41. Eὐθεῖαι γίνονται p. 36, 3 περιφερειῶν μὲν οὔσης τῆς σκιᾶς, διὰ δὲ τὰς ἐξερχομένας ἀπὸ τοῦ φωτίζοντος ἀποστάσεις φαίνεσθαι ταύτας, οἵας καὶ ἐν τῇ εὐθείᾳ, καὶ εἶναι τοιαύτας.

42. Ποιήσει οὖν τομὴν κύκλον p. 36, 23 τοῦτο ἐν τοῖς Σφαιρικοῖς τοῦ Θεοδοσίου δείκνυται Ι, 1.

43. Αἱ ΓΒ, Β∠ ἄρα ἐφάπτονται p. 38, 1 ἡ τῇ διαμέτρῳ γὰρ τοῦ κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπʼ ἄκρας ἀγομένη ἐφάπτεται τοῦ κύκλου, διάμετρος δὲ ἡ ΑΓ τοῦ ΓΗ∠Θ κύκλου.

44. Ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τῷ Κ p. 38, 3 διὰ τί ὀρθαὶ αἱ πρὸς τῷ Κ; ἐπεὶ κύκλου τοῦ ΑΓΒ∠ ἐφ ἀπτηταί τις εὐθεῖα ἡ HΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὴν ἐπαφὴν ἐπεζεύχθη εὐθεῖα ἡ ΒΑ, ἡ ἐπιζευχθεῖσα ἄρα κάθετος ἔσται ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην· ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΗ. ἐπεὶ δὲ εἰς παραλλήλους τὰς ΗΘ, Γ∠ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΑΒ, ἡ ἐκτὸς γωνία ἡ ὑπὸ ΒΚΓ ἴση ἐστὶ τῇ ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον τῇ ὑπὸ ΒΑΗ ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΒΑΗ ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΚΓ. ὀρθαὶ ἄρα αἱ πρὸς τὸ Κ.

45. Ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος βλέπεται p. 40, 10 πῶς ὑπὸ ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΚΛ μέρος τῆς σφαίρας; ἐπεὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΘ κύκλος ὁ ΑΛΘΚ γέγραπται τέμνων τὸν ΕΓ∠Ζ κύκλον κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, ἀπὸ δὲ τοῦ Α σημείου τοῦ πέρατος τῆς διαμέτρου τοῦ ΑΛΘΚ κύκλου ἐπὶ τὰ Λ, Κ σημεῖα ἤχθησαν εὐθεῖαι αἱ ΑΛ, ΑΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου 41. Vb. 42. V1. 43. V1. 44. V1 deletum. 45. V1. 2. διά] corr. ex διτα? 13. ΗΘ] e corr. 23. περί] π. ΑΘ] ΚΘ. 27. καὶ ἀπό] corr. ex ἀπὸ δέ. πέρατος τοῦ Θ ἀνακυκλουμ αἱ ΘΛ, ΘΚ, καὶ ὀρθὰς γωνίας ποιοῦσι τὰς ὑπὸ ΑΛΘ, ΑΚΘ· ἡμικυκλίου γάρ· ἔστι δὲ διάμετρος ἡ ΑΚ καὶ ἡ ΑΛ τοῦ EΓ∠Ζ ἐκβαλλόμεναι, ἡ ΘΚ, ΘΛ ἄρα ἐφάπτονται τοῦ κύκλου διὰ τὸ πόρισμα τοῦ ιϛʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἀχθείσης οὖν τῆς Κ Λ παραλλήλου οὔσης τῇ ΕΖ γίνονται τὰ ΛΘΜ, ΜΘΚ τρίγωνα ὀρθογώνια, ὡς προδέδεικται ἐν τῷ πρὸ τούτου θεωρήματι. μενούσης ἄρα τῆς ΘΜ περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν εὐθείας περιστρεφόμενον τὸ τρίγωνον ποιεῖ τὴν κωνικὴν ἐπιφάνειαν ἡ ΘΛ ἀπὸ τοῦ Θ τῆς σφαίρας ἐφαπτομένη, ἡ δὲ Λ Μ τὸν κύκλον, ὅστις ἐστὶ βάσις τοῦ κώνου. ὑπὸ τῶν ΘΚ, ΘΛ ἄρα ἀκτίνων ὄμματος τοῦ Θ βλέπεται τὸ ΛΚ μέρος τῆς σφαίρας.

46. Μείζων γὰρ ἡ ὑπὸ ΚΘΛ p. 40, 14 πῶς ἡ πρὸς τῷ Θ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Β; ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΒΓΑ, ΘΛΑ τὰς ὑπὸ ΒΓΑ, ΘΛΑ ἴσας ἔχουσιν· ἐν ἡμικυκλίοις γάρ· ἔχει δὲ τὸ ΘΛΑ τρίγωνον τὴν ὑπὸ ΘA Λ ἐλάττονα τῆς ὑπὸ ΒΑΓ· περιέχεται γάρ· λοιπὴν ἄρα τὴν ὑπὸ ΑΘ∠ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒΓ. ὁμοίως καὶ τὴν ὑπὸ ΑΘΚ μείζονα ἔχει τῆς ὑπὸ ΑΒ∠. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΘΚ μείζων τῆς ὑπὸ ΓΒ∠.

47. Παραλληλόγραμμόν ἐστι p. 42, 13 ἀλλὰ καὶ ἴσον τῷ ΓΖ παραλληλογράμμῳ· ἴση γὰρ ἡ ΓΑ τῇ ΑΒ.

48. Ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπί p. 42, 16 τοῦ γὰρ Α∠ περιστρεφομένου ἐφάψεται ἡ ∠Β τῆς σφαίρας, ὅτι καὶ τοῦ ΒΓ κύκλου.

49. Συμβάλλουσι δὴ ἀλλήλαις p. 44, 3 διότι ἐλάττους εἰσὶ β ὀρθῶν αἱ Β, Γ γωνίαι διὰ τὸ κατʼ ἀνάγκην τῆς ἁρῆς τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου μείζονος οὔσης. 5Ο. Εἰ γὰρ οὐ συνέβαλλον, ἦν ἂν παράλληλος ἡ ΒΖ τῇ ΓΖ, καὶ τὸ ∠Ε ΒΖ παραλληλόγραμμον, καὶ ἡ διάμετρος ἴση τῷ διαστήματι· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται.

51. Διὰ τί προσπεσοῦνται αἱ ΒΕ, Γ∠; ἐπεὶ τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζόν ἐστι καὶ παράλληλον τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας, ἐφάψονται δὲ αἱ ἀκτῖνες τῆς σφαίρας κατὰ πέρατα διαμέτρου κύκλου τινὸς τῶν ἐν τῇ σφαίρᾳ ἐλάττονος καὶ παραλλήλου οὔσης τῷ διαστήματι τῶν ὀμμάτων, ἐπεὶ καὶ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας ἐλάσσων αὕτη ἐστὶ καὶ παράλληλος, καὶ οὐχὶ κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, αἱ ἐπιζευγνῦσαι τὰς παραλλήλους μέν, μὴ ἴσας δέ, οὐκ ἔσονται παράλληλοι. συμπεσοῦνται ἄρα αἱ ΒΕ. Γ∠. ὅτι δὲ οὐκ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, φανερόν· εἰ γὰρ ἐφάψονται κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας, διὰ τὸ ιηʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων ὀρθὰς ποιήσει γωνίας ἡ ἐφαπτομένη μετὰ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας· αἱ δὲ ἀπὸ δύο ὀρθῶν ἐκβαλλόμεναι οὐ συμπεσοῦνται· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ τῶν ἀκτίνων, τοῦ διαστήματος τῶν ὀμμάτων καὶ τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας περιεχόμενον. τῶν δὲ παραλληλογράμμων αἱ ἀπεναντίον πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί· ἴσον ἄρα τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ τῇ διαμέτρῳ τῆς σφαίρας· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἐφάψονται ἄρα κατὰ τὰ πέρατα τῆς διαμέτρου τῆς σφαίρας.

52. Ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου p. 44, 8 διὰ τὸ κεʹ· νοηθήτω γὰρ ὄμμα τὸ Ζ προσβάλλον τῇ ΕΘ∠Η σφαίρᾳ.

53. Ἐπτεὶ οὖν ἀπό τινος p. 46, 6 νοηθήτω γὰρ ὄμμα τὸ Ζ· διὰ τὸ κε΄.

54. Κύλινδρος p. 46, 14 σημείωσαι τὸν κύλινδρον ὀρθὸν ἱστάμενον.

55. Οὐδέτερον ἄρα p. 48, 1 κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν γὰρ τοῦ κυλίνδρου ἅπτονται αἱ εὐθεῖαι.

56. κθʹ p. 5, 9 τὸ παρὸν θεώρημα δείκνυται, διʼ ὧν καὶ τὸ κζ΄ ἐδείχθη.

57. Τὸ ἴσον ἄρα p. 58, 9 ἴσον μὲν ταῖς ὄψεσι φαίνεται διὰ τὸ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρᾶσθαι, οὐκ ἔστι δὲ τὰ γὰρ ἀνωτέρω τοῦ κώνου στενοῦνται.

58. Ἴσαι αἱ γωνίαι, ὅτι τὰ ἐπίπεδα τοῖς αὐτοῖς ἐμπεριέχεται διαστήμασιν· ἐξ ὡρισμένων γὰρ εὐθειῶν παρ έδωκεν οπτικον ἐξενεχθῆναι αὐτάς.

59. Αἱ ΓΒ, ΒΖ ἄνισοι p. 68, 16 δύο γὰρ τρίγωνά εἰσι τὰ ΒΓΑ, ΒΖ Α ὀρθὴν ἔχοντα γωνίαν τὸ μὲν τὴν πρὸς τῷ Γ, τὸ δὲ τὴν πρὸς τῷ Ζ, καί ἐστι λοιπὸν τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἀνὰ μέρος τῷ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ καὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ. ἀλλʼ ἡ ΓΑ μείζων ἐδείχθη τῆς ΖΑ. ὥστε, ὅπερ ἐλλείπει τὴν ΖΑ, ἔξει τοῦτο ἡ ΒΖ καὶ ἔσται μείζων τῆς ΒΓ.

60. Ἐλάσσων μὲν ἄρα p. 70, 1 ] ἐπειδὴ γὰρ ἴσα εἰσὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ τῷ ἀπὸ τῶν ΒΚ, ΚΑ, 52. Vb. 53. Vb. 54. VbVat. 1 cum fig. 55. Vb. 56. V1. 57. Vb. 58. Vb. 59. Vb. 60. Vb. 15. ἴσαι αἱ γωνίαι] postea add. 19 τά] τό. 20. Γ] corr. ex ∠ 21 26 τῷ] immo τοῖς, sed cfr. p. 137, 4. ἔστι δέ, ὡς δέδεικται, ἡ ΖΑ μείζων τῆς ΚΑ, δῆλον, ὅτι ἡ ΒΖ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ΒΚ· ὅσῳ γὰρ ὑπερέχει ἡ ΖΑ τῆς ΑΚ, τοσοῦτον ἐλαττοῦται ἡ ΒΖ τῆς ΒΚ διὰ τό, ὡς εἴρηται, ἴσον εἶναι τὸ ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ τῷ ἀπὸ τῶν ΒΚ, ΚΑ.

61. Μείζων δὲ πάλιν p. 70, 4 ἔσται μείζων ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ, διότι τὴν ὑπὸ ΒΑΚ ἡ ΒΚ ὑποτείνει μείζων οὖσα, ὡς δέδεικται, τῆς ΒΖ.