔσται ἄρα ἡ μὲν ΑΖ μονάδων κ, ἡ δὲ Ζ∠ μονάδων ϛ·
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΖ μονάδων ια· ὥστε διὰ τὸ τὸ ΑΒΖ
τρίγωνον ἀμβλυγώνιον εἶναι ἔσται ἡ ΑΕ μονάδων ιβ.
δοθεισῶν ιγ, ια, κ εὑρήσθω ἡ κάθετος· γίγνεται ιβ· καὶ
σύνθες τὰ ιζ καὶ
φανερὰν ἔχουσιν. δεῖ γὰρ ἑκατέρου αὐτῶν τὰς πλευρὰς
δοθείσας εἶναι καὶ μίαν διάμετρον. ὧν δοθέντων ὁ
μὲν ῥόμβος ἔσται ἐκ δύο ἰσοσκελῶν τριγώνων συγκείμενος,
τὸ δὲ ῥομβοειδὲς ἐκ δύο τριγώνων ἤτοι ὀξυγων
αὐτῶν
μὲν ∠Γ,
δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΓ∠ τρίγωνον· καὶ ἔτι τὸ ἀπὸ
τῆς Β∠ ἔσται δοθέν· ἔστι γὰρ μονάδων φ· ἀλλὰ καὶ
τῶν ∠Β ΒΕ. δοθὲν ἄρα ἐστὶν
τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β ΒΕ· ὥστε
καὶ τὸ ἅπαξ ὑπὸ τῶν ∠ΒΒΕ
δοθέν ἐστι· καὶ ἔστι πλευρὰ
τοῦ ἀπὸ τῆς Β∠ ἐπὶ τὸ ἀπὸ
ΒΕ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ
∠Β ἐπὶ τὸ ἀπὸ ΒΕ· καὶ ἔστι δοθὲν τὸ ἀπὸ Β∠·
δοθὲν ἄρα κα τὸ ἀπὸ ΒΕ. ἀλλὰ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΕΑ
ἐπὶ τὸ ἀπὸ Β∠·
καὶ ἔστιν αὐτοῦ
πλευρὰ τὸ ὑπὸ
Β∠ ΑΕ. δοθὲν
ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ
Β∠ ΑΕ. καὶ ἔστι
διπλάσιον τοῦ
ΑΒ∠ τριγώνου·
δοθὲν ἄρα καὶ τὸ
ΑΒ∠ τρίγωνον·
ἀλλὰ καὶ τὸ ΒΓ∠·
ὥστε καὶ ὅλον τὸ
ΑΒΓ∠ τετράπλευρον δοθὲν ἔσται. συντεθήσεται δὲ
ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως· τὰ ι ἐπὶ τὰ κ·
γίγνεται σ. καὶ τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται ρ. καὶ
πάλιν τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. καὶ τὰ κ ἐφʼ ἑαυτά·
λοιπαὶ 𝔮ϛU+2220ε΄ι΄. ταῦτα ἐπὶ τὸν φ· γίγνεται ἔστιν
τοῦ Α κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠ δοθεῖσά ἐστιν,
δείξομεν ἑξῆς.
ιε. Ἔστω τραπέζιον τὸ ΑΒΓ∠ δοθεῖσαν ἔχον
ἑκάστην τῶν πλευρῶν καὶ ὀρθὴν τὴν ὑπὸ ΒΓ∠
γωνίαν. ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ἀπὸ τοῦ Α κάθετος
ἀγομένη ἐπὶ τὴν Γ∠. ἤχθω γὰρ ἐπὶ μὲν τὴν Γ∠
κάθετος ἡ ΑΖ, ἐπὶ δὲ τὴν ΑΖ ἡ ΒΗ, ἐπὶ δὲ τὴν
Β∠ ἡ ΑΕ. φανερὸν δὴ, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ Β∠
καὶ ἡ ἐπʼ αὐτὴν κάθετος ἡ ΑΕ, ἐπεὶ καὶ αἱ ΒΑ,
Α∠ δοθεῖσαί εἰσιν. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΒ∠
τῇ ὑπὸ ΒΘΑ, ἀλλὰ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ ὀρθῇ τῇ
ὑπὸ ΑΕΘ ἴση, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΕ
πρὸς ΕΘ. λόγος δὲ τῆς Γ∠ πρὸς ΓΒ δοθείς· λόγος
ἄρα καὶ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΘ δοθείς. καὶ ἔστι δοθεῖσα
ἡ ΑΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΘ. καὶ ὀρθὴν γωνίαν
περιέχουσι· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα
τῶν ΒΕ, ΕΘ δοθεῖσά ἐστιν, δοθὲν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν
ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιγ, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων ι, ἡ δὲ Γ∠
μονάδων κ, ἡ δὲ ∠Α μονάδων ιζ. ἀκολούθως δὴ
τοῖς ἐπὶ τοῦ ἐμβαδοῦ εἰρημένοις ἔσται ἡ μὲν ΑΕ
κάθετος δυνάμει 𝔮ϛU+2220έί, ἡ δὲ ΒΕ δυνάμει οβ έ, ἡ
δὲ Β∠ δυνάμει φ. καὶ ἐπεὶ ἡ μὲν Γ∠ ἐστὶ μονάδων
κ, ἡ δὲ ΓΒ μονάδων ι, τὰ ἄρα ἀπὸ τούτων
μονάδων υ καὶ μονάδων ρ. ποίησον οὖν ὡς τὰ υ
πρὸς ρ, τὰ 𝔮ϛ δ πρὸς τί· ἔσται πρὸς κδέ· τοσούτου
ἔσται τὸ ἀπὸ Ε
λαβόντες καὶ διπλασιάσαντες ἃ γίγνεται τοῦ δὶς ὑπὸ
τῶν ΒΕ
τὰ κδ έ· γίγνεται δυνάμει δτνϛ. μέρισον εἰς τὸν
ρκα· γίγνεται λϛ. καὶ ἄφελε ἀπὸ δυνάμει ρκα δυνάμει
λϛ λοιπὰ δυνάμει λϛ λοιπὰ δυνάμει κε, ἅ ἐστι
μήκει ε. πρόσθες ὅσων ἐστὶν ἡ ΒΓ· ἔστι δὲ ι· γίγνεται
ιε· τοσούτου ἔσται ἡ ΑΖ κάθετος. καὶ ἡ μὲν
ΕΘ δυνάμει κδέ, ἡ δὲ ΗΘ μήκει ϛ, ἡ δὲ ΑΘ
μήκει ια.
ρκθ καὶ ρξ· ταῦτα ἄφελε ἀπὸ τῶν ρξθ· λοιπὰ λθ
καὶ δ. ταῦτα πολλαπλασίασον ἐπὶ τὸν ρξδ· γίγνεται
ϛυ· ὧν πλευρὰ γίγνεται π· τούτων τὸ ἥμισυ· γίγνεται
μ. ἔσται τοῦ ΑΒ∠ τριγώνου τὸ ἐμβαδὸν μονάδων μ.
ἀλλὰ καὶ τοῦ ΒΓ∠ ὁμοίως μ· ὅλου ἄρα τοῦ ΑΒΓ∠
τραπεζίου τὸ ἐμβαδὸν ἔσται μονάδων π, ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Ὅσα μὲν οὖν ἔδει ἐπί τε τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων
τεταγμένων εἰπεῖν, προγέγραπται· ἐὰν δὲ
δέῃ καὶ τετραπλεύρου τυχόντος τὰς πλευρὰς λαβόντας
τὸ ἐμβαδὸν εἰπεῖν, δεήσει καὶ μίαν διαγώνιον λαβεῖν
αὐτοῦ, ὥστε διαιρεθὲν αὐτὸ εἰς δύο τρίγωνα ἔχειν
τὸ ἐμβαδὸν δοθέν. ἐμάθομεν γὰρ τριγώνου τῶν
πλευρῶν δοθεισῶν τὸ ἐμβαδὸν εὑρεῖν τῇ καθολικῇ
μεθόδῳ. ἄνευ δὲ μιᾶς διαγωνίου ἀδύνατον ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ τετραπλεύρου εἰπεῖν. τῶν γὰρ αὐτῶν
πλευρῶν δοθεισῶν τοῦ τετραπλεύρου μεταπίπτει τὸ
ἐμβαδὸν διαρομβουμένου αὐτοῦ καὶ παρασπωμένου
ἐν ταῖς αὐταῖς πλευραῖς. καὶ τὰ μὲν περὶ τῶν
τριπλεύρων καὶ τετραπλεύρων ἐπὶ τοσοῦτον εἰρήσθω,
ἑξῆς δὲ περὶ τῶν ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων εὐθυγράμμων
γράψομεν ἄχρι τοῦ δωδεκαγώνου, ἐπειδὴ
τοῦτο συνεγγίζει μᾶλλον τῇ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ.
ιζ. Ἔστω δὲ πρότερον τρίγωνον ἰσόπλευρον, οὗ
ἑκάστη ἐστὶ πλευρὰ μονάδων ι. καὶ ἔστω τὸ ΑΒΓ.
ἤχθω κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΒ ἡ Α∠. ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν
ἡ ΒΓ, τουτέστιν ἡ ΑΒ, τῆς Β∠, τετραπλάσιον ἄρα
τὸ ἀπὸ ΑΒ τοῦ ἀπὸ Β∠. ὥστε τριπλάσιον τὸ ἀπὸ
Α∠ τοῦ ἀπὸ ∠Β. τοῦ δὲ ἀπὸ ∠Β τετραπλάσιόν
τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ λόγον ἔχει, ὃν δ
πρὸς γ, τουτέστιν ὃν ιϛ πρὸς ιβ. τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ
ἐπὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τὸ ὑπὸ Α∠ ΒΓ ἐστὶν ἐφʼ ἑαυτό,
τουτέστι δύο τρίγωνα
ἐφʼ ἑαυτά. ἡ ἄρα
ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις
πρὸς δύο τρίγωνα
ἐφʼ ἑαυτὰ λόγον
ἔχει, ὃν ιϛ πρὸς
ιβ δύο δὲ τρίγωνα ἐφ᾿
ἑαυτὰ ἑνὸς τριγώνου
ἐφʼ ἑαυτό ἐστιν τετραπλάσια.
ἡ ἄρα
ἀπὸ τῆς ΒΓ δυναμοδύναμις
πρὸς ἓν τρίγωνον ἐφʼ ἑαυτὸ λόγον ἔχει, ὃν
ιϛ πρὸς γ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ἀπὸ ΒΓ δυναμοδύναμις,
ἐπεὶ καὶ ἡ ΒΓ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ἐμβαδὸν τοῦ
τριγώνου ἐφʼ ἑαυτό· ὥστε καὶ αὐτὸ τὸ τρίγωνον δοθέν
ἐστιν. συντεθήσεται δὲ ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει οὕτως.
τὰ ι ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται
μ· τούτων λαβὲ γ. γίγνεται αωοε. τούτων πλευρὰν
λαβέ· καὶ ἐπεὶ οὐκ ἔχει ῥητὴν πλευρὰν, εἰλήφθω
ὡς ἐμάθομεν ἔγγιστα μετὰ διαφόρου. καὶ ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν μγ γ΄.
Λῆμμα. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν
ἔχον τὴν πρὸς τῷ Γ, δύο δὲ πέμπτων ὀρθῆς τὴν πρὸς
τῷ Α. δεῖξαι ὅτι τὸ ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς ΒΑ ΑΓ
πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΑΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΓ
ἐπὶ τὸ ∠, καὶ τῇ ΑΓ ἴση κείσθω ἡ Γ∠, καὶ ἐπεζεύχθω
ἡ Β∠. ἴση ἄρα ἡ μὲν ΑΒ τῇ Β∠, ἡ δὲ
ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΒ∠. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΒΑ
γωνία τριῶν πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς διὰ τὸ τῆν ὑπὸ
ΒΑΓ γωνίαν δύο πέμπτων εἶναι· ἡ ἄρα ὑπὸ ΑΒ∠
γωνία ἓξ πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς· πενταγώνου ἄρα ἐστὶ
γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒ∠. καὶ ἔστιν ἴση ἡ ΑΒ τῇ Β∠· |
ιη. Ἔστω πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἰσογώνιον
τὸ ΑΒΓ∠Ε. οὗ ἐκάστη πλευρὰ ἔστω μονάδων ι.
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν. εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ
περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ,
Ζ∠ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν Γ∠ ἡ ΖΗ. ἔσται ἄρα ἡ
ὑπὸ τῶν ΓΖ∠ γωνία τεσσάρων πέμπτων ὀρθῆς· ἡ
ἄρα ὑπὸ ΓΖΗ δύο πέμπτων ἐστὶν ὀρθῆς. καὶ ἔστιν
ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΗΖ· τὸ ἄρα ἀπὸ συναμφοτέρου τῆς
ΓΖ ΖΗ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΖΗ. ἀλλ᾿
ἐπεὶ ἐν ἀριθμοῖς οὐκ ἔστιν εὑρεῖν τετράγωνον τετραγώνου
πενταπλάσιον, ὡς σύνεγγυς δεῖ λαβεῖν· ἔστι
δὲ ὁ πα πρὸς
λοιπὸς τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς
καὶ ἔστι διπλάσιον τοῦ ΓΖ∠ τριγώνου· δοθὲν ἄρα
καὶ τὸ ΓΖ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστι πέμπτον μέρος τοῦ
ΑΒΓ∠Ε πενταγώνου· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ πεντάγωνον.
συντεθήσεται δὲ οὕτως· τὰ ιε ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ.
τούτων τὸ τρίτον· γίνεται λγ γ΄. ταῦτα πεντάκις·
ιθ. Ἔστω ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον τὸ
ΑΒΓ∠ΕΖ, οὗ
ἑκάστη πλευρὰ
ἀνὰ μονάδας ι.
εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ
ἐμβαδόν. εἰλήφθω
τὸ κέντρον τοῦ
περὶ αὐτὸ κύκλου
τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθωσαν
αἱ ΓΗ,
Η∠. ἴση ἄρα
ἐστὶν ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ
τῶν ΓΗ,
Η∠· ἰσόπλευρον
ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον. καὶ ἔστιν αὐτοῦ ἡ
πλευρὰ δοθεῖσα· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΓΗ∠ τρίγωνον.
γίγνεται σνθ. τοσούτου ἔσται τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ἑξαγώνου.
Λῆμμα. Ἐὰν εἰς κύκλον ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον
ἐγγραφῇ, ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου πρὸς τὴν τοῦ
ἑπταγώνου πλευρὰν λόγον ἔχει, ὃ
εἰς αὐτὸν ἑξαγώνου πλευρὰ ἡ ΒΓ. τουτέστιν ἴση τῇ
ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Β. λόγος
ἄρα τῆς Α∠ πρὸς ∠Β δυνάμει ὡς ἔγγιστα ὃν τοῦ
μθ πρὸς ιϛ· καὶ μήκει λόγος τῆς Α∠ πρὸς ∠Β, ὃν
ζ πρὸς δ. καὶ ἔστι τῆς Β∠ διπλῆ ἡ ΒΓ· τῆς ΒΓ
ἄρα πρὸς ∠Α λόγος ἐστὶν, ὃν ἔχει τὰ η πρὸς ζ.
κ. Ἔστω ἑπτάγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗ,
οὗ ἑκάστη πλευρὰ μονάδων ι. εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ ἐμβαδόν.
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ περὶ αὐτὸ κύκλου τὸ Θ
καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Θ, ΘΕ καὶ κάθετος ἐπὶ τὴν ∠Ε
ἡ ΘΚ. λόγος ἄρα τῆς Θ∠ πρὸς ∠Ε, ὃν η πρὸς ζ,
πρὸς δὲ τὴν ∠Κ, ὃν η πρὸς γU+2220, τουτέστιν ὃν ιϛ
πρὸς ζ. ὥστε τῆς ΘΕΚ πρὸς Κ∠ λόγος ὡς ἔγγιστα
ὁ τῶν ιδ γ΄ πρὸς τὸν ζ, τουτέστιν ὃν μγ πρὸς κα.
λόγος, ὃν πδ πρὸς μγ.
τοῦ δὲ τριγώνου πρὸς τὸ
ἑπτάγωνον λόγος ὁ τοῦ α
πρὸς ζ· καὶ τοῦ ἀπὸ ∠Ε
ἄρα πρὸς τὸ ἑπτάγωνον ιβ
πρὸς μγ. καὶ ἔστι δοθὲν
τὸ ἀπὸ ∠Ε δοθὲν ἄρα
καὶ τὸ ἑπτάγωνον. συντεθήσεται
δὲ οὕτως· τὰ ι
ἐφʼ ἑαυτά· γίγνεται ρ. ταῦτα ἐπὶ τὰ μγ· γίγνεται δτ.
τούτων τὸ ιβ΄· γίγνεται τνη γ΄. τοσούτου ἔσται τὸ
ἐμβαδὸν τοῦ ἑπταγώνου.