Si mutuo se tangant
duo circuli, ut duo circuli
AEB, CED in E, fuerintque
eorum diametri
parallelae, ut sunt duae
diametri AB, CD, et
iungantur duo puncta B,
D et contactus E rectis
DE, BD, erit linea
BE recta.
Sint duo centra G, F,
et iungatur GF, et producam
ad E, et educamus
DH parallelam ipsi GF.
Et quia HF aequali est
ipsi GD, suntque GD,
EG aequales, ergo ex
aequa ibus FB, FE remanebunt
GF, nempe DH et
HB, quae erunt aequal es,
atque duo anguli HDB,
HBD aequa es. Et quia
duo anguli EGD. EFB
sunt recti, atque duo
anguli EGD, DHB sunt
aequales, remanebunt
duo anguli GEU, GDE,
qui inter se et duobus
angulis HDB, HBD
aequales erunt ; ergo angulus
EDG aequalis est
angulo DBF Et comprehensus
angulus GDB est
communis ; ergo erunt
duo anguli GDB, FBD,
(qui sunt pares duobus
rectis), aequales duobus
angulis GDB, GDE. Igitur
ipsi quoque sunt aequales
duobus rectis ; ergo linea
EDB est recta. Et hoc est
quod noluimus.
2.
Sit CBA semicirculus,
quem DC, DB tangant, et
BE perpendicularis super
AC, et iungamus AD ;
erit BF aequalis ipsi FE.
Demonstratio. lungamus
AB eamque producamus
us in directum et
educamus CD quousque
illi occurrat in G, et
iungamus CB. Et quia
angulus CBA est in
semicirculo, erit rectus ;
remanet CBG rectus, et
DBEC est parallelogrammum
rectangulum. Ergo
in triangulo GBC rectangulo
educitur perpendicularis
BD ex B erecta
super basim, et BD, DC
erunt aequales eo quod
tangunt circulum ; ergo
CD est etiam aequalis
ipsi DG, quemadmodum
ostendimus in propositionibus,
quas confecimus
de rectangulis. Et quia in
triangulo GAC linea BE
educta est parall ela basi,
et iam educta est ex D
semipartitione basis linea
DA secans parallelam in
F, erit BF aequalis ipsi
FE. Et hoc est quod
noluimus.
3.
Sit CA segmentum circuli
et B punctum super
illud ubicunque et BD
perpendicularis super
AC et segmentum DE
aequale DA et arcus BF
aequalis arcui BA ; utique
iuncta CF erit aequalis
ipsi CE.
Demonstratio. lungamus
lineas AB, BF, FE,
EB. Et quia arcus ΒA
aequalis est arcui BF,
erit AΒ aequa is BF. Et
quia AD aequalis est ED,
et duo anguli D sunt
recti, et DB communis,
ergo AB aequalis est BE,
et propterea BF, BE sunt
aequales, et duo anguli
BFE, BEF sunt aequales.
Et quia quadrilaterum
CFBA est in circulo, erit
angulus CFB cum angulo
CAB ipsi opposito,
immo cum angulo BEA,
aequalis duobus rectis.
Sed angulus CEB cum
angulo BEA aequales sunt
duobus rectis ; ergo duo
anguli CFB, CEB sunt
aequales. Et remanent
CFE, CEF aequales ; ergo
CE aequalis est CF. Et
hoc est quod noluimus.
4.
Sit AHC semicirculus,
et fiant super A diametrum
duo semicirculi,
quorum unus AD, alter
uero DC, et DB perpendicularis;
utique figura
proueniens, quam uocat
Archimedes Arbelon (est
figura comprehensa ab
arcu semicircul i maioris
et duabus circumferentiis
semicirculorum minorum)
est aequalis circulo,
cuius di amet er est
perpendicularis DB.
Demonstratio. Quia
linea OB media proportionalis
est inter duas
lineas DA, DC, erit
planum AD i n DC
aequale quadrato DB. Et
ponamus AD in DC cum
duobus quadratis AD,
DC communiter ; fiet planum
AD in DC bis cum
duobus quadratis AD,
DC, nempe quadratum
AC, aequale duplo quadrati
DB cum duobus
quadratis AD, DC. Et
proportio circulorum
eadem est ac proportio
quadratorum ; ergo circulus,
cuius diameter est
AC, aequalis est duplo
circuli, cuius diameter est
DB, cum duobus circulis,
quorum diametri sunt
AD, DC, et semicirculus
AC aequalis est circulo,
cuius diameter est DB,
cum duobus semicirculis
AD, DC. Et auferamus
duos semicirculos AD,
DC communiter ; remanet
figura, quam continent
semicirculi AC, AD,
DC et est figura quam
uocavit Archimedes Arbelos)
aequalis circulo,
cuius diameter est DB.
Et hoc est quod uoluimus.
5.
Si fuerit semicirculus
AB, et signatum fuerit in
eius diametro punctum C
ubicunque, et fiant super
diametrum duo semicirculi
AC, CB, et educatur
ex C perpendicularis CD
super AB, et describantur
ad utrasque partes duo
circuli tangentes illam et
tangentes semicirculos,
utique illi duo circuli sun
aequales.
Demonstratio. Sit alter
circulorum tangens DC
in E et semicirculum AB
in F et semicirculum AC
in G, et educamus diametrum
HE ; erit parallela
diametro AB, eo quod
duo anguli HEC, ACE
sunt recti. Et iungamus
FH, HA ; ergo linea AF
est recta, uti dictum est
in propositione I. Et
occurrent AF, CE in D,
eo quod egrediuntur ab
angulis A, C, minoribus
duobus rectis.
Et iungamus etiam FE,
EB ; ergo EFB est etiam
recta, ut diximus, et perpendicularis
super AD,
eo quod angulus AFB
est rectus, quia cadit in
semicirculum AB. Et iungamus
HG, GC ; erit HC
etiam recta. Et iungamus
EG, GA erit EA recta ;
et producam us eam ad l
et iungam us BI, quae
erit etiam perpendicularis
super AI, et iungamus
DI. Et quia AD, AB sunt
duae rectae et educta ex
D ad ineam AB perpendicularis
DC et ex B ad
DA perpendicularis BF,
quae se mutuo secant in
E, et educta AE ad l est
perpendicularis super Bl,
erunt BID rectae, quemadmodum
ostendimus
in propositionibus, quas
confecimus nexpositione
tractatus de triangulis
rectangulis. Et quia duo
anguli AGC, AlB sunt
recti, utique BD, CG sunt
parallelae, et proportio
AD ad DΗ, quae est ut
AC ad HE, est ut proportio
AB ad BC ; ergo
rectangulum AC in CB
aequale est rectangulo
AB in HE. Et similiter
demonstratur in circuio
LMN quod rectangulum
AC in CB aequale sit
rectangulo AB in suam,
diametrum, et demonstratur
inde etiam quod
duae diametri circulorum
EFG, LMN sint aequales ;
ergo illi duo circuli sunt
aequales. Et hoc est quod
uoluimus.
6.
Si fuerit semicirculus
ABC, et in eius diametro
sumatur punctum D, et
fuerit AD ipsius DC sesquia,
et describantur
super AD, DC duo
semicirculi, et ponatur
circulus EF inter tres
semicirculos tangens eos,
et educatur diameter EF
in illo parallela diametro
AC, reperiri debet proportio
diametri AC ad
diametrum EF.
lungam us enim duas
lineas AE, EB et duas
lineas CF, FB ; erunt CB,
AB rectae, ut dictum est
in prima propositione.
Describamus etiam duas
lineas FGA, EHC, ostendeturque
esse quoque
rectas ; similiter duas
ineas DE, DF, et iungamus
DΙ, DL et EM, FN
et producamus eas ad O,
Ρ. Et quia in triangulo
AED AG est perpendicularis
ad ED, et DI
est quoque perpendicularis
ad AE, et iam se
mutuo secuerunt in M,
ergo EMO erit etiam
perpendicularis, quemadmodum
ostendimus
in expositione, quam confecimus
de proprietatibus
triangu orum, et cuius
demonstratio iam quidem
praecessit in superiori
propositione ; similiter
quoque erit FΡ perpendicularis
super CA. Et
quia duo anguli, qui sunt
apud L et B, sunt recti,
erit DL parallela ipsi AB,
et pariter DΙ ipsi CB ;
igitur proportio AD ad
DC est, ut proportio AM
ad FM, immo ut proportio
AO ad OP, et proportio
CD ad DA, ut proportio ΟΡ,
CN ad NE, immo ut
proportio CΡ ad ΡΟ.
Et erat AD sesquialtera
D C ; er go AO est
sesquialtera OP et OΡ
sesquialtera CΡ. Ergotres
lineae AO, OΡ, ΡC sunt
proportionales, et in
eadem mensura, in qua
est PC quattuor, erit OΡ
sex et AO nonem et CA
nouendecim. Et quia ΡO
aequalis est EF, erit propotio
AC ad EF ut
nouendecim ad sex. lgitur
reperimus dictam proportionem.
Etiam si fuerit
AD ad DC qualiscunque,
ut sesquitertia aut sesquiquarta
aut alia, erit
iudicium et ratio uti
dictum est. Et hoc est quod
uoluimus.
7.
Si circul us circa quadratum
descriptus fuerit,
et alius intra illum, utique
erit circumscriptus duplus
inscripti.
Sit itaque circulus comprehendens
quadratum
AB circulus AB et inscriptus
CD, et sit diameter
quadrati AB, et est
diameter circuli circumscripti,
et educamus CD
diametrum circuli inscripti
parallelam ipsi AE,
quae est ei aequalis. Et
quia quadratum AB
duplum est quadrati
AE siue DC, et proportio
quadratorum ex
diametris circulorum est
eadem proportioni circuli
ad circulum, igitur
circulus AB duplus est
circuli CD. Et hoc est
quod uoluimus.
8.
Si egrediatur in circulo
linea AB ubicunque et
producatur in directum,
et ponatur BC aequalis
semidiametro circuli, et
iungatur ex C ad centrum
circuli, quod est D, et
producatur ad E, erit
arcus AE triplus arcus
BF.
Educamus igitur EG
parallelam ipsi AB, et
iungamus DB, DG, et
quia duo anguli DEG,
DGE sunt aequales, erit
angulus GDC duplus anguli
DEG. Et quia angulus
BDC aequa is est angulo
BCD, et angulus CEG
aequalis est angulo ACE,
erit angulus GDC duplus
anguli CDB et totus angu
us BDG triplus anguli
BDC. et arc us BG
aequalis arcui AE triplus
est arcus BF. Et hoc est
quod noluimus.
9.
Si mutuo se secuerint
in circulo duae lineae AB,
CD (sed non in centro)
ad angulos rectos, utique
duo arcus AD, CB sunt
aequales duobus arcubus
AC, DB.
Educamus diametrum
EF parallelam ipsi AB,
quae secet CD bifariam
in G ; erit EC aequalis
ipsi ED. Et quia tam
arcus EDF quam ECF est
semicirculus, et arcus ED
aequa is arcui EA cum
arcu AD, erit arcus CF
cum duobus arcubus EA,
AD aequalis semicirculo.
Et arcus EA aequalis
arcui BF ; ergo arcus CB
cum arcu AD aequalis
est semicirculo. Et remanent
duo arcus EC, EA,
nempe arcus AC, cum
arcu DB aequales illi. Et
hoc est quod uoluimus.
10.
Si fuerit circulus AΒC
et DA tangens illum et
DB secans illum et DC
etiam tangens, et educta
fueri CE parallela ipsi
DB, et iuncta fuerit EA
secans DB in F, et educta
fuerit ex F perpendicularis
FG super CE, utique
bifariam secabit illam in
G.
lungamus AC. Et quia
DA est tangens et AC
secans circulum, erit
angulus DAC aequalis
angulo cadenti in alterno
segmento AC, nempe angulo
AEC. Et est aequalis
angul o AFD, eo quod
CE, BD sunt parall elae;
ergo anguli DAC, AFD
sunt aequales. Et in duobus
triangulis DAF, AHD
sunt duo anguli AFD,
HAD aequales, et angulus
D com m unis;
propterea erit rectangulum
FD in DH aequale
quadrato DA, immo quadrato
DC. Et quia
proportio FD ad DC est
eadem proportioni CD
ad DH, et angulus D
comnunis, erunt triangula
DFC, DCA similia,
et angulus DFC aequalis
DCΗ, qui aequalis est
angulo DAH. Et hic est
aequalis angulo AFD;
ergo duo anguli AFD,
CFD sunt aequales. Et
DFC aequalis angulo
FCE ; et erat DFA aequalis
angulo AEC; ergo in
triangulo FEC sunt duo
anguli C, E aequales et
duo anguli G recti et
latus GE commune;
propterea erit CG aequalis
ipsi GE. Ergo CE
bifariam secatur in G. Et
hoc est quod noluimus.
11.
Si mutuo se secuerint
in circulo duae lineae AB,
CD ad angulos rectos in
Ε, quod non sit in centro,
utique omnia quadrata
AE, BE, EC, ED aequalia
sunt quadrato diametri.
Educamus diametrum
AF, et iungamus lineas
AC, AD, CF, DB. Et quia
angul us AED est rectus,
erit aequalis angulo ACF.
Et angulus ADC aequalis
AFC, eo quod sunt super
arcum AC ; et remanent
induobus triangulis ADE,
AFC duo anguli CAF,
DAE aequales ; erunt
pariter duo arcus CF,
DB aequales, immo et
duae chordeae eorum
aequales. Et duo quadrata
DE, EB aequantur
quadrato BD, nempe CF,
et duo quadrata AE, EC
aequantur quadrato CA,
et duo quadrata CF, CA
aequantur quadrato FA,
nempe diametri ; igitur
quadrata AE, EB, CE,
ED omnia sunt aequalia
quadrato diametri. Et hoc
est quod uoluimus.
12.
Si fuerit semicirculus
super diametrum AB, et
eductaefuerint ex C duae
lineae tangentes illum in
duobus punctis D, E, et
iunctae fuerint EA, DB se
mutuo secantes in F, et
iuncta fuerit CF et producatur
ad G, erit CG
perpendicularis ad AB.
lungamus DA, EB. Et
quia angulus BDA est
rectus, erunt duo anguli
DAB, DBA reliqui in
triangula o DAB aequales
uni recto. Et angulus AEB
rectus ; igitur sunt aequales
ei. Et ponamus
angulum FBE communem;
ambo anguli DAB,
ABE sunt aequales FBE,
FEB, immo angulo DFE
externo in FBE. Et quia
CD est tangens circulum
et DB secans illum, angulus
CDB aequatur angulo
DAB, et pariter
angulus CEF aequatur
angulo EBA ; ergo duo
anguli CEF, CDF simul
aequales sunt angulo
DFE. Et iam quidem planum
fit ex nostro tractatu
de figuris quadrilateris
quod, si educantur inter
duas lineas aequales sibi
occurrentes in aliquo
puncto, uti sunt duae
lineae CD, CE, duae
lineae se mutuo secantes,
uti sunt duae lineae DF,
EF, et fuerit angulus ab
illis contentus, ut est angulus
F, aequalis duobus
angulis, qui occurrunt
duabus lineis se inuicem
secantibus, uti sunt duo
angu i E, D, simul, erit
linea egrediens a puncto
concursus ad punctum
sectionis, uti est linea CF,
aequalis cuilibet linearum
sibi occurrentium,
ut CD uel CE ; propterea
erit CF aequalis ipsi CD;
ergo angulus CFD est
aequalis angulo CDF,
nempe angulo DAG, Sed
angulus CFD cum angulo
DFG est aequalis duobus
rectis ergo angulus DAG
cum angulo DFG aequalis
est duobus rectis ; et
remanent in quadrilatero
ADFG duo anguli ADF,
AGF aequales duobus
rectis. Set angulus ADB
rectus est ergo angulus
AGC est rectus et CG
perpendicu aris ad AB.
Et hoc est quod uol nimus.
13.
Si mutuo se secent duae
lineae AB, CD in circulo,
et fuerit AB diameter
illius, at non CD, et
educantur ex duobus
punctis A, B duae perpendiculares
ad CD,
quae sint AE, BF, utique
abscindent ex illa CF,
DE aequales.
lungamus EB et educamus
ex l, quod est
centrum, perpendicularem
IG super CD et
pr oducamus eam ad H
in EB. Et quia lG est
perpendicularis ex centro
ad CD, illam bifariam
diuidet in G ; et quia ΙG,
AE sunt duae perpendiculares
super illam, erunt
parallelae. Et quia BI
aequalis est IA, erit BΗ
aequalis ipsi ΗE ; et
propter earum aequalitatem,
et quia BF est
parallela ipsi HG, erit FG
aequalis ipsi GE, et ex
GC, GD aequalibus remanent
FC, ED aequales.
Et hoc est quod noluimus.
14.
Si fuerit AB semicirculus,
et ex eius diametro
AB dissectae sint AC, BD
aequales, et efficiantur
super lineas AC, CD, DB
semicircul i, et sit centrum
duorum semicirculorum
AB, CD punctum E, et
sit EF perpendicularis
super AB et producatur
ad G, utique circulus,
cuius diameter est FG,
aequalis est superficiei
contentae a semicirculo
maiori et a duobus semicirclis,
qui sunt intra
i lum, et a semicirculo
medio, qui est extra
illum. Et est figura, quam
uocat Archimedes
Salinon.
Quia DC bifariam secatur
in E, et addita
est iili CA, erunt duo
quadrata DA, CA dupla
duorum quadratorum
DE, EA. Sed FG aequalis
est ipsi DA ; ergo duo
quadrata FG, AC dupla
sunt duorum quadratorum
DE, EA. Et quia AB
dupla est AE, et CD
dupla quoque ED, erunt
duo quadrata AB, DC
quadrupla duorum quadratorum
DE, EA, immo
dupla duorum quadratorum
GF, AC. Simi iter
etiam duo circuli, quorum
diametri sunt AB,
DC, dupli sunt eorum,
quorum diametri sunt
GF, AC, et dimidii eorum,
quorum diametri sunt
AB, CD, aequales duobus
circulis, quorum diametri
sunt GF, AC. Sed circulus,
cuius diameter AC, est
aequalis duobus semicirculis
AC, BD ; ergo, si
auferamus ex illis duos
semicirculos AC, BD, qui
sunt communes, remanet
figura contenta a quattuor
semicirculis AB, CD,
DB, AC, (quae ea est,
quam uocat Archimedes
Salinon) aequalis circulo,
cuius diameter est FG.
Et hoc est quod uoluimus.
15.
Si fuerit AB semicirculus
et AC chorda
pentagoni, et semissis
arcus AC sit AD, iungatur
gatur CD et producatur,
ut cadat super E, et
iungatur DB, quae secet
CA in F, et ducatur ex
F perpendicularis FG super
AB, erit linea EG
aequalis semidiametro
circuli.
lungamus itaque lineam
CB, et sit centrum
H, et iungamus HD, DG
et AD. Et quia ango us
AHC, cuius basis est latus
pentagoni, est duae quintae
partes recti, quilibet
duorum angulorum CBD,
DHA est quinta pars recti.
Et angulus DHA duplus
est anguli DBH ; ergo
angulus DHA est duae
quintae partes recti. Et
quia in duobus triangulis
CBF, GBF duo anguli B
sunt aequales et G, C
recti et latus FB commune,
erit BC aequale
ipsi BG. Et quia in duobus
triangulis CBD, GBD duo
latera CB, BG sunt
aequalia et similiter duo
anguli ad B, et latus BD
commune, erunt duo anguli
BCD, BGD aequales.
Et quilibet eorum est sex
quintae partes recti, et
est aequalis ang ulo
DAE externo quadrilateri
BADC, quod est in circulo;
ergo remanet angulus
DAB aequalis angulo
DGA, et erit DA aequalis
ipsi DG. Et quia angulus
DHG est duae quintae
partes recti et angulus
DGΗ sex quintae partes
recti, remanet angulus
HDG duae quintae
partes recti, et erit DG
aequalis GH. Et quia
ADE externus quadrilateri
ADCB, quod est in
circulo, est aequalis angul
CBA, et est duae
quintae partes recti et
aequalis angulo GDH. Et
quia in duobus triangulis
EDA, HDG sunt duo
anguli EDA, HDG aequales
et pariter duo anguli
DGH, DAE et duo latera
DA, DG, erit EA aequale
HG. Et ponamus AG commune;
erit EG aequale
AH. Et hoc est quod
uoluimus.
Et hinc patet quod linea
DE aequalis sit semidiametro
circuli; quia
angulus A aequalis est
angulo DGH, ideo erit
linea DH aequalis lineae
DE.
Et dico quod EC diuiditur
media et extrema
proportione in D, et
maius segmentum est
DE ; et hoc, quia ED est
chorda hexagoni et DC
decagoni, et hoc iam
demonstratum est in libro
Elementorum. Et hoc est
quod noluimus.